初中數(shù)學(xué)競賽中位線

1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請指正。初中數(shù)學(xué)競賽專題選講中位線一、內(nèi)容提要1. 三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。2. 中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計算線段的長度，確定線段的和、差、倍關(guān)系。3. 運(yùn)用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點(diǎn)，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。4. 中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線，必平分第三邊經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)而平行于

2、兩底的直線，必平分另一腰5. 有關(guān)線段中點(diǎn)的其他定理還有：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合對角線互相平分的四邊形是平行四邊形線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必須全面考慮。二、例題例1. 已知：ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中點(diǎn)。求證：PMPN（1991年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）證明：作MEAB，NFAC，垂足E，F(xiàn)ABM、CAN是等腰直角三角形AEEBME，AFFCNF，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)PEACNF，PFABMEPEAC，PFABPEBBACPFC即PEMPFNPEMPFNP

3、MPN例2.已知ABC中，AB10，AC7，AD是角平分線，CMAD于M，且N是BC的中點(diǎn)。求MN的長。分析：N是BC的中點(diǎn)，若M是另一邊中點(diǎn)，則可運(yùn)用中位線的性質(zhì)求MN的長，根據(jù)軸稱性質(zhì)作出AMC的全等三角形即可。輔助線是：延長CM交AB于E（證明略）例3.求證梯形對角線的中點(diǎn)連線平行于兩底，且等于兩底差的一半。已知：梯形ABCD中，ABCD，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)求證：MNABCD，MN（ABCD）分析一：M是AC中點(diǎn)，構(gòu)造一個三角形，使N為另一邊中點(diǎn)，以便運(yùn)用中位線的性質(zhì)。連結(jié)CN并延長交AB于E（如圖1）證BNEDNC可得N是CE的中點(diǎn)。（證明略）分析二：圖2與圖1思路一樣。分析

4、三：直接選擇ABC，取BC中點(diǎn)P連結(jié)MP和NP，證明M，N，P三點(diǎn)在同一直線上，方法也是運(yùn)用中位線的性質(zhì)。例4. 如圖已知：ABC中，AD是角平分線，BECF，M、N分別是BC和EF的中點(diǎn)求證：MNAD證明一：連結(jié)EC，取EC的中點(diǎn)P，連結(jié)PM、PNMPAB，MPAB，NPAC，NPACBECF，MPNP3=4=MPNBAC180（兩邊分平行的兩個角相等或互補(bǔ)）1=2=， 2=3NPAC MNAD證明二：連結(jié)并延長EM到G，使MGME連結(jié)CG，F(xiàn)G則MNFG，MCGMBECGBECFBBCGABCG，BACFCG180CAD（180FCG）CFG（180FCG）=CAD MNAD例5. 已知：

5、ABC中，ABAC，AD是高，CE是角平分線，EFBC于F，GECE交CB的延長線于G求證：FDCG證明要點(diǎn)是：延長GE交AC于H，可證E是GH的中點(diǎn)過點(diǎn)E作EMGC交HC于M，則M是HC的中點(diǎn)，EMGC，EMGC由矩形EFDO可得FDEOEMGC三、練習(xí)1.已知E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)則四邊形EFGH是形當(dāng)ACBD時，四邊形EFGH是形當(dāng)ACBD時，四邊形EFGH是形當(dāng)AC和BD時，四邊形EFGH是正方形形。2.求證：梯形兩底中點(diǎn)連線小于兩邊和的一半。3.已知AD是銳角三角形ABC的高，E，F(xiàn)，G分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，證明順次連結(jié)E，F(xiàn)，G，H所成的四邊形是等腰梯形

6、。4. 已知：經(jīng)過ABC頂點(diǎn)A任作一直線a,過B，C兩點(diǎn)作直線a的垂線段BB，和CC，設(shè)M是BC的中點(diǎn)，求證：MB，MC，5.如圖已知ABC中，ADBE，DMENBC求證BCDMEN6.如圖已知：從平行四邊形ABCD的各頂點(diǎn)向形外任一直線a作垂線段AE，BF，CG，DH。求證AECGBFDH7.如圖已知D是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，求證BC2CE8.平行四邊形ABCD中，M，N分別是BC、CD的中點(diǎn)，求證AC平分MN9.已知ABC中，D是邊BC上的任一點(diǎn)，M，N，P，Q分別是BC，AD，AC，MN的中點(diǎn)，求證直線PQ平分BD。10.等腰梯形ABCD中，ABCD，ADBC，點(diǎn)O是AC和BD的交

7、點(diǎn)，AOB60，P，Q，R分別是AO，BC，DO的中點(diǎn)，求證PQR是等邊三角形。11.已知：ABC中，AD是高，AE是中線，且AD，AE三等分BAC，求證：ABC是Rt。12.已知：在銳角三角形ABC中，高AD和中線BE相交于O，BOD60，求證ADBE13.如圖已知：四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，MNEF求證：DMNCNM練習(xí)題參考答案1. 平行四邊形菱形矩形相等且互相垂直2. 取一條對角線的中點(diǎn)，利用三角形兩邊差小于第三邊3. DGEFAB4. 過點(diǎn)M作a的垂線,必平分B，C，5. ABC的中位線也是梯形BCD，D中位線6. 同上，有公共中位線7. 取BC中點(diǎn)G，連結(jié)DG8. 連結(jié)BD交AC于O，易證四邊形MCNO是平行四邊形9.