排列組合公式

1、排列組合公式1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理）N =m +m2 +| +mn2 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）N =mxmb|xmn3.排列數(shù)公式n!An = n（n -1）（n -m =（n -m）!（ n , m n*，且 m 蘭 n） 注:規(guī)定0!".4 排列恒等式川珂n-m 1）Am；Am亠A：n -mAmn A1*；1! 2 2! 3 3!川 n n! =(n 1)M5 組合數(shù)公式Ann(n -1)"" (n -m +1)n!cn Am =1 疋2 疋匯 m = m! (n_ m)! ( n n* , m N，且 m 蘭 n)6 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)m ngCn _

2、 Cnm m 4n + CnCmn 1注:規(guī)定Cn7 組合恒等式m -4cmn -mcmm丄r-n 1 C： +cn +C； + =2n. cn +C；十C； +=C； +C； +C： +2：123nn _1（8）Cn +2Cn +3Cn +十 nCn = n2r 0r -1 1 0r r r（9）CmCn Cm CnCm Cn = Cm韋（10）（C0）2 +（C1）2 +（C2）2k +（C；）2 =C；n.&排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系A(chǔ)>m Cnm .9. 單條件排列 以下各條的大前提是從 n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列（1）在位”與不在位”_Am 某（特）兀必在某位有 A1種；Am

3、m41 Am_l 某（特）元不在某位有A1A14 （補(bǔ)集思想）一 AnjA1J （著眼位置）二陽(yáng)兒丿人叮（著眼元素）種（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：k（k-m_n）個(gè)元在固定位的排列有akA*種.浮動(dòng)緊貼：n個(gè)元素的全排列把 k個(gè)元排在一起的排法有 心 人種.主：此類(lèi)問(wèn)題常用捆綁法;插空：兩組元素分別有 k、h個(gè)（k蘭h +1）,把它們合在一起來(lái)作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有AhAh 1種（3 ）兩組元素各相同的插空m個(gè)大球n個(gè)小球排成一列，小球必分開(kāi)，問(wèn)有多少種排法?Anm 1n二 Cm 1n m 1時(shí)，有An種排法（4 ）兩組相同元素的排列：兩組兀素有m個(gè)和n個(gè)

4、，各組兀素分別相冋的排列數(shù)為Cmm當(dāng)n m 1時(shí)，無(wú)解；當(dāng)10. 分配問(wèn)題n nC2n Cn(mn)!（1）（平均分組有歸屬問(wèn)題）將相異的m、n個(gè)物件等分給 m個(gè)人，各得n件，其分配方法數(shù)共有（2）（平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題）將相異的m n個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的m堆，其分配方法數(shù)共有Cmnnmn _nnn nCmn _2n "C2n Cn(mn)!m!( n!)m（3）（非平均分組有歸屬問(wèn)題）將相異的P（P=ni+門(mén)2+川+nm）個(gè)物體分給m個(gè)人，物件必須被分完，分別得到厲,°2，nm件，且 n2，Hm這m個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有N 乂；1n2p1Cnmn mm!

5、=p!m!nJ n 2!. nm!（4）（非完全平均分組有歸屬問(wèn)題）將相異的P（P=ni+口2+川+ nm）個(gè)物體分給m個(gè)人，物件必須被分完，分別得到 n1 , n2，誦件，且g , n2，nm這m個(gè)數(shù)中分別個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有n1 p.Cnma!b!c!.m!p! m!n1! n2!. nm!(a!b!c!.)（5）（非平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題）將相異的P（P=ni +n卄1 +n）個(gè)物體分為任意的n1 ,n2，nm件無(wú)記號(hào)的m堆，且口 , n2 ,nm這m個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有（6）（非完全平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題）將相異的P（P = n1+ 口2 +川+ nm）個(gè)物體分為任意的nm件無(wú)

6、記號(hào)的m堆，且n1,壓,入這m個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、P!個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有njn 2!.nm!(a! b!c!.)（7）（限定分組有歸屬問(wèn)題）將相異的P （ P = n 1+門(mén)2 +川+ nm）個(gè)物體分給甲、乙丙，等m個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得m件，乙得n2件，丙得件，時(shí),nm等m個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有n1 n2nmp!N o .Gm =njn2mmi11.錯(cuò)位問(wèn)題”及其推廣貝努利裝錯(cuò)箋問(wèn)題：信n封信與n個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為111 1推廣：n個(gè)元素與n個(gè)位置，其中至少有 m個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為34pm¥ 器-| (-1)學(xué) 川(-1)mAn AnAnAn12.不定方程為+乂2 +川+Xn二m的解的個(gè)數(shù)方程為+*2 +川+人=m （ n,m N ）的正整數(shù)解有方程X1+x2 +川+Xn二m（ n，m. N ）的非負(fù)整數(shù)解有CD個(gè).方程X1+X2 + 川+Xn = m（ n,m E N 滿(mǎn)足條件為*（",2勺蘭n-1）的非負(fù)Cn 4整數(shù)解有Cm 1心）（2）個(gè).方程X1+x2 + 川+Xn = m（ n,m w N 滿(mǎn)足條件 從%“,2 2蘭n-1）的正整數(shù)解有-C1 Cn 2n 4m n _k.2C2 Cn 2-川（1）2