不等式與線性規(guī)劃

1、不等式與線性規(guī)劃 第四講：不等式和線性規(guī)劃 （一）不等式的性質(zhì) 一、知識梳理：不等式的性質(zhì) 性質(zhì) 4： a b, c 0? _ ; a b, c v 0? _ . 以上是不等式的基本性質(zhì)，以下是不等式的運算性質(zhì). 性質(zhì) 5: ab, cd? _ （加法法則 ） . 性質(zhì) 6: ab0, cd0? _ （乘法法則 ） . 性質(zhì) 7： ab0, n n * ? _ （乘方法則）. 性質(zhì) 8： ab0, n n , n2? _ （開方法則）. 性質(zhì) 9： ab0, ab? _ （倒數(shù)法則 ） . a .充分而不必要條件 c.充分必要條件 d . b.必要而不充分條件 既不充分也不必要條件 (二) 不

2、等式的解法 一、 分式不等式與一元二次不等式的關(guān)系 設(shè) ab, x 70 等價于 _ ； x t 0 等價于(x a)(x b)0 ; x b x b x 7 0 等價于 ； 0 等價于 x a x b w 0, x b 豐 0. x b x b 二、 基礎(chǔ)訓(xùn)練 2 x 3 1. 設(shè)全集 u = r，不等式 - 1 的解集是 a，則 ? u a= ( ) x a . (0,3 b . (汽 0 u (3 ,+s ) c . 3 ,+s ) d . ( , 0) u 3 ,+ ) 2. 不等式 log 2 ( x 2 + 3x)1 的解集是 ( ) a . x|0x3 b . x|x1 或 x2

3、 c. x|0x1 或 2x3 d. x| 2x 1 1 3. 2021 上海卷不等式 x1 的解為 _ . 4. 在 r 上定義運算 o： a o b = ab+ 2a+ b，則滿足 x o (x 2)0 的實數(shù) x 的取值范圍為 ( ) 二、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1.若 ab0,則（ ) b b.1 a 2. a. a 2 cb 2 c(c r) 設(shè) a, b, c r,且 ab，貝u 1 1 acbc b. a b 3. 已知 a. 4. 5.2021 c. 2 c. a b a b ，則下列不等式正確的是 1 b 2 b、 r, lg(a b)0 3 . 3 d . a b c . 2 a 2

4、b d. 1 a 則下列不等式成立的是 a 2 浙江卷 右 a, a b c 、丁 2 c 2 1 c 2 1 1 b 為實數(shù)，則" 0ab1 '是" ba' a b 2 d 、 a|c| b|c| a. (0,2) b . ( 2,1) c. ( s, 2) u (1 ,+s ) d . ( 1,2) 5. 不等式 x 1 x 2 3 的解集是 (三) 二元一次不等式組和線性規(guī)劃 一、知識梳理：線性規(guī)劃問題 二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1) 一般地，二兀一次不等式 ax + by+ c0 在平面直角坐標系中表示直線 ax+ by + c = 0 某一側(cè)

5、的所有點組成的平面區(qū)域 ( 半平面 )， _ 邊界直線. 不等式 ax + by+ c 0 所表示的平面區(qū)域 ( 半平面) _ 邊界直線. 直線 ax+ by+ c= 0 同一側(cè)的所有點(x, y)，使得 ax+ by+ c 的值符號相同，也就是 位于直線 ax+ by+ c = 0 某一側(cè)的所有點，其坐標適合 ax+ by + c0(ax + by+ c0);而位 于直線 ax+ by + c = 0 另一側(cè)所有點，其坐標適合 _ . (3)可在直線 ax+ by+ c= 0 的某一側(cè)任取一點，一般取特殊點 ( x o , y o ),從 ax o + by o + c 的符號來判斷 ax

6、+ by+ c0(或 ax + by + c0)所表示的區(qū)域. 二、基礎(chǔ)訓(xùn)練: 121 b. c. 24 4 36 3，已知 abc 中, y 2x, 4.若變量 x , y 滿足約束條件 x+ y 1, 則 x + 2 y 的最大值是 _ y 1 5某公司生產(chǎn)甲，乙兩種桶裝產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 1 桶需耗 a 原料 1 千克，b 原料 2 千 克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品 1 桶需耗 a 原料 2 千克，b 原料 1 千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是 300 元，每桶 乙產(chǎn)品的利潤是 400 元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗 a, b 原料都不超 過 12 千克通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲，乙

