離散型隨機變量課件

1、第二章第二章隨機變量及其分布隨機變量及其分布一、隨機變量概念的產(chǎn)生一、隨機變量概念的產(chǎn)生 在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數(shù)在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數(shù) 1 1 隨機變量隨機變量量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念. 1、有些試驗結果本身與數(shù)量有關、有些試驗結果本身與數(shù)量有關. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù),2、有些看似與數(shù)量無關的試驗，其結果可通過、有些看似與數(shù)量無關的試驗，其結果可通過例如例如, 擲一顆均勻硬幣擲一顆均勻硬幣,數(shù)量化數(shù)量化用數(shù)量表示用數(shù)量表示. , 6 , 1,iiei點朝上基本事件為基本事件為,

2、61ee 樣本空間樣本空間對每一對每一 e = ei , 有一數(shù)有一數(shù) X=X(ei)=i 與之對應與之對應 . 基本事件為基本事件為 e1=正面朝上正面朝上, e2=反面朝上反面朝上, 若引入若引入, 0, 1)(21 eeeeeXX則對每一則對每一 e ,有一數(shù)有一數(shù) X=X(e)與之對應與之對應 . e.X(e)R 說明隨機試驗的結果一般可用一數(shù)說明隨機試驗的結果一般可用一數(shù) X 表示表示, 定義定義: 設設 為試驗為試驗 E 的樣本空間的樣本空間, 若對若對 中中且此數(shù)隨結果的不同而變化且此數(shù)隨結果的不同而變化(即在基本事件即在基本事件 e 與與實數(shù)間建立了一種對應關系實數(shù)間建立了一種

3、對應關系), 其取值帶有隨機其取值帶有隨機性性, 很自然地叫它為隨機變量很自然地叫它為隨機變量, 它是基本事件它是基本事件 e 的函數(shù)的函數(shù).的任一基本事件的任一基本事件 e , 都有惟一的實數(shù)都有惟一的實數(shù) X(e) 與之對與之對應應, 則稱則稱X(e) 為為隨機變量隨機變量, 簡記為簡記為 X .(1) 隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母 X, Y, Z 或希臘或希臘注注:（2）隨機變量定義在）隨機變量定義在 上上, 是基本事件是基本事件 e 的函的函字母字母,等表示等表示; 然然 而表示隨機變量所取的值而表示隨機變量所取的值(即實數(shù)即實數(shù))時時,一般一般采用小寫字母采用小寫字母

4、 x, y, z 等等. 數(shù)數(shù)(它隨試驗結果的不同而取不同的值它隨試驗結果的不同而取不同的值); 由于由于 e的出現(xiàn)是隨機的的出現(xiàn)是隨機的, 因而因而 X(e) 的取值也是隨機的的取值也是隨機的,在在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預先試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預先肯定它將取哪個值肯定它將取哪個值, 但一旦結果出現(xiàn)但一旦結果出現(xiàn), 則則 X(e) 的的值隨之而定值隨之而定; 由于試驗結果的出現(xiàn)具有一定的概由于試驗結果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是隨機變量的取值也有一定的概率率，于是隨機變量的取值也有一定的概率. 例如，從某一學校隨機選一學生，例如，從某一學校隨機選一學生，的身高看

5、作隨機變量的身高看作隨機變量 X, 然后我們?nèi)缓笪覀?測量他的身高測量他的身高. 我們可以把可能我們可以把可能可以提出關于可以提出關于 X 的各種問題的各種問題.?7 . 1 XP如如?5 . 1 XP?7 . 15 . 1 XP 一旦我們實際選定了一個學生并量了他的身高一旦我們實際選定了一個學生并量了他的身高之后，我們就得到之后，我們就得到 X 的一個具體的值，記作的一個具體的值，記作 x.這時這時,要么要么就沒有什么意義了就沒有什么意義了., 7 . 1 x要么要么 x 1.7米，再去求米，再去求7 . 1 xP 有了隨機變量有了隨機變量, 隨機試驗中的各種隨機試驗中的各種事件事件，就可以

