第五章抽樣分布與參數(shù)估計

1、第五章抽樣分布與參數(shù)估計 第一節(jié)抽樣的基本概念 第：節(jié)參數(shù)估計 第三行樣本容量的確定投資何道？時間才是收益默三聯(lián)生活周刊2008.3.177中國證券登記結算公司的數(shù)據顯示，2006年底，滬） 深兩市的帳戶總數(shù)為7 854萬戶，2008年1月這一數(shù) 字變?yōu)?1 462萬戶2007年一年的開戶數(shù)，已經 接近過去17年開戶總數(shù)的50%去年底，中國證券報和大智慧公司聯(lián)合進行了一 項投資者2007年的收益調告，在11 205位被調令者 中，只有48.6%的投資者在股市獲利,其中726%的 投資者跑贏大盤,11%獲利在50%100%, 16.88% 獲利為20%50%, 13.51%獲利在10%左右、在

2、51.4%的虧損者中，18.61%的人虧損在10%左右，更 有2.44%的虧損超過50%。投資何道？時間才是收益三聯(lián)生活周刊2008.3.17顯然，調查結果可以用下表表示：分組比重獲利者48. 6其中：跑贏大盤7. 26獲利50%100%11.00獲利20%50%16. 88獲利10%左右13.51虧損者51.4D 其中：虧損20%50%16.61虧損超過50%2. 44超八成美國民眾認為：美國正在錯誤方向上前行2008.4.11青年參考 3月28口到4月2日，美國紐約時報 和CBS新聞報道頻道合作進行了一項 電話民意調查。結果顯示，美國民眾 對國家政策方向的不滿達到了上世紀 90年代以來的最

3、高點。81%的受訪者 認為“美國的情況已經發(fā)展到了錯誤 的方向上”。一年前持有類似觀點的訪者只占69%,而2002年這個數(shù)字 又為35%。超八成美國民眾認為：飛美國正在錯誤方向上前行N2008.4.11青年參考V 關于這次民調4 這次民調一共為1368名美國成年人接受了電話 訪問。受訪電話號碼字段是由電腦從42。00個 遍布全國的電話中隨機抽取的。 同樣以隨機的程序，從每一個家庭選出一個成年 人作為采訪對象。 理論上說，通過這種采樣方法得到的結果，與對 全美成年人口進行普查的結果相比較，20次中 有19次誤差不超過3%。蓋洛普調查小美國人對中國敵視度上升V2008.4.4青年參考、美國著名民調

4、機構蓋洛普于3月28口發(fā)布了一 項調查結果，在被問道誰是美國最大的敵人時, 伊朗、伊拉克和中國分列前三位。對中國的敵 視度上升了 3%。蓋洛普在今年2月1111至2月14日就這一問題 電話調查了 1007位美國成年人，結果顯示， 25%的美國人認為伊朗是美國的首要敵人；第 二位是伊拉克占22%；第三為中國，占14%；_然后是朝鮮，為9%蓋洛普調查美國人對中國敵視度上升2008.4.4青年參考同樣，上述調查結果可以整理如下：國別比重%國別比重%伊朗25伊拉克35伊拉克22中國14中國14伊朗8朝鮮9朝鮮22007年淮是美國最大的敵人2001年誰是美國最大的敵人第一節(jié)抽樣的基本概念、 #抽樣推斷的

5、作用（應用場合）號 1、在不可能進行全面調查時，可以通過抽樣調查說 明總體情況： 2?對沒有必要進行全面調查的社會經濟現(xiàn)象進行分 析H寸; 3、對全面調查的結果進行評價和修正； 4、用于工業(yè)牛.產過程的質量控制 #抽樣推斷的特點： 1、抽樣推斷是由部分推斷整體的一種研究方法。 2、抽樣推斷建立在隨機概率抽取樣木的基礎上。 甬3樣推斷是運用概率估計的方法。d®用樣推斷的誤差可以事先計算，并能加以控制。第一節(jié)抽樣的基本概念 一、有關抽樣的基本概念(-)樣本容量與樣本個數(shù) 1、總體：是指包括調查對象所有單位的全體。 一般用A/代表總體單位數(shù)。 2、樣本：是從總體中抽出的部分單位所的整 春舞

