一階微分方程的初等解法22719

1、第二章一階微分方程的初等解法例 2-12-1 求(3x26xy2)dx (6x2y 4y3)dy 0的通解。解解法 1 1 不定積分法。令M (x, y) 3x26xy2, ,N (x, y) 6x2y 4y3，則 衛(wèi)12xy,- 12xy，所以該方程為恰當方程。yy2 2M (x, y) 3x 6xy，關(guān)于x積分，得解法 2 2 公式法解法 3 3 分組法去括號重新分組可得42222y )3( y dx x dy )0積分，得原方程的通解為x33x2y2y4C。評注：求解一個對稱形式方程的時候，首先應(yīng)當判定它是不是恰當方程，如果是， 可以直接進行求解， 否則求其積分因子將方程化為恰當方程來求

2、解。實際應(yīng)用中，斷一個方程為恰當方程之后，并不需要嚴格按照解法1 1 和解法 2 2 的常規(guī)方法求解,采用分項組合的辦法，先把那些本身已構(gòu)成全微分的項分出，再把剩下的項湊成全微分，這(y)3八2x 3x6x2y4y3，(y)(y)(y)，N(x, y)6x3y 4y，所以通解為U(x, y)x3c 23x y利用恰當方程求解方法3 3 中公式得方程通積分為x2U(x, y)0(3x26xy2)dxy304y3dyx33x2y2C3x2dx4y3dy2 26xy dx 6x ydy 03d(x則就往往在判而可以x樣可以簡化運算量，因此需要熟悉以下二元函數(shù)的全微分公式:ydx xdy d (xy)

3、，ydx xdydd)，yxdy ydxdC)，xydx xdyxyxd(ln )，yydx xdy2 x yxdx ydy2 x yd ln( x22)ydx丿，2x例 2-22-2求方程(X3y2)dxydy所以該方程不是恰當方程。d (arctgd(.x2y2)。xdy2-yj，x y解經(jīng)判斷衛(wèi)y2y，x2xy，分組得x3dxx2ydy2 2(x y )dx 0顯然前兩項具有積分因子2，相應(yīng)的全微分為x要使得成立。只需取(x2原方程兩邊同乘xdx12xy2)ydy舟d(x2y2)，y2)12-x(x)ix2(x2y2)1x2(x2y2)d In . x2y2- 1 1所以通解為In x2

4、y2評注：當一個方程不是恰當方程時,(x)厶 即可，這樣就找到了一個積分因子x，可得d10，x尋求積分因子便成了求解此類方程的一個有效途徑,分組組合法降低了尋找積分因子的難度，這就要求大家熟悉常見的二元函數(shù)的全微分公式。例 2-32-3 求方程ydx (y x)dy 0的通解。解由于 1,1，所以原方程不是恰當方程。y x解法 i i 可將原方程改寫為ydx xdy ydy，左端有積分因子(X, y)12或(x, y)xi2,，但考慮到右端只與變量y有關(guān)，故取y(x,y)i2y為方程的積分因子，因此有ydx xdydy2yy兩邊積分可得通解-In y C，易見y 0也是原方程的解。y解法 2

5、2 也可將原方程改寫為dy y dx x y這是齊次方程。令y ux，即可進行求解。解法 3 3 將x看作未知函數(shù)，原方程可化為線性方程dxdyi1x1，y從而可就x進行求解。解法 4 4MN由于yx2只與y有關(guān)，所以存在關(guān)于y的積分因子MyN M(x y y以(x, y)為恰當方程，即因而通解為評注：解法dy(x,y) ey丄乘以方程兩端,y1dxy1dyy得到xdyyydxxdy2ydyyIn y C，另外，易見y 0也是原方程的解。1 1 體現(xiàn)了選取積分因子的一般原則，如果積分因子選取恰當，則解方程的難度就會降低；解法 2 2 運用了轉(zhuǎn)化的思想，將原方程化為可分離變量的方程；解法3 3

6、體現(xiàn)了在求解常微分方程時，變量x和y具有同等重要的地位， 有時侯將x看成y的函數(shù)，則方程很容易就x求解；當判定仏也只與x有關(guān)或者丄只與y有關(guān)時，運用解法 4 4 可以很方便地求出積分因子，但必須注意乘以積分因子(x, y)可能出現(xiàn)使此積分因子為零的多余特解，同時應(yīng)該注意在對方程作同解變形時，會不會產(chǎn)生漏解的情況，如果漏掉則應(yīng)當補上，例例 2-42-4 證明方程M(x, y)dx N(x,y)dy 0有形如(x, y)的積分因子的充要條件是(yMN)(NM)1x xyf (x, y)，并求出這個積分因子。證由定理2.22.2，方程M (x, y)dxN(x, y)dy 0有積分因子(x, y)的