6、，就可以二、引入隨機變量的意義二、引入隨機變量的意義單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)通過隨機變量的關系式表達出來通過隨機變量的關系式表達出來.用用 X 表示，它是一個隨機變量表示，它是一個隨機變量; 則事件則事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫,1 X沒有收到呼叫沒有收到呼叫.0 X如如:再如再如: 某一天某一天10點的溫度用點的溫度用 T 表示表示, 它是一個隨機變量；則事件它是一個隨機變量；則事件溫度在溫度在8到到15度之間度之間,158 T 可見，隨機事件這個概念實際上是包含在隨機可見，隨機事件這個概念實際上是包含在隨機變量這個更廣的概念內(nèi)變量這

7、個更廣的概念內(nèi). 也可以說，也可以說，隨機事件是從隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點動態(tài)的觀點. 隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件事件. 引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就從對究，就從對事件及事件概率事件及事件概率的研究擴大為對的研究擴大為對隨機變隨機變量及其取值規(guī)律量及其取值規(guī)律的研究的研究. 解：解：分析分析例例: 一報童賣報，每份一報童賣報，每份0.15元，其成本為元，其成本為0.10元元. 當當 0.15 X10

8、00 0.1時，報童賠錢時，報童賠錢, 報館每天給報童報館每天給報童1000份報，并規(guī)定他不得把賣不份報，并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回出的報紙退回. 設設 X 為報童每天賣出的報紙份數(shù)，為報童每天賣出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示.報童賠錢報童賠錢 =賣出的報紙錢不夠成本賣出的報紙錢不夠成本,故故 報童賠錢報童賠錢 = X 20=PX=30+PX=40=0.6的概率的概率.租一輛汽車，可從出租公司得到租一輛汽車，可從出租公司得到3元元. 因代營業(yè)務，因代營業(yè)務，每天加油站要多付給職工服務費每天加油站要多付給職工服務費60元元.

9、 設每天出租設每天出租汽汽車數(shù)車數(shù) X是一個隨機變量，它的概率分布如下：是一個隨機變量，它的概率分布如下： 若離散型隨機變量若離散型隨機變量 X 的分布律為的分布律為 則稱則稱 X 服從服從 0-1 分布或兩點分布分布或兩點分布.二、幾個常見的離散型隨機變量的分布二、幾個常見的離散型隨機變量的分布XP0 1 p 1p, (0 p xX x注意注意 X是隨機變量是隨機變量, x 是普通變量是普通變量.F(x) 就是隨機變量就是隨機變量 X 取值不大于取值不大于 x 的概率的概率. 只要知道隨機變量只要知道隨機變量 X 的分布函數(shù)，的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計它的統(tǒng)計規(guī)律性就可以得到完整的描述；與規(guī)律性

10、就可以得到完整的描述；與 X 有關的所有有關的所有事件的概率都可以分布函數(shù)的函數(shù)值表示出來。事件的概率都可以分布函數(shù)的函數(shù)值表示出來。bXaP aXPbXP ),()(aFbF ),(11aFaXPaXP bXaP .)()0(等等aFbF 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用微積分等工具來研究我們可以用微積分等工具來研究 隨機變量隨機變量.對離散型對離散型 隨機變量隨機變量, 若其分布律為若其分布律為 P X= xk = pk , k =1,2,3,)( xxkkpxXPxF則則其圖形是一條階梯形的曲線其圖形是一條階梯形的曲線, 在在 x =

11、 xk 處有跳躍處有跳躍;其函數(shù)形式較復雜其函數(shù)形式較復雜, 雖可通過它來描述隨機變量雖可通過它來描述隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律的統(tǒng)計規(guī)律, 但以分布律清晰但以分布律清晰.X 的分布律為的分布律為例例, 求求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).解解:XP0 1 21/3 1/6 1/2, )(xXPxF 當當 x 0時時, , xX 故故; 0)( xF,10時時當當 x;3/10)( XPxF,21時時當當 x;2/110)( XPXPxF,2 時時當當 x; 1210)( XPXPXPxF故故 2, 121, 2/110, 3/10, 0)(xxxxxF三、分布函數(shù)的性質(zhì)三、分布函數(shù)的性質(zhì)(1) F(x) 非降，即若非降，即若 x1 x2，則，則)()(21xFxF , 0)(lim)()2( xFFx1)(lim)( xFFx(3) F(x) 右連續(xù)，即右連續(xù)，即)()0(xFxF 解解: 從中解得從中解得./