6、篇鐮翻I為線黃馥1祟亶 一定條件下，樣本容量大，調查誤差會小。 330為大樣本。 3、樣木個數(shù)：又稱樣木可能數(shù)目，是指從一 一個總體中可能抽取多少個樣本。fjR樣本個數(shù)與抽取樣本的方法相關。第一節(jié)抽樣的基本概念於 #交替標志平均數(shù)與的標準差： 1、交替標志：只表現(xiàn)為是或否、有或無、對或 錯的標志稱為交替標志，也稱作是非標志。 交替標志實際是品質標志，是把總體單位髡此廖隹金分為兩組的。所有品質標忐都可以作 2、晶；%有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占總體單位數(shù) 的比重稱為成數(shù)。通常用p表示。 例如：將產品分為合格與不合格兩組，當你關心期在抽樣調查中，除了對平均數(shù)的估計外, 和KJ成數(shù)的估計。第一節(jié)抽樣的基本概

7、念- 4、交替標志的標準差：為被研究的標準的標志3 現(xiàn)的成數(shù)p與另一種表現(xiàn)的成數(shù)(1-p)乘積的平方交替標志變量X單位數(shù)fX - x(x-xf贊成1028642.8-57.252.3970.02不贊成合計500122.41根。x =57.2%=122.41 =49 48% J = V57.2%x42.8%J 50()v=49.48%第一節(jié)抽樣的基本概念飛 （-）總體參數(shù)和樣本統(tǒng)計量、 1、總體參數(shù)：總體分布的數(shù)量特征的就是總體的 參數(shù)。總體參數(shù)是常數(shù)，一般是未知的，其中只 有總體單位數(shù)N可能已知。 2、樣本統(tǒng)計量：又稱樣本指標。是反映樣本特征 的統(tǒng)計指標。由于樣本是從總體中隨機抽取的單 位構成

8、的，因而，樣本統(tǒng)計量是隨機變量。樣本 單位數(shù)用n表示。 總體參數(shù)和統(tǒng)計量各有四個，分別為：平均數(shù)、 成數(shù)、方差、標準差。其中統(tǒng)計量是可以計算的。公式見下表：第一節(jié)抽樣的基本概念於指標總體樣本p = M NS（xx）：FZF平均數(shù)成數(shù)方差標準差第一節(jié)抽樣的基本概念%（三）抽取樣本單位的方法（重置抽樣與不重:置抽樣）V 1、重置抽樣：具體做法是從總體中隨機抽取一個單* 位，記錄其標志值后，乂將其放回總體中，在新一輪的抽 取時，該單位有可能被抽中。 #特點：（1） n個樣本單位是由n次試驗是結果構成的。（2）每次試驗是獨立的。 （3）每次試驗是在相同條件下進行的。 2、不重置抽樣：具體做法是從總體中

9、隨機抽取一個 單位，記錄其標志值后不放回總體中，在新一輪的抽取時, 該單位有沒有可能被抽中。 #特點：（1） n個樣本單位是山n次試驗是結果構成的。 （2）每次試驗不是獨立的。第一節(jié)抽樣的基本概念3、樣本個數(shù)（所有可能樣本數(shù)目）N!3與）!否棄5 （3）每個單位在多次試驗中中選的機會是不等 趣的。放回抽樣樣本數(shù)目=N” 不放回抽樣：樣本數(shù)目= 以N=4, n = 2為例放回抽樣，樣木數(shù)目M = 16不放回抽樣，樣本數(shù)目M = 12 以48人一個班，從中選取12人為例： 放回抽樣,樣木數(shù)目M = l.50xl0 2。不放回抽樣，樣本數(shù)目M= 3.34x10第一節(jié)抽樣的基本概念Z （R）概率抽樣及

10、其組織形式 1、概率抽樣：就是要求對總體的每次觀察（抽?。?都是次隨機試驗，并旦有和總體相同的分布。按這樣 的要求對總體觀測（抽?。﹏次，可得到容量為n的樣本。 只有概率抽樣，才能進行科學的統(tǒng)計推斷。 【例5-1】有10個同樣的球，分別標有從1至10的號碼。（1）從中有目的地抽出5號球； （2）從中隨便地取一個球； （3）把10個球放在袋中，充分混勻，從中抽出一個球， 抽取時，要求袋中各個球有相等的被抽中的概率。第一節(jié)抽樣的基本概念 顯然，（1）和（2）的抽取行為都不是隨機試驗。 因而不屬于概率抽樣。只有（3）的抽取行為是隨 機試驗?？傮w的分布可用表5-1的分布列來描述， 而（3）的隨機試驗中

