小學奧數(shù)-幾何五大模型(鳥頭模型).0001

1、三角形等高模型與鳥頭模型模型二 鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形 共角三角形的面積比等于對應(yīng)角 ( 相等角或互補角 )兩夾邊的乘積之比E在 AC上如圖 2) ，如圖在 ABC中， D,E分別是 AB, AC上的點如圖 (或 D在BA的延長線上， 則 SABC : SADE (AB AC):(AD AE)圖例 1】 如圖在 ABC 中，D,E 分別是 AB,AC 上的點，且AD: AB 2:5 ，AE:AC4:7 ， S ADE16 平方厘米，求 ABC 的面積解析】 連 接 BE ， SADE :S ABEAD : AB 2:5 (2 4):(5 4)，S A

2、BE : S ABCAE: AC4:7 (4 5):(7 5) ， 所 以 SADE :SABC(2 4):(7 5) ， 設(shè) SADE 8份，則 SABC 35 份，S ADE 16 平方厘米，所以1份是 2 平方厘米，35 份就是 70 平方厘米，ABC 的面積是 70平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等 于對應(yīng)角 (相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比 ADE 的面積等于1，那鞏固】如圖，三角形 ABC中， AB是AD的 5倍， AC是AE的 3倍，如果三角形 么三角形 ABC 的面積是多少？解析】EC 3AE SV ABC 3SVABE 又 AB 5ADS

3、V ADESVABE 5SVABC15 ， SVABC15SVADE15鞏固】如圖，三角形 ABC 被分成了甲 （ 陰影部分 ） 、乙兩部分， BD DC 面積是甲部分面積的幾倍？4， BE 3， AE 6 ，乙部分解析】連接 AD CCBE 3 ， AE 6 AB 3BE ， SVABD 3SVBDE又 BD DC 4，解析】 SV ABC 2SVABD ， SVABC 6SVBDE ， S乙如圖在 ABC中， D在 BA的延長線上， AE:EC 3: 2 ， S ADE12 平方厘米，求5S甲 E在 AC上，且 ABC 的面積AB:AD5: 2 ，C連 接 BE ， SADE :S ABE

4、AD : AB2:5 (2 3):(5 3)SABE :S ABCAE:AC3: (3 2)(3 5): (3 2) 5 ，所以 S ADE :S ABC (32): 5 (32) 6:25，設(shè) SADE6 份，則S ABC 25 份 ， S ADE 12 平方ABC 的面積是 50平方厘米由此我們（ 相等角或互補角 ） 兩夾邊的乘厘米，所以 1份是 2 平方厘米， 25份就是 50平方厘米， 得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角 積之比例 3】 如圖所示，在平行四邊形ABCD 中，E 為 AB的中點， AF 2CF ，三角形 AFE（圖中陰影部分 ）的面積為 8 平方厘

5、米平行四邊形的面積是多少平方厘米？AEB解析】 連接 FB三角形 AFB 面積是三角形 CFB 面積的 2倍，而三角形 AFB 面積是三角形 AEF 面積的 2 倍，所以三角形 ABC面積是三角形 AEF 面積的 3倍；又因為平行四邊形的面積是三角形ABC面積的 2 倍，所以平行四邊形的面積是三角形AFE 面積的(3 2) 6 倍因此，平行四邊形的面積為8 6 48( 平方厘米 ) 例 4】 已知 DEF的面積為 7平方厘米， BE CE,AD 2BD,CF 3AF ，求 ABC的面積解析】 SBDE : SABC (BD BE):(BA BC) (1 1):(2 3) 1: 6，SCEF :

6、 S ABC (CE CF) :(CB CA) (1 3):(2 4) 3:8S ADF : S ABC (AD AF):(AB AC) (2 1):(3 4) 1:6設(shè) S ABC 24 份，則 S BDE 4 份， S ADF 4 份， SCEF 9份， S DEF 24 4 4 9 7 份，恰好 是 7平方厘米，所以 SABC 24 平方厘米如圖，三角形 ABC 的面積為 3平方厘米，其中 是多少？AB:BE2:5 ， BC:CD 3: 2，三角形 BDE的面積解析】 由于 ABC DBE 180 ，所以可以用共角定理，設(shè) AB 2份，BC 3份，則 BE 5份， BD 3 2 5份，由

7、共角定理 SABC : SBDE (AB BC):(BE BD) (2 3):(5 5) 6:25，設(shè) SABC 6 份，恰好是 3平方厘米，所以 1份是 0.5平方厘米， 25份就是 25 0.5 12.5平方厘米， 角形 BDE 的面積是 12.5平方厘米例 6 】 ( 2007 年”走美”五年級初賽試題) 如圖所示，正方形 ABCD 邊長為 6 厘米， AE 1 AC ，31CF BC 三角形 DEF 的面積為 平方厘米BFC解析】 由 題意知1AEAC 、1CF BC ，可得 CE2 AC根據(jù)”共角定理”可得，333S CEF :S ABC (CFCE):(CB AC) 1 2:(3