7、充要條件是(x, y)，則有件為NxMd(x, y)滿足下列微分方程(JM丁(_y上式右端應(yīng)為(弋求解一階方程得積分因子為V)(N x x(x, y)的函數(shù)，這就證明了%(Nx1dd(x, y)1-M)x yf(X, y)，f (x,y)do評注：此例對于探索積分因子極為有用。若令(1xxy,卩具有以下形式N)(x,y)xf-)1,y(x,y)為方程的積分因子的充要條(x, y)。y2, 口 xay卩，則可分別獲得方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0卩 f (x y),卩 f (xy),卩f(x)，口 f (x2y2), 口 f(x“y)積分因子的充分yMNyxNMMNyxxNy

8、M必要條件分別為(x(x2y),yN xM(xy),y2(衛(wèi)上)y xyN xM(),y2),(x y )o例 2-52-5 求方程x(4ydx 2xdy) y3(3ydx 5xdy) 0的通解。解對第一項，可以取*這就是方程的積分因子。成立。223B1比較兩邊x, y的次數(shù)，得aB,15B4從而求得a2。B1將所求積分因子乘原方程兩端得25343x y dx 5x y dy 0,即有故通解是x4y2x3y54dx 2dyx y2d In x因此可取第一項的積分因子通式為x2y。同理第二項的積分因子通式為14xy容易看出，若取t2,t，則兩項的積分因子相等為14xy如果不易觀察到所需的2t，我

9、們可以嘗試用下面方法?，F(xiàn)設(shè)1z za,zB，我們選擇a,B使得14xy因此兩項的公共積分因子，即原方程的積分因子是2M(X, y)x y。y2dx4x4dy25335y dx x dy 0,4x3y2dx42x ydy評注：用分組法求積分因子的關(guān)鍵在于方程恰當分組和尋求各組的共同積分因子。例 2-62-6 求下列萬程的通解。1)1)(5xy 3y3)dx (3x27xy2)dy 02)2)(3xy32y)dx (x2y2x)dy 0解 1 1）解法 1 1設(shè)有積分因子x y，則1 1(5x y33x y )dx2 1 2(3x y 7x y )dy 0為恰當方程，于是(5x1y3x y )(3

10、x2y 7x1y2)yx15(1)x y3(3)x y23(12)x y7(1)x y比較系數(shù)可得351732解之得1122，1 1因此，積分因子為(x,y)2 2x2y2。將所求積分因子乘以分組后方程2325xydx 3x dy 3y dx 7xy dy 0即有容易得出原方程的通積分是5337x2y2x2y2C。5x2y2dx3x2y2dydx7-2y一23Xy d5-2y3-2X3553y2dx2x2dy27337y2dx2x2dy2解法 2 2 方程各項重新組合為5xydx 3x2dy3y3dx 7xy2dy0,1對第一個括號，可以取山一2，乘以山得x y5dxx3dyyd In x5y

11、3，因此可取第一個括號的積分因子的通式為同理第二個括號的積分因子的通式為3732x y。xy現(xiàn)設(shè)1Z Za,2Z Z卩，我們選擇a,卩使得153x y= =x y:137x y3xy成立。比較兩邊x, y的次數(shù)，得52 3131 73從而求得丄212i i因此兩項的公共積分因子，即原方程的積分因子是口 x y2o接下來同解法 1 1,略。2 2）方程各項重新組合為3xy3dx x2y2dy2ydx xdy 0,1對第一個括號，可以取山 一3，乘以n得x y3dx dyd In x3因此可取第一個括號的積分因子通式為斗虧1x3y。x1同理第二個括號的積分因子通式為2xy3axy y成立。比較兩邊

12、x, y的次數(shù)，得從而求得a1。B1將所求積分因子乘以分組后方程容易得出通積分是評注：待定指數(shù)法提供了當對稱形式方程的系數(shù)為多項式時求積分因子的一個法，具有一定的實用價值。如果通過比較指數(shù)法解不出和 ，或者 和復(fù)雜，這時可以考慮利用分組法來求積分因子。例 2-72-7 解方程(y x3y 2x2)dx (x 4xy48y3)dy 0。解方程各項重新組合為現(xiàn)設(shè)1z z,2z z卩，我們選擇a,卩使得ixxy因此兩項的公共積分因子,即原方程的積分因子是M(X,y)3 2 2 ,3xy dx x y dy2ydx xdy3x2ydx x3dy2x x2dx2dy y即有ydx3x3dy丄dx yx2