11、所觀測的隨機變量也行與表 5-1有相同的分布。所以，（3）的抽取行為是概 率軸樣。 表5-110個球號碼的分布號石馬 1頻率 1/101/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/101/10101/10第一節(jié)抽樣的基本概念 2、概率抽樣的組織形式 (1)簡單隨機抽樣 定義：乂稱純隨機抽樣，是從總體全部單位 中直接按隨機原則抽取樣本單位，使每個總體Jf多0從理論上說最符合具體方法：直接抽選法、抽簽法和隨機數(shù)字 蓑法。采用這種抽樣方,總體很大時，編號工作困難。而且，當總體各第一節(jié)抽樣的基本概念(2)等距抽樣 定義：乂稱機械抽樣或系統(tǒng)抽樣，是將總體全部單位投 某一 標志排隊，而后

12、按固定的順序和間隔在總體中抽取若 干個樣本單位組成樣本的一種抽樣方式。 特點：(1)簡便、易于實施。 (2)在己知總體有關信息時，可提高樣本對總體的代表性。 (3)類型抽樣定義：又稱分層抽樣，是先把總體按某一標志分成若干 個類型組，然后分別在各組內按隨機原則抽取樣木單位。特點：把分組法和貫徹隨機原則結合起來。類型抽樣的總體方差由兩部分組成：(1 )組間方差(2)組內方差第一節(jié)抽樣的基本概念5 （4）整群抽樣 定義：是先將總體分成若干群，然后以群為鸚就為悔能齦牖嬲減群作 分群基本要求：（1）不重復（2）不遺漏 特點：（1）從總體中抽取的是“群” o （2）影響總體方差的是總體的群間方差，群內方差

13、不影響抽樣誤差。 （5）階段抽樣 定義：是將抽樣分成若干個階段進行，除了 羊，最第二節(jié)參數(shù)估計飛 一、抽樣誤差的概念：' 1、概念：是指樣本指標與被它估計的總體相應指 標之間數(shù)量上的差數(shù)。即隨機誤差。 2、產生原因： （1）登記性誤差。主觀原因造成。 全面調查和非全面調查都可能產生。 （2）代表性誤差。是抽樣調杳可能產生的誤差， 包括兩種： 溫宿常建希汰蚤稱偏差，是由于沒有遵循隨機 向隨機誤差：發(fā)稱偶然的代表性誤差，是指遵循Z(x-X)第二節(jié)參數(shù)估計 二、抽樣平均誤差的概念和計算(-)抽樣平均誤差的概念 隨機誤差包括：抽樣實際誤差和抽樣平均誤差。 實際誤差是不可求的： 1、由于總體參數(shù)

14、是未知的。 2、雖然總體參數(shù)是確定的，樣本卻有無數(shù)個， 樣本不同，誤差也不一樣。 抽樣平均誤差：是所有可能出現(xiàn)的樣本指標的 標準差，也可以理解為所有樣本指標和總體指 武的平均離差。第二節(jié)參數(shù)估計(-)抽樣平均誤差的計算 1、定義公式：按抽樣平均誤差的定義,其計算公式應為平均數(shù)估計Ib-=J成數(shù)估計0Z(p-P)(7、 P V第二節(jié)參數(shù)估計樣本構成平均數(shù)x-X11.11-152 2521, 21.5-1131, 32-0.50 2541, 42 50052, 11.5-1162, 22-0 50 2572, 32.50082, 430.50 2593, 12-0.50 25103, 22.500

15、113, 330.50 25123, 43.511134, 12 500_ 4, 230 50 25D 4, 33 5114, 44152 25合計：10=O.7906 這是放回抽樣 的平均誤差=0.6455由此可見。不放回 抽樣的誤差更小， 例如：N=4； X分別為1, 2, 3, 4o 貝小平均數(shù)口 = 2.5 標準差。=1.1180 方差= 1.25 n = 2時，放回抽樣共有16個樣木，不放回為 12個。將放回抽樣所有16個樣本的平均數(shù)、抽樣平均 誤差的計算列表如下；同時，計算不放回抽樣 的12個樣本的抽樣平均誤差。第二節(jié)參數(shù)估計定義公式只是告訴我們按照抽樣平均誤 差的定義，應如何計算

