排列組合和排列組合計(jì)算公式

1、排列P-和順序有關(guān)組合C不牽涉到順序的問題排列分順序，組合不分例如 把5本不同的書分給3個(gè)人,有幾種分法."排列"把5本書分給3個(gè)人，有幾種分法"組合"1排列及計(jì)算公式從n個(gè)不同元素中，任取 m(mc n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列， 叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中 取出m(mc n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(規(guī)定 0!=1).2. 組合及計(jì)算公式從n個(gè)不同元素中，任取 m(mc n)

2、個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同 元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出 m(貳n)個(gè) 元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合 數(shù).用符號(hào)c(n ,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!); c(n,m)=c(n,n-m);3. 其他排列與組合公式從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=p(n,r)/r二n!/r(n-r)!.n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1,n2,nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為n!/(n 1!* n2!*.* nk!).k類元素,每類的個(gè)數(shù)無限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m).排列(Pnm(n為

3、下標(biāo)，m為上標(biāo))Pnm=rX( n-1 ) .(n-m+1); Pnm=n / (n-m) !(注：！是階乘符號(hào))；Pnn (兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=n !; 0! =1; Pn1 ( n 為下標(biāo)1為上標(biāo))=n組合(Cnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo))Cnm二Pnm/Pmm Cnm二n /m!(n-m)!; Cnn (兩個(gè) n 分別為上標(biāo)和 下標(biāo))=1 ; Cn1 (n為下標(biāo)1為上標(biāo))二n; Cnm二Cnn-m 2008-07-08 13:30公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列N-元素的總個(gè)數(shù)R參與選擇的元素個(gè)數(shù)!-階乘，如 9!= 9*8*7*6

4、*5*4*3*2*1從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為n* (n-1)*(n-2).(n-r+1);因?yàn)閺膎到(n-葉1)個(gè)數(shù)為n( n-葉1) = r舉例：Q1: 有從 1 到 9 共計(jì) 9 個(gè)號(hào)碼球， 請(qǐng)問，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？A1: 123 和 213 是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的， 既屬于“排列P'計(jì)算范疇。上問題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn) 988,997 之類的組合， 我們可以這么看，百位數(shù)有 9 種可能，十位數(shù)則應(yīng)該 有 9-1 種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有 9-1-1 種可能，最終共有 9*8*7 個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式=P (3, 9) = 9*8*7,(從

5、9倒數(shù)3個(gè)的乘積)Q2: 有從 1到9共計(jì) 9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，如果三個(gè)一組，代表“三 國聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國聯(lián)盟”？A2:213 組合和 312 組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合 C'計(jì)算范疇。上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù) 即為最終組合數(shù) C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、組合的概念和公式典型例題分析例 1 設(shè)有 3 名學(xué)生和 4 個(gè)課外小組( 1)每名學(xué)生都只參 加一個(gè)課外小組； ( 2)每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè) 小組至多有一名學(xué)生參加各有多少種不同方法？ 解( 1 )由于每名學(xué)生都

6、可以參加 4 個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不 限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有 種不同方法（2）由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組， 而且每個(gè)小組至多有一 名學(xué)生參加，因此共有 種不同方法點(diǎn)評(píng) 由于要讓 3 名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組， 故兩問都用乘法原 理進(jìn)行計(jì)算例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排 第四的不同排法共有多少種？解依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排 、 、 中的某一個(gè)， 共3 類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：二符合題意的不同排法共有9種.點(diǎn)評(píng) 按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理為把握 不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做

7、法，也是 解決計(jì)數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型.例3 判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計(jì)算出結(jié)果.（1）高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：每兩人互通一封信，共通了 多少封信？每兩人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人：從中選一名正組長和 一名副組長，共有多少種不同的選法？從中選 2名參加省數(shù)學(xué)競(jìng) 賽，有多少種不同的選法？（3）有2，3，5, 7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：從中任取 兩個(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？從中任取兩個(gè)求它的 積，可以得到多少個(gè)不同的積？（4）有8盆花：從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有 多少種不同的選法？從中選出 2盆放在教室有多少種不同的

