第六章——簡單的超靜定問題

1、章節(jié)名稱學(xué)時(shí)備注第六章簡單的超靜定問題1教學(xué)目標(biāo)：2教學(xué)內(nèi)容:3重點(diǎn)、難點(diǎn)分析及解決策略4教學(xué)方法:5教學(xué)進(jìn)程:§ 61超靜定問題及其解法未知力個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，則僅由平衡方程即可解出全部 未知力，這類問題稱為靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，則僅由平衡方程無法確定全部 未知力，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié) 構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)。所有超靜定結(jié)構(gòu)，都是在靜定結(jié)構(gòu)上再加一個(gè)或幾個(gè)約束，這些約束對 于特定的工程要求是必要的，但對于保證結(jié)構(gòu)平衡卻是多余的，故稱為多余 約束。未知力個(gè)數(shù)與平衡方程數(shù)之差，稱為超靜定次數(shù)或靜不定次

2、數(shù)。求解超靜定問題，需要綜合考察結(jié)構(gòu)的平衡，變形協(xié)調(diào)和物理等三個(gè)方 面。§ 62拉壓超靜定問題一、靜定與超靜定問題1、靜定問題桿件的軸力可以用靜力平衡條件求出，這種情況稱作靜定問題。2、超靜定問題只憑靜力平衡方程已不能解出全部未知力，這種情況稱做超靜定問題。二、超靜定問題求解方法1、超靜定的次數(shù)未知力數(shù)超過獨(dú)立平衡方程數(shù)的數(shù)目，稱作超靜定的次數(shù).n =未知力的個(gè)數(shù)-獨(dú)立平衡方程的數(shù)目2、求解超靜定問題的步驟(1)確定靜不定次數(shù)；列靜力平衡方程(2)根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列變形幾何方程(3)將變形與力之間的關(guān)系(胡克定律)代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程(4)聯(lián)立補(bǔ)充方程與靜力平衡方程求解!)Fx

3、l2a + F、2a = 0三、一般超靜定問題舉例例送8設(shè)1、2、3三桿用紋鏈連結(jié)，如圖所示,/ =，2 = /，41 =、2 =/，=£2 = £0桿的長度A，橫截面積、3,彈性模量G .試求在沿拓垂方向的外力尸作用下各桿的軸力.解：。)列平衡方程£匕=。Z% = ° & g§a + Fy2 cos a +- F這是次超靜定問題！(2)變形幾何方程由問題在幾何，物理及受力方面都是對稱, 所以變形后A點(diǎn)將沿鋁垂方向卜移.變形協(xié)兩條件 是變形后三桿仍紋結(jié)在一起!變形幾何方程為 AZ=A/jCosa物理方程為AU餞3看f£4(3)

4、1卜充方程= Fyicos2 a E3A3(4)聯(lián)在平衡方程與補(bǔ)充方程求解E A cos a“1+2-cos2aEM例題9圖示平行桿系1、2. 3懸吊著橫梁“SUS的變形略去不計(jì)),在橫梁上作用著荷我心如桿1、2、3的截面積、長度、彈性模量均相同，分別為A,八E.試求1、2.3三桿的軸力FNV FNV。3解：(1)平衡方程 £工=。21 = 0£5=0五n】+國2 +83-尸=0£必=0 4】2"+小。=。這是一次超沖定問題,旦假設(shè)均為拉桿.(2)變形幾何方程 M + A，3 = 2A4物理方程AA=理A/(3)補(bǔ)充方程 &+&=2&am

5、p;(4)聯(lián)立平衡方程 與補(bǔ)充 方程求解四、裝配應(yīng)力各桿將處于圖中位置，因而圖示桿系，若3桿尺寸由微小謖差，則在桿系裝配好后,產(chǎn)生軸力.3桿的軸力為拉力，1, 2桿的軸力為壓力.這種附加的內(nèi)力就稱為裝配內(nèi)力.與 之相對應(yīng)的應(yīng)力稱為袋配應(yīng)力.M代衣桿3的仲長此代取桿1或桿2的縮短A代表裝配后4點(diǎn)的位移(1)變形幾何方程M + A =上 & = 鳥- M + 鳥-=6cos acos a(2)物理方程 A/, = "cos aA/ = f更用444(39卜充方程+ 一=6E3 A3 E、4 cos2 a(4)平衡方程 FNi sin a - FN2 sin a = 0cos a

6、- F2 cos a = 0(4)聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解FN1, % Fnj例題10兩例件用兩根鋼桿12連接，其間距為/=200mm.現(xiàn)要將制造得過長了AD.llmm 的銅桿3裝入鑄件之間，并保持三根桿的軸線平行且等間距0試計(jì)算各桿內(nèi)的裝配應(yīng)力,已 知：鋼桿直徑用10mm,銅桿橫截面枳為20x30mm的矩形，鋼的彈性模量£=210GPa,銅的彈 性模量E3T00GP&.佑件很厚,其變形可略去不計(jì).(2用理方程A4 =& 必=乳。 補(bǔ)充方程 M = Ae-蕓(4)平衡方程 & =尸、2 仆-& - % = 0聯(lián)在平衡方程與補(bǔ)充方程求解，即可得裝配內(nèi)力