16、，由于計算時要 應用總體參數(shù)，實際抽樣中是無法按這 一公式計算的。第二節(jié)參數(shù)估計Q2、理論公式：數(shù)理統(tǒng)計證明抽樣平均誤差可達 按以下公式計算。(1)放回抽樣生=后(2)不放回抽樣(急)或軟=&(1 -9 代入數(shù)據計算如下：放回抽樣不放回抽樣=0.6455第二節(jié)參數(shù)估計顯然，理論公式的計算結果與定義公式是一樣的。但是，由于計算中要使用總體參數(shù)，理論公式與定義 公式一樣，不能計算。當總體標準差和方差未知時：1、用樣本方差來代替總體方差。2：用過去全面調查的資料或過去抽樣調查的資料代（三）影響抽樣平均誤差的因素，=行%=1、總體各單位標志的變異程度。（成正比）2、樣本容量的大小。（成反比）3

17、、不同抽樣方法的影響。（不放回抽樣誤差?。┘?，口 4、不同抽樣組織方式的影響。第二節(jié)參數(shù)估計V 三、抽樣極限誤差：X 1、定義：是指樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間可能 的誤差范圍。 抽樣極限誤差的大小取決于人們希望控制總體 參數(shù)的把握程度的大小。統(tǒng)計上稱之為概率保 證程度。 抽樣極限誤差與概率保證程度成反比關系。 2、t概率度的確定：=41 或即= ta gJcA = ta6 axp第二節(jié)參數(shù)估計 四、參數(shù)估計概述 （-）參數(shù)估計的定義與種類： 1、定義：就是用樣木統(tǒng)計量去估計總體的未 知參數(shù)。 2、參數(shù)估計的種類： （1）點估計：用一個樣本統(tǒng)計量作為總體參 數(shù)的估計值。 #特點：方法簡單，適用于對

18、推斷準確程度與 可靠程度不高的秸況。 #實際應用：用樣本方差估計總體方差。2）區(qū)間估計：給出總體參數(shù)具體的上限和至年限。第二節(jié)參數(shù)估計（二）估計量的優(yōu)良標準P108同一個未知參數(shù)nJ能有多個可供選擇的估計量，因而 必須對估計量進行評價，從中選擇最佳（滿意）估計 量的問題。估計量優(yōu)良性包括以下四條標準：1、無偏性：如果估計量的數(shù)學期里值等于總體參數(shù)， 則這個估計量為總體參數(shù)的無偏估計量。例如：總體均值的估計量可以是反映總體的集中趨勢 的樣本統(tǒng)計量，包括：均值、眾數(shù)、中位數(shù)。而總體均值的無偏估計最是樣木均值（算術平均數(shù)）。但注意，樣木方差不是總體方差的無偏估計量總偏估計量即準確的估計量。樣本構成平

19、均數(shù)11, 11 )21. 21.531, 3241, 42.552, 11.562, 2272, 32.582, 4393, 12103, 22.5113, 33123, 43.5一 134, 12.54, 23154, 33.5164, 44 對于放回抽樣市）=卒=40/16=2.5 對于不放回抽樣 E（X）=邱 M=30/12=2.5顯然：無論是放回抽樣 還是不放回抽樣，樣本平均數(shù)都是總體平均數(shù)的無偏估計量第二節(jié)參數(shù)估計 2、有效性：（乂稱最小方差性） 有效性：如果對比任何一個其它估計量，某估計 量有最小方差，則這個估計量為總體該參數(shù)的有 效估計量。 例如：樣本平均數(shù)是總體均值的有效估計

