零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

1、探% 2008級信號與系統(tǒng)課 程設(shè)計%探信號與系統(tǒng)課程設(shè)計報告書課題名稱零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)姓名梁何磊學(xué)號20086354院、系、部電氣系專業(yè)電子信息工程指導(dǎo)教師孫秀婷康朝紅2011年1月11日連續(xù)時間系統(tǒng)的LTI系統(tǒng)的時域仿真零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)20086354梁何磊一、設(shè)計目的掌握信號經(jīng)過LTI系統(tǒng)的時域分析方法。鞏固已經(jīng)學(xué)過的知識，加深對知識的理解和應(yīng)用， 加強(qiáng)學(xué)科間的橫向聯(lián)系，學(xué)會應(yīng)用MATLAB對實(shí)際問題進(jìn)行仿真。學(xué)會對帶有非零起始狀態(tài) 的LTI系統(tǒng)進(jìn)行仿真。二、設(shè)計要求（1）根據(jù)實(shí)際問題建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，對給定的如下電路，課本第二章例2-8， 參數(shù)如圖所示；建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2、，并計算其完全響應(yīng)；e tet 2V（2）用MATLAB苗述此系統(tǒng)；（3）仿真實(shí)現(xiàn)并繪制輸出信號的波形。要求用兩種方法仿真實(shí)現(xiàn)完全響應(yīng)。對 仿真結(jié)果進(jìn)行比較，并與理論值比較。三、設(shè)計方法與步驟:一般的連續(xù)時間系統(tǒng)分析有以下幾個步驟：求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)； 求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；求解系統(tǒng)的全響應(yīng)；分析系統(tǒng)的卷積；畫出它們 的圖形下面以具體的微分方程為例說明利用 MATLAB軟件分析系統(tǒng)的具體方 法.1 連續(xù)時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)描述n階線性時不變（LTI）連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為:a1dny dtna2% 1ybmdudtbm 1U已知y及各階導(dǎo)數(shù)的初始值為y（0）,y（0），y（n-1） （0），求

3、系統(tǒng)的零輸入響 應(yīng)。建模當(dāng)LIT系統(tǒng)的輸入為零時，其零輸入響應(yīng)為微分方程的其次解 （即令微分方 程的等號右端為零），其形式為（設(shè)特征根均為單根）y(t) C1ep1tC2ep2tCn ePnt其中p1,p2,p是特征方程a1f+a2f-1+an ；+an=0的根，它們可以用root(a) 語句求得。各系數(shù)由y及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值來確定。對此有C1 C2Cny0PGP2C2PnCnDy。1P1Dnu1P2- _n 1n 1n 1rn 1p1C1p2 C2PnCn D y°寫成矩陣形式為:Pn-1 亠1 C1+ Pn-12G+ Pnn- G=D- y01 11C1y。P1P2PnC2Dy

4、。 P1n 1n 1p2Pn' 1CnDn1y0即V?C=Y其解為：C=VY>式中 CC1C2CnCDy°n 1D y°n 1n 1n 1PlP2PnV為范德蒙矩陣，在matlab的特殊矩陣庫中有vander 以下面式子為例：y"(t)2y'(t)3y(t)4f'(t)6f(t)初始條件為y(0_)2, y'(07 ;MATLAB?序：a=input('輸入分母系數(shù) a=a1,a2,.=');n=len gth(a)-1;YO=input('輸入初始條件向量 丫0=y0,Dy0,D2y0,.='

5、);p=roots(a);V=rot90(va nder(p);c=VY0'dt=i nput('dt二');te=i nput('te二')；t=0:dt:te;y=zeros(1,le ngth(t);for k=1: n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);e ndplot(t,y);gridxlabel('t') ;ylabel('y');title('零輸入響應(yīng)');程序運(yùn)行結(jié)果：用這個通用程序來解一個三階系統(tǒng)，運(yùn)行此程序并輸入a=1,2,3 Y0=2,7 dt=0.002 te=7結(jié)果如下

6、圖：根據(jù)圖可以分析零輸入響應(yīng)，它的起始值與輸入函數(shù)無關(guān)，只與 它的初始狀態(tài)值有關(guān)，其起始值等于 y(0_)的值。隨著時間的推移，最后零輸入 響應(yīng)的值無限的趨近于0。2 連續(xù)時間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的數(shù)值計算我們知道，LTI連續(xù)系統(tǒng)可用如下所示的線性常系數(shù)微分方程來描述,N aiy(i)(t)i 0例如，對于以下方程：Mbjf (t)j 0IIIIIa3y (t) a?y (t)IIIIIIIa(t) a°y(t)bsf (t) b? f (t)b/(t)b°f(t)可用a a3, a2,a1,ag, b b3,b2,b1,b0,輸入函數(shù)u f(t)，得出它的沖激響 應(yīng)h，再根據(jù)L

7、TI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y (t)是激勵 卷積積分注意，如果微分方程的左端或右端表達(dá)式中有缺項(xiàng)，u( t)與沖激響應(yīng)h( t )的則其向量a或b中的對應(yīng)元素應(yīng)為零，不能省略不寫，否則出錯。求函數(shù)的零狀態(tài)響應(yīng)y" (t) 2y'(t)3y(t)4f'(t) 6f (t)及初始狀態(tài)yzs(0 )yzs(0 )0。輸入函數(shù)y建模先求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，寫出其特征方程sin(2*t) cos(5*t)。求出其特征根為p和p,及相應(yīng)的留數(shù)r，r;則沖激響應(yīng)為h(t)r1ep1tr2ep2t輸入y (t )可用輸入u (t)與沖激響應(yīng)h (t)的卷積求得。MATLAB 程序：a=inp