13、dx2Cy。般性方得表達式比較啞代入2x(1(1)，得原方程的一個特解y y1 (In x)2；4dv vdu 2du 0,u In 2 v評注：通過變量變換，降低了方程的求解難度，但是究竟采用怎樣的變換，一般而言, 沒有規(guī)律可循。從此例中我們可以看到， 有時可將方程變形， 在這個過程中觀察其特點，尋 找恰當?shù)淖儞Q。例 2-82-8 求解方程y xy Inx (xy )2。p，原方程寫為2y xpln x (xp)化簡后得到(In x由此可得呼或x乎2x dxydx xdyx3ydx 4xy4dy2x2dx 8y3dy 0,xyxy x2dx34y3dy 2d 3xy3xyd32d 3此時，可

14、令U4y ,vxy，上方程化為解之得解。回代變量得原方程的通積分為x33y43l n2xy 3C，另外xy2也是方程的(1)兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得到p亞xl nx pl nx dx22dpp 2xp 2px - dx由方程xdpp，解得p C，代入(1 1),得到原方程的通解y Cl nx C2。dxx評注：屬于第一類能解出y( (或x) )的方程，引進參數(shù)dyp，則原方程變?yōu)閐xy f (x, p)，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得到p的關(guān)系式。注意要全面考察這個關(guān)系式，有的已經(jīng)是p的直接表示式，對應(yīng)方程的奇解；而有的還須求解關(guān)于 通解。例 2-92-9 求解方程(y )2cos2y y Sin xCOSxC

15、OSy Sin y COS2解 這是隱式方程的求解問題。令sin yu,sin x v，則du (cos y)dy, dv (cosx)dx, ycOSx du,cosy dv代入原方程，得(sin xcos2x)dusin ycos2dv整理得方程du2duvdv評注：運用適當?shù)淖儞Q將方程轉(zhuǎn)化為可積類型或一些特殊方程，從而即可求解原方程, 這就需要熟悉常見的可積方程，例如迫努利方程，黎卡提方程，雅可比方程等。例 2-102-10 求滿足下列關(guān)系式的函數(shù)y(x)。2X1)y(x) x220y(t)dtp的微分方程，對應(yīng)方程的(cos2x)(du)2dvu(少dvdu v-dv這是關(guān)于u,v的克

16、萊洛方程，其通解為uc2VC，奇解為u2vo2從而可得原方程的通解和奇解分別為sin y2c csin x,sinsin2xy丁。解 1 1 ）給方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)得y (x) 2x 2y(x),則求解積分方程2xy(x) x220y(t)dt就等價于求解初值問題y 2y 2xoy(0) 0解上面微分方程得其通解為對上方程兩端關(guān)于x再求導(dǎo)得這樣，求解原積分方程就等價于求解初值問題x2 2)oy(t)dt0(xt)2ty(t)ty2(t)dt方程y 2xy xyy 2xyy(0)12xyo22y，變形為12y y2X1x,y是迫努利方程，兩端同除以e2xC2 x ,xedx,Ce2x12xe22

17、 2）給方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)得滿足初始條件的解為y1- o21- o2y(x)x02ty(t)ty2(t)dt 1，y (x)2xy(x)2 ,xy (x)0ox0y(t)dtx(xt)2ty(t)ty2(t)dt x2200(丄)dx y2X1xy解之得方程y 2xy xy得通解為eCxex2dxX2exCCex21de21222。2Cex1故滿足初始條件的解為2x。3ex1評注：本題是一類積分方程的求解問題，通常是通過對方程關(guān)于x求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的初值問題。需要熟悉變上限函數(shù)的求導(dǎo)公式d0dx(x)Ztf(x)屮dx和含參變量積分的求導(dǎo)公式dB(X)dxa(x)f(x, t )dtB(X)a(x)-dtf (x,卩(x)卩(x)xf (x, oc(x)a(x)。例 2-112-11 設(shè)函數(shù)f(t)在0,)上連續(xù)，且滿足方程x24 t2f(t) e顯然有f(0)1。