20、量而眾 數(shù)、中位數(shù)則不是總體均值的有效估計量。 有效估計量即精確的估計量 3、一致性 一致性：是指（在一定條件下）隨著樣本容量的 不斷增大，樣本統(tǒng)計量接近總體參數(shù)的可能性就 越大。品A抽樣推斷的條件指一定的把握程度和允許誤 4膈圍卷翁球/在舞褥蕾奧招金要根據研究對象的變異程 顯解，一個良好維乂則行計，應該是置信概率高，置 信區(qū)間小，既可邪乂精確。然而，置信概率與置信區(qū)間卻是互相制約的，在n相應的置第二節(jié)參數(shù)估計 、 （四）區(qū)間估計與估計的精度和可靠性 所謂區(qū)間估計，實質上就是用兩個互相聯(lián)系的 樣本統(tǒng)計量給出夕的區(qū)間。即以和分別作為總 體參數(shù)區(qū)間估計的卜限與上限，同時要求該區(qū) 間將電含在內的概率

21、應達到一定的程度。B|J： 戶（心（5.19）式中被和框定的區(qū)間叫做置信區(qū)間。二叫做抽 樣極限誤差，它可以反映抽樣估計誤差的最大 范圍。第二節(jié)參數(shù)估計歲數(shù)的區(qū)間估計，應滿足以卜兩個要求:鬻霆“酷飆如疆噬褊徽第二節(jié)參數(shù)估計 #區(qū)間估計的步驟： 計算樣本指標。 （2）計算抽樣平均誤差。 根據把握程度確定概率度t O 計算抽樣極限誤差。 給出總體參數(shù)的區(qū)間范圍。概率度11.6451.9623常用概率: 可靠件F (t) 68.27% 90% 95% 95.45% 99.73%第二節(jié)參數(shù)估計 常用概率： 可靠性F (t)概率度十 68.27%1 90%1.645 95%1.96 95.45%2 99.

22、73%3=1.56A-=tp-=2x 1.56=3. 12X = x±A-=58.27 ±3.12第二節(jié)參數(shù)估計 例如：從某校學生中隨機抽取100人，得出平均體 重58.27公斤，標準差15.64公斤，試以95.45%的 可靠性對全部學生的平均體重進行區(qū)間估計。解:已知平均體重58.270=15.64當可靠性為95.45%時，t=2即：有95.45%的把握, 該校學生平均體重在57.15公斤61.39公斤之間人均收入農戶數(shù)f9以下 39-107-從某縣農民家庭中隨機抽取100戶調 查其年收入情況（單位：千元）要求：（1）以95%的可靠性對全縣 農民家庭年人均收入進行區(qū)間估計

23、。（2）以90%的可靠性估計年 收入在10千元以上家庭所占比重。10-112811-123212-1313以上合計人均收入農戶數(shù)f組中值Xxf離差(X-浦 f9以下38.525.52.8925.05639-1079.566.51.8925,004710-112810.5294.50.8922.178811-123211.536.80.110.387212-132012.525.01.1124.642013以上1013.5135.02.1144,5210合計1001139.0141.790平均收入=1139/100=11.39'方差=141.79/100=1.42 抽樣極限誤差=1.96

24、 X 0.119抽樣平均誤差=0.119=0.23全部農民家庭年人均收入為=11.39±0.23即：有95%的把握估計全部農民家庭年人均收入 在11.16至11.62千元之間。(2)以90%的可靠性估計年收入在10元以上家 庭所占比里。 1)樣本中年收入在10千元以上家庭所占比重為 2) p=90/100二90% 3)抽樣平均誤差4= 4)抽樣極限誤差;：曰 )=1.64 x 3% =4.92% 5)給出總體參數(shù)白貓信區(qū)間P=p±A=90%±4.92%即：有90%的把握估計年收入在10千元以上家庭 所占比重在85.08%94.92%之間。平均收入=1139/100

25、=11.39人均收入農戶數(shù)f組中值Xxf離差平方(x-xyf9以下38.525.58352.125056.39-1079.566.53572.125004.710-112810.5294.5792.122178.811-123211.536.812.1387.212-132012.525.01232.124642.013以上1013.5135.04452.144521.0合計1001139.0141790第三節(jié)樣本容量的確定 一、問題的提出： 隹參數(shù)估計中，精確度當然要求越高越好。例 如：3%的誤差顯然不如1.5%.而可靠性要求則也是越高越好。例如：9。%的 可靠性不如95%的。 然而，這是一對矛盾。在抽樣實踐中，精確度 高（縮?。?，可靠性就會降低；可靠性提高（t加大），