7、兩種產(chǎn)品中，公司可獲得的最大 利潤是 ( ) a. 2200 元 b .2400 元 c . 2600 元 d .2800 元 2x y 2 0 6.設(shè)實數(shù) x, y 滿足 y 2x 2 ,則 x 2 y 2 的取值范圍是( ) y 2 4 a. -,8 b. 5 1,2、2 c. 1,8 d . u2.2 5 2x 3y 6 0 a (3 , - 1)、 b ( 1,1)、qi,3)，則 abc 區(qū)域所表示的二元 3.如圖 一次不等式組為 d. 32 121 a. 2 7.在平面直角坐標系 xoy 中，m 為不等式組 x y 2 0 所表示的區(qū)域上一動點， 則|om| y 0 的最小值是 _

8、 三、課后作業(yè): x 1, x+ y 3, 若 z = 2 x + y 的最小值為 1, 則 a 等于 y a(x3), (四) 基本不等式 、知識梳理: a + b 1. 基本不等式.ab w 廠 (1) 基本不等式成立的條件： _ . (2) 等號成立的條件：當且僅當 _ 時取等號. (3) 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)：設(shè) a0 , b0,則 a, b 的算術(shù)平均數(shù)為 為 _ , 故基本不等式也可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù) _ 2. 幾個重要的不等式 (1)a 2 + b 2 3.利用基本不等式求最值問題 已知 x、y r + , x+ y= p, xy= s,有下列命題： 如果 s 是定值

9、，那么當且僅當 _ 時，x+ y 有最小值 如果 p 是定值，那么當且僅當 _ 時，xy 有最大值 _ ?問題 1 當 x0 時，函數(shù) y= x+ 1 的最大值為一 2.( ) x ? 問題 2 若 x0 , y0，且 x+ y= 2，貝 u 2xy 的最大值為 1.( ) 二、基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.若 2 x + 2 y = =1,則 x + y 的取值范圍是 ( ) . a. 0,2 b 2,0 c. 一 2 ,+g ) d . ( -oo 2 2.若 x 2 , 則 x 1 - 的最小值為 x 2 3.已知 a 0, b 0,且 2 a + b = 4,則 的最小值為 ab 2 2x a 16b

10、 x - 4.不等式 b a 對任意 a, b (0 , + g )恒成則實數(shù) x 的取值范圍是( a. (-2,0 ) b.(- g ,-2)u(0 , + g ) c.(-4 , 2) d.(- oo , -4)u(2 , + o ) 5.已知 2 8 1(x 0,y 0) ，則 x y 的最小值為( ) x y a. 12 b. 14 c. 16 d. 18 1. x 1, 已知變量 x , y 滿足 y 2, x y 則 x + y 的最小值是 0, 2. x 已知 x, y 滿足約束條件 x y 2 y 2 ，且 x 2y a 恒成立，則 a 的取值范圍為 1 3. x+ y 1,

11、若實數(shù) x , y 滿足 x y+1 y o, 0 ,則 x 2 + ( y + 1) 2 的最大值與最小值的差為 4.已知 a 0, x ,y 滿足約束條件 ，幾何平均數(shù) (2 ) a + (a, b 同號);(3)ab w 號 2 (a, b r)； (a, b r)； （五）含絕對 值的不等式 |a| |b|a b|a| |b| 結(jié)論：一、基礎(chǔ)訓(xùn)練 1. 關(guān)于 x 的不等式 x 1 x 3 m 在 r 上恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是 _ 2. _ 關(guān)于 x 的不等式|x 1| + |x 2| w a 的解集為空集，則實數(shù) a 的取值范圍是 _ 3. 對任意 x r,不等式|2 x|

12、+ |3 + x| a 2 4a 恒成立，則 a 的取值范圍是 _ 4函數(shù) y | x 2| | x 2 | 的最大值是 _ 。 5如果關(guān)于 x 的不等式 |x 10 | | x 20| a 的解集不是空集，則實數(shù) a 的取值范圍為 二、課后作業(yè)： 1對任意實數(shù) 兇，若不等式 |x 2| |x 1| k| 恒成立 ， 則實數(shù) k 的取值范圍是 （） a k 1 b k 1 c k w 1 d k 1 2 2. 不等式 |x 3 |x 1 a 2 3a 對任意實數(shù)岡恒成立，則實數(shù)岡的取值范圍為（ ） a. (,1u4,) b . （ ,2u5,) c. 1,2 d . （ ,1u2,) 3.函數(shù) y x 4| x 6 的最小值為（） a. b . 4 c .園 d . 6 6. 已知正數(shù) x, y 滿足 x 2y 1,則丄 x 的最小值為 y a 2 .一 2 b 、4.2 c 3 2 2 d 3 4.2 3x y 6 0 7. 設(shè) x, y 滿足約束條件 x y 2 0 ，若目標函數(shù) z=ax+by x 0,y 0 2 值為 12,則 的最小值（ ) a b a. 25 r 8 cd . 4 b.