8、ut('輸入分母系數(shù) a=a1,a2,.=');b=input('輸入輸入信號系數(shù) b=b1,b2,.=');dt=i nput('dt二');te=i nput('te二')；t=O:dt:te;u=input('輸入函數(shù) u=');te=t(e nd); dt=te/(le ngth(t)-1);r,p,k=residue(b,a); h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2) *exp(p(1)*t);subplot(2,1,1),plot(t,h);gridtitle('沖激函數(shù)');y

9、=c onv( u,h)*dt; subplot(2,1,2), plot(t,y(1:le ngth(t);grid title('零狀態(tài)響應(yīng)');程序運(yùn)行結(jié)果執(zhí)行這個程序，取 a=1,2,3b=4,6 dt=0.001 te=7得出圖形如下：由于初始狀態(tài)為零，所以零狀態(tài)的起始值也為零，即 h(t)包含了連續(xù)系統(tǒng)的固 有特性，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只要知道了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，即可求得系統(tǒng)在不同 輸入時產(chǎn)生的輸出。因此，求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h對進(jìn)行連續(xù)時間系統(tǒng)的分析具 有非常重要的意義34寧妝肅哨應(yīng)沖謝國數(shù)-3 連續(xù)時間系統(tǒng)的全響應(yīng)計算上面通過對LTI系統(tǒng)函數(shù)的描述，我們可以得知：如

10、果在系統(tǒng)的初始狀態(tài)不 為零，在激勵f (t)的作用下，LTI系統(tǒng)的響應(yīng)稱為全響應(yīng)，它是零輸入響應(yīng)和 零狀態(tài)響應(yīng)之和，即y(t)yzi(t) yzs(t)故可先求出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)， 再把兩者相加，得到全響應(yīng)。但簡單的相 加可能由于零輸入與零狀態(tài)的矩陣不同而不能的出正確的結(jié)果，這就需要對矩陣進(jìn)行截取，使它們的階數(shù)相同。例如，對于以下方程：y"(t) 2y'(t)3y(t)4f'(t) 6f(t)初始值為：y(0_)=2,y'(0_)7 ；輸入函數(shù)為：y sin (2*t) cos(5*t)求它的全響應(yīng)。建模先根據(jù)零輸入響應(yīng)的求法，得出零輸入響應(yīng) y1(t

11、)。再根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)的求 法，得出零狀態(tài)響應(yīng)y2(t )。最后，全響應(yīng)y等于零輸入響應(yīng)y1(t )加上零狀 態(tài)響應(yīng)y2(t)，得出全響應(yīng)。MATLAB 程序：a=input('輸入分母系數(shù) a=a1,a2,.=');n=len gth(a)-1;Y0=input('輸入初始條件向量 丫0=y0,Dy0,D2y0,.=');b=input('輸入輸入信號系數(shù) b=b1,b2,.=');u=input('輸入函數(shù) u=');dt=i nput('dt二');te=i nput('te二')；t=0:dt

12、:te;p=roots(a);V=rot90(va nder(p);c=VY0'y1=zeros(1,le ngth(t);for k=1:n y1= y1+c(k)*exp(p(k)*t);e ndte=t(e nd);dt=te/(le ngth(t)-1);r,p,k=residue(b,a);h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2) *exp(p(1)*t);y2=c onv( u,h)*dt;y=y1(1:le ngth(t)+y2(1:le ngth(t);figure(1);subplot(3,1,1),plot(t,y1),gridxlabel('t

13、9;); ylabel('y1');title('零輸入響應(yīng)');subplot(3,1,2),plot(t,y2(1:le ngth(t);gridxlabel('t');ylabel('y2');title('零狀態(tài)響應(yīng)');subplot(3,1,3),plot(t,y),gridxlabel('t'); ylabel('y');title('全響應(yīng)響應(yīng)');程序運(yùn)行結(jié)果執(zhí)行程序，取 a=1,2,3 Y0=2,7 b=1,4,6u=si n(2*t)+cos(5

14、*t)dt=0.001 te=7結(jié)果如下圖：在零輸入響應(yīng)中任一時刻取值y1,在零狀態(tài)響應(yīng)的對應(yīng)時刻取值y2，再在全響應(yīng)的對應(yīng)時刻取值y ?？梢缘贸觯簓=y1+y2 。四、調(diào)試總結(jié)：在matlab語言中，用subplot對圖形進(jìn)行分塊，使幾幅圖同時顯示在一個圖 像框里。plot用來繪制連續(xù)的函數(shù)圖形。cnov用來求卷積，再就是利用語句對 不同階的矩陣進(jìn)行截取，使之相加，這點(diǎn)很重要，因?yàn)楹唵蔚牧爿斎腠憫?yīng)與零狀 態(tài)響應(yīng)相加，可能由于階數(shù)不同而無法得出結(jié)果，所以一定要使兩者的階數(shù)相同。五、設(shè)計總結(jié)：通過查閱大量的資料，我選擇用矩陣計算的方法來求連續(xù)時間系統(tǒng)的零輸入 響應(yīng)，卷積則是利用matlab中的conv語句求得，再根據(jù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y（t）是激勵u （t）與沖激響應(yīng)h（t）的卷積積分，求得零狀態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng) 則為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。MATLA語言是一種廣泛應(yīng)用于工程計算及數(shù)值分析領(lǐng)域的新型高級語言，Matlab功能強(qiáng)大、簡單易學(xué)、編程效率高，深受廣大科技工作者的歡迎。特別 是Matlab還具有信號分析工具箱，不需具備很強(qiáng)的編程能力，就可以很方便地 進(jìn)行信號分析、處理和設(shè)計。MATLA