8、選 法？分析 （1）由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信 是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；由于每兩人互握一次 手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是 組合問題其他類似分析（1）是排列問題，共用了封信；是組合問題，共需握手（次）.（2）是排列問題，共有 （種）不同的選法；是組合問題， 共有 種不同的選法（3）是排列問題，共有 種不同的商；是組合問題，共有 種 不同的積（4）是排列問題，共有種不同的選法；是組合問題，共有種 不同的選法例4 證明.證明 左式右式.二等式成立.點(diǎn)評(píng) 這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題， 選用階乘之商的形式， 并利用階乘的性質(zhì) ，可使變形過程得

9、以簡(jiǎn)化.例 5 化簡(jiǎn) .解法一 原式解法二 原式點(diǎn)評(píng) 解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式， 并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過程得以簡(jiǎn)化.例 6 解方程：（ 1） ；（ 2）解 （ 1）原方程解得 （2）原方程可變?yōu)? > >原方程可化為.即 ，解得第六章 排列組合、二項(xiàng)式定理一、考綱要求1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析解決一些簡(jiǎn)單 的問題.2. 理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合 數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問題 .3. 掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一 些簡(jiǎn)單問題 .二、知識(shí)結(jié)構(gòu)三、知識(shí)

10、點(diǎn)、能力點(diǎn)提示（ 一 ） 加法原理乘法原理說明 加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù) 例 1 5 位高中畢業(yè)生， 準(zhǔn)備報(bào)考 3 所高等院校， 每人報(bào)且只報(bào)一 所，不同的報(bào)名方法共有多少種 ?解： 5 個(gè)學(xué)生中每人都可以在 3所高等院校中任選一所報(bào)名， 因而每個(gè)學(xué)生都有 3種不同的 報(bào)名方法，根據(jù)乘法原理， 得到不同 報(bào)名方法總共有3X 3X 3X 3X 3=35（種）（ 二 ） 排列、排列數(shù)公式說明 排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學(xué)代數(shù)中較為 獨(dú)特，它研 究的對(duì)象以及研 究問題的方法都和前面掌握的知識(shí)不 同，內(nèi)容抽象，解題方法比

11、較靈活，歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用 題，都是選擇題或填空題考查 .例 2 由數(shù)字 1、 2、3、4、5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中 小于 50 000 的 偶數(shù)共有 （）解 因?yàn)橐笫桥紨?shù)， 個(gè)位數(shù)只能是 2 或 4 的排法有 P12 ；小于 50 000的五位數(shù)，萬位只能是 1、3或2、4中剩下的一個(gè)的排法有 P13; 在首末兩位數(shù)排定后，中間3個(gè)位數(shù)的排法有 戸3,得P13P33P12= 36（個(gè)） 由此可知此題應(yīng)選 C.例 3 將數(shù)字 1、2、3、4 填入標(biāo)號(hào)為 1、2、3、4的四個(gè)方格里， 每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有 多少種 ?解： 將數(shù)字 1 填入

12、第 2 方格，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字 均不相同的填法有 3種，即 214 3， 3142， 4123；同樣將數(shù)字 1填 入第 3方格，也對(duì)應(yīng)著 3 種填法；將數(shù)字 1 填入第 4 方格，也對(duì)應(yīng)3 種填法，因此共有填法為3P13=9（ 種）.例四 例五可能有問題，等思考三）組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)說明 歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)， 主要考查排列組合的應(yīng)用 題，且基本上都是由選擇題或填空題考查 .例 4 從 4 臺(tái)甲型和 5 臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出 3 臺(tái)，其中至少有 甲型與乙型電視機(jī)各 1 臺(tái)，則不同的取法共有 （ ）種種種種解：抽出的3臺(tái)電視機(jī)中甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)的取法有C14

13、 - C?5種；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)的取法有戊 C,種根據(jù)加法原理可得總的取法有戊戊+芒4 C；=40+30=70（種）可知此題應(yīng)選 C.例 5 甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包 8 項(xiàng)工程，甲公司承包 3 項(xiàng)， 乙公司承包 1 項(xiàng)，丙、丁公司各承包 2 項(xiàng)，問共有多少種承包方式 ?解：甲公司從 8 項(xiàng)工程中選出 3 項(xiàng)工程的方式 C 38 種；乙公司從甲公司挑選后余下的 5項(xiàng)工程中選出 1 項(xiàng)工程的方式有 C15 種； 丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的 4項(xiàng)工程中選出 2項(xiàng)工程的方式有 戊種；丁公司從甲、乙、丙三個(gè)公司挑選后余下的2項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程 的方式有2種.根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有 C