8、3)2:9 ； 而 SABC 6 6 2 18 ； 所 以SCEF4 ；同理得，SCDE : S ACD 2:3 ;，SCDE18 3 2 12， SCDF6故 S DEFSCEFS DECSDFC4 12 610 （平方厘米 ）例 7 】AB；延長 BC至E，使 CE2BC ；延如圖，已知三角形 ABC面積為 1，延長 AB至 D，使 BD 長 CA至 F ，使 AF 3AC ，求三角形 DEF 的面積解析】（ 法 1） 本題是性質(zhì)的反復(fù)使用 連接 AE、 CDSVABC 1， SVABC 1 ，SVDBC 1SVDBC 1 同理可得其它，最后三角形 DEF 的面積（法 2） 用共角定理在

9、VABC和 VCFE 中， SVABCSVFCEAC BC 1 1 1FC CE 4 2 818ACB與FCE互補，又 SVABC 同理可得 所以 SVDEF1 ，所以 SVFCE 8 SVADF6 ， SVBDESVABC SVFCE3SVADFSVBDE86318如圖，平行四邊形 ABCD ，面積是 2， 求平行四邊形 ABCD 與四邊形 EFGH 的面積比BE AB， CF2CB ， GD 3DCHA 4AD ，平行四邊形ABCD的EE8 15+3+236解析】 連接 AC、 BD 根據(jù)共角定理S ABCAB BC1 1 1S FBEBE BF1 3 3 又 S ABC1，所以S FBE

10、3 同理可得S GCF8， S DHG15 ， S AEH8在 ABC和 BFE中， ABC與 FBE互補，所以 SEFGHS AEHSDHGSBEFSCFGSABCD21SEFGH3618例 9】 如圖，四邊形 EFGH 的面積是 66 平方米，EA AB， CB BF ， DC CG， HD DA ，求四邊形解析】例 10 】解析】例 11 】解析】ABCD的面積:S CGF連接 BD 由共角定理得同理 S ABD所以 S AHES BCD(CD CB):(CG CF) 1: 2，即 SCGF2SCDB:S AHESCGF1: 2，即 S AHE2( SCBD2S ABDS ADB )2S

11、四邊形 ABCD連接 AC ，同理可以得到 S DHG SBEF 2S四邊形 ABCD S四邊形 EFGHS AHESCGF S HDG SBEF S四邊形 ABCD 5S四邊形 ABCD所以 S四邊形ABCD 66 5 13.2 平方米H，如圖，將四邊形 ABCD的四條邊 AB、 CB、CD、 AD分別延長兩倍至點 若四邊形 ABCD的面積為 5，則四邊形 EFGH 的面積是 GBDGE、F、G、連接 AC 、于是 S BEFS HDG4S ABC4S ADC4 SABCD 再由于AE3AB，AH3AD ，于是 S AEH 9SABD ，同理S CFG9S CBD于是 SAEHS CFG9S

12、 ABD9S CBD9SABCD 那么 SEFGHS BEFS HDGS AEHS CFGSABCD4 SABCD9SABCDSABCD由于 BE2AB，ADC 12 SABCDBF 2BC ，于是S BEF4S ABC ，同理 S HDG 4S如圖，的中點，若60 在 ABC 中，延長 AB至D，使 BD AB，延長 BC至E ，使CEABC的面積是 2，則 DEF 的面積是多少？E在ABC和CFE 中，S ABC AC BC 2 2ACB 與 FCE互補，4SFCEFC CE 1 1 112BC，F(xiàn) 是 AC又 SV ABC 2 ， 所以 SV FCE 0.5 例 12 】同理可得 S A

13、DF所以S DEF2，S ABCS BDESCEF1，如圖，CS ABC3S DEBS ADF2 0.5 3 2 3.5BC 5BD， AC 4EC， DG GS SE， AFFG 求 SVFGS 解析】 本 題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復(fù)運用，也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的3 種情況 最后求得SFGS 的面積為S FGS4 3 2 1 1 15 4 3 2 2 10例 13 】如圖所示，正方形 ABCD 邊長為 8 厘米，點，三角形 ABG 的面積是

14、多少平方厘米？E是AD的中點， F是CE的中點， G是BF 的中解析】ECC12因為 SBCF SCDE 1 82 16 ，根據(jù)”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面4積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”SVAEF 8， SVEFG 8 ，再根據(jù)”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”，得到SVBFC 16 ，SABFE 32 ， SVABF 24 ，所以 SVABG 12 平方厘米例 14】四個面積為 1 的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積解析】 如 圖，將原圖擴展成一個大正三角形 DEF ，則 AGF 與 CEH 都是正三角形假設(shè)正六邊形的邊長為為 a，則 AGF 與 CEH 的邊長都是 4a ，所以大正三角形 DEF 的邊長為4 2 1 7，那么它的面積為單位小正三角形面積的49倍而一個正六邊形是由 6 個單位小正三1 49角形組成的，所以一個單位小正三角形的面積為 ，三角形 DEF 的面積為 664a ， FB3a ，所以 AFB與三角形 DEF 的面積之比為 4312 7749 BDC 、12AEC與三角形 DEF 的面積之比都為 12 ，所以ABC 的面積占三角形49由于 FA同理可知12 349，所以ABC 的面積的面積為49 136 49136DEF 面積