7、,進(jìn)而求出裝配應(yīng)力.五、溫度應(yīng)力溫度變化將引起物體的膨脹或收縮.靜定結(jié)構(gòu)可以自由變形，不會引起構(gòu)件的內(nèi)力，但在 超靜定結(jié)構(gòu)中變形將受到部分或全部約束，溫度變化時(shí)往往就要引起內(nèi)力，與之相對應(yīng)的應(yīng) 力稱為然應(yīng)力或皙度應(yīng)力例趣11圖示等口桿.43的斯珀分別與剛性支承連結(jié).設(shè)兩支承的距炭(即桿長)為1,桿的橫 我面面枳為，材料的彈性模St為E,線膨脹系數(shù)為a.試求溫度升高AT時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力-解 這是一次超靜定問題變形相容條件是，桿的總長度不變.即A/ =0桿的變形為兩部分,即由程度升高引起的變形A/丁以及與軸向壓力/相應(yīng)的彈性變形Ab F I(1)變形幾何方程A/ =4/7一人/尸=0(2)物理方程

8、 4產(chǎn)=之二 "r=aATl(3計(jì)卜充方程 a,AT/ = gKAF(4)溫度內(nèi)力= EA at T由此得溫度應(yīng)力a = = a-E-AFA§6-4簡單的超掙定梁一.基本概念1 ,超靜定梁單憑群力平衡方程不能求出全部支反力的梁，稱為超靜 定梁2,多氽”約束：多于維持其靜力平衡所必需的約束3產(chǎn)多余”反力：“多余”與相應(yīng)的支座反力4.超靜定次數(shù)：超靜定梁的“多余”約束的數(shù)目就等于其超靜定次數(shù). "=未知力的個(gè)數(shù)獨(dú)立平衡方程的數(shù)目.二、求解超靜定梁的步驟1、畫靜定基建立相當(dāng)系統(tǒng)：將可動紋鏈支座作看多余約束面除多余約束代之以約束反力 %得到原超靜定梁的基本靜定系.2、列幾

9、何方程變形價(jià)調(diào)方程超靜定梁在多余約束處的約束條件梁的變形協(xié)調(diào)條件卬-0根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程：卬笈=川內(nèi)+M%的=03、列物理方程一變形與力的關(guān)系查表得卬的8E7叫 3EI4、建立補(bǔ)充方程將力與變形的關(guān)系代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程為+ = o由該式解得Rb =8EI 3EI85、求篇其它問題(反力、應(yīng)力、變形等)求出該梁固定端的兩個(gè)支反力Ra = -ql2Oo變形兒何H旦口一口口口T1 B方法二：取支座4處阻止梁轉(zhuǎn)動的約束為多余約束.代以與其相應(yīng) 的多余反力偶得基本靜定系.變形相容條件為04=0請同學(xué)們自行完成！例題8梁如圖所示,梁的，端用一鋼桿與梁，。錢接,在梁受荷戰(zhàn)作用前.

10、桿內(nèi)沒 有內(nèi)力,已知梁和桿用同樣的鋼材制成,材料的彈性橫域?yàn)?#163;,鋼梁橫械面的慣性矩為/,拉桿橫截面的面枳為工其余尺寸見圖，試求鋼桿內(nèi)的拉力、M：這是 次超價(jià)定向題將IQ桿與梁4CZ問 的連結(jié)線看作多余約束.拉力為多余反力.基本 靜定系如圖，點(diǎn)的變形相容條件是拉桿和梁 在變形后仍連結(jié)于川點(diǎn).即= AZ根據(jù)疊加曲端的撓度為打二»%十%變形幾何方程為在例威中已求馮1 qaW/q 二i12以Na可算出：4V =-27拉桿力。的伸長為：z = F/補(bǔ)充方程為:2E1 EI由此倒得：n二人 12(/Z +4a3)例題9求圖示梁的支反力,并繪梁的剪力圖和夸能圖.己丸l£/=5x l(PkN.m20kN/m111解：這是一次超靜定問題取支座B故面上的相對轉(zhuǎn)動約束為多余約束.4 基本舒定系為在R支座截面上安置紋的靜定梁.如圖所示.多余反力為分別作用于簡支梁.4和4c,的端處的一對夸庫M1r變形相容條件為，簡支梁羽的B截面轉(zhuǎn)角和RC 梁。被面的轉(zhuǎn)角相等.圖二。；由表中查得：20kI/m M/j以-4m-420kN/m30k、20x43 Af,x42AEI 3E!不必24EI 3EI30x3x2(5 + 2)42 5MBi= +6F/x53EI EI 3EII 30kx32.0補(bǔ)充方程