14、3 8 x C5x C4x C22= x1=1680(種).(四)二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式的性質(zhì)說明 二項(xiàng)式定理揭示了二項(xiàng)式的正整數(shù)次幕的展開法則， 在數(shù)學(xué) 中它是常用的基礎(chǔ)知識(shí)，從1985年至1998年歷屆高考均有這方面 的題目出現(xiàn)，主要考查二項(xiàng)展開式中通項(xiàng)公式等， 題型主要為選擇題 或填空題.B.27C：o-9C例6 在(x- )10的展開式中，X6的系數(shù)是()-27CD.9&0解 設(shè)(x- )10的展開式中第丫 +1項(xiàng)含x6, 因 TY +1=CY 10X10-Y(- ) Y, 10- y =6, y =4于是展開式中第5項(xiàng)含x 6，第5項(xiàng)系數(shù)是 出。(-)4=9C410 故此題應(yīng)

15、選D.例 7(x-1)-(x-1)2+ (x-1) 3-(x-1)+(x-1)'的展開式中的 x2的系數(shù)等于解：此題可視為首項(xiàng)為x-1 ,公比為-(x-1)的等比數(shù)列的前5項(xiàng)的和， 則其和為在(x-1) 6中含x3的項(xiàng)是C6X3(-1) 3=-20x3，因此展開式中x2的系數(shù)是 -2 0.(五)綜合例題賞析例 8 若(2x+ )4二a°+a1X+a2X 2+a3X3+aiX4，貝H (a 0+82+84) 2-(a 1+a3)2 的值 為()解：A.例 9 2 名醫(yī)生和 4 名護(hù)士被分配到 2 所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配 1 名醫(yī)生和 2 名護(hù)士，不同的分配方法共有 ( )種

16、 種 種種解 分醫(yī)生的方法有P22 = 2種，分護(hù)士方法有 戊=6種，所以共有 6X 2= 12種不同的分配方法。應(yīng)選 B.例10從4臺(tái)甲型和 5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出 3臺(tái)，其 中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各 1 臺(tái)，則不同取法共有 ().種種種種解：取出的 3 臺(tái)電視機(jī)中， 甲型電視機(jī)分為恰有一臺(tái)和恰有二臺(tái)兩種 情形. C4 +C5 C4=5x 6+10X 4=70.二應(yīng)選C.例 11 某小組共有 10 名學(xué)生，其中女生 3 名，現(xiàn)選舉 2 名代表， 至少有 1 名女生當(dāng)選的不同選法有 ()種種種種解：分恰有 1 名女生和恰有 2 名女生代表兩類： C3 C1 7+C23=3X 7+3=24

17、,二應(yīng)選D.例 12 由數(shù)學(xué) 0，1，2，3， 4，5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 ().解：先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個(gè) ？應(yīng)有P15 P 55=600 個(gè).由對(duì)稱性，個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個(gè)位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù) 各占一半.有x 600=300個(gè)符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選 B.例13 以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的 四面體共有().個(gè)個(gè)解：如圖，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，任取4個(gè)的組合數(shù)為 戊=70個(gè).其中共面四點(diǎn)分 3類：構(gòu)成側(cè)面的有 6組；構(gòu)成垂直底面的對(duì)角面的 有 2組；形如 (ADB1C1 ) 的有 4組.能形成四面體的有 70-6-2-4=58( 組)

18、應(yīng)選 C.例 14 如果把兩條異面直線看成“一對(duì)”，那么六棱 錐的棱所在 的 12 條直線中，異面直線共有 ().對(duì)對(duì)解：設(shè)正六棱錐為O ABCDEF.任取一側(cè)棱OA（Ce）則0A與BC CD DE EF均形成異面直線對(duì)共有C6X 4=24對(duì)異面直線.應(yīng)選B.例15正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中三個(gè)點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形共個(gè)（以數(shù)字作答）.解：7點(diǎn)中任取3個(gè)則有C?7=35組.其中三點(diǎn)共線的有3組（正六邊形有3條直徑）.三角形個(gè)數(shù)為35-3=32個(gè).例16 設(shè)含有10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)為 S,其中由3個(gè)元素組成的子集數(shù)為T,則的值為。解10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)有:S= C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C010=2 10=1024其中，含3個(gè)元素的子集數(shù)有T=&0=120故二例17例17在50件產(chǎn)品n中有4件是次品，從中任意抽了 5件，至少有3件是次品的抽法共_ 種