新高一數(shù)學(xué)銜接講義講義系列一

1、第 1 講數(shù)與式教學(xué)目標(biāo)1、理解并掌握乘法公式與因式分解2、理解并掌握二次根式的運(yùn)算與化簡3、理解并掌握繁分式的化簡重點(diǎn)、難點(diǎn)乘法公式與因式分解二次根式與分式考點(diǎn)及考試要求1、理解并掌握乘法公式與因式分解2、理解并掌握二次根式的運(yùn)算與化簡3、理解并掌握繁分式的化簡教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架知識(shí)點(diǎn)一：乘法公式【內(nèi)容概述】【公式 1】 (ab c)2a 2 b 2c22ab 2bc 2ca【公式 2】(ab)(a2ab b2)a3b3 (立方和公式 )【公式 3】(ab)(a2ab b2)a3b3 (立方差公式 )【公式 4】 (a b)3 a3 b3 3a2b 3ab2 (請(qǐng)同學(xué)證明) 【公式 5】 (a

2、 b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (請(qǐng)同學(xué)證明)【典型例題 1】：例 1. 計(jì)算： (x2 2x 1)2例 2. 計(jì)算： 2a b (4a2 2ab b2)3精心整理例 3. 計(jì)算(1) 3x 2y (9x2 6xy 4y2)(2) 2x 3 (4x2 6xy 9)變式 1：利用公式計(jì)算(14m2 16m 19)(2) a b (a2 ab b2) a22b (a2 ab b2)(1) 1 m 123變式 2: 利用立方和、立方差公式進(jìn)行因式分解(1) 27m3 n3(2)27m3 1n3(3) x3 125 (4) m6 n68【典型例題 2】：例 4. 計(jì)算：( 1) ( 1 m

3、1 n)( 1 m2 1 mn 1 n2)5 2 25 10 4例 5.已知x2 3x 1 0，求 x3 13 的值x3例 6. 已知 a b c 0，求 a(1 1) b(1 1) c(1 1) 的值 b c c a a b 變式 1: 計(jì)算： (x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) 變式 2:已知 a b c 4，ab bc ac 4，求 a2 b2 c2的值知識(shí)點(diǎn)二、根式【內(nèi)容概述】式子 a(a 0) 叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1) ( a)2 a(a 0) (2) a2 |a|(3) ab a b(a 0,b 0) (4) b b (a 0,b 0)【典型例題 1】 ：

4、基本的化簡、求值例 7. 化簡下列各式： (1) ( 3 2)2 ( 3 1)2(2) (1 x)2 (2 x)2 (x 1)例 8. 計(jì)算 4 2 3精心整理精心整理變式 1: 二次根式 a2 a 成立的條件是 ( )A a 0 B a 0 C a 0 D a 是任意實(shí)數(shù) 變式 2: 若 x 3 ，則 9 6x x2 |x 6| 的值是 ( )ABCD變式 3： 計(jì)算 7 4 3【說明】1、二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式2、二次根式的化簡常見類型有下列兩種：被開方數(shù)是整數(shù)或整式化簡時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或

5、因式開出來；分母中有根式 (如 3 ) ，或被開方數(shù)有分母 (如 2x ) 這時(shí)可將其 化為 a形式(如 x 可化為 x ) ，轉(zhuǎn)化為“分母中有根式”的情況化簡時(shí)，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡 (如 3 化為 3(2 3) ，其中 2 3與2 3叫做互為有2 3 (2 3)(2 3)理化因式) 【典型例題 2】 ：有理化因式和分母有理化有理化因式： 兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做有理化因式。如 a與 a；a x b y 與 a x b y 互為有理化因式。分母有理化： 在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去

6、，叫做 分母有理化。例 9. 計(jì)算：(1) ( a b 1)(1 a b) ( a b)2 例 10.設(shè)x 2 3,y 2 3，求 x3 y3的值2 3 2 3知識(shí)點(diǎn)三、分式典型例題 1】 ：分式的化簡2例 11. 化簡 x 3 3x 9 6x 3 x 1 例 12. 化簡 xx3 27 9x x3 6 2x 1 x x1 xx典型例題 2】 ：分式的證明例 13. （ 1）試證： 1 1 1 （其中 n 是正整數(shù)）； n（n 1） n n 1（ 2）計(jì)算： 1 1 L 1 ；11 n(n 1) 21 2 2 3 9 10（3）證明：對(duì)任意大于 1的正整數(shù) n，有 1 1 L2 3 3 4 【

7、典型例題 3】 ：分式的運(yùn)用例 14. 設(shè)e c ，且 e>1，2c25ac2a20，求 e 的值 a變式 1：對(duì)任意的正整數(shù) n，1n(n 2)變式 2: 選擇題：若 2xx（A）（ B） 54 變式 3: 計(jì)算 1 11 2 2 32，C)451則 x =(yD)6513499 100知識(shí)點(diǎn)四、因式分解 【內(nèi)容概述】因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向 的變形。在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用。是一種 重要的基本技能。因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法( 平方差公式和完全平方公式 ) 外，還有公式法 ( 立方和、立方差

8、公式 ) 、十 字相乘法和分組分解法等等?！镜湫屠} 1】 ：公式法 (立方和、立方差公式 ) 【內(nèi)容概述】 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：(a b)(a2 ab b2) a3 b3( 立方和公式 ) (a b)(a2 ab b2) a3 b3( 立方差公式 ) 由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來 寫，就得到： 這就是說，兩個(gè)數(shù)的立方和 (差 )，等于這兩個(gè)數(shù)的和 (差)乘以它們的平方和 與它們積的差 (和)。運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng) 式進(jìn)行因式分解。例 15. 用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式： (1) 8 x3(2)

9、 0.125 27b3變式： 分解因式： (1) 3a3b 81b4(2) a7 ab6【典型例題 2】 ：分組分解法【內(nèi)容概述】 從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式 而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式， 如 ma mb na nb 既沒有公式可用， 也沒有公因式可以提取因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理這種利用分組 來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組常見題型：(1) 分組后能提取公因式( 2)分組后能直接運(yùn)用公式(1) 分組后能提取公因式例 16. 把 2ax 10ay 5by bx分解因式。 變式： 把a(bǔ)b(c2 d 2) (a2 b2 )cd 分解

10、因 式。(2) 分組后能直接運(yùn)用公式例 17.把 x2 y2 ax ay分解因式。 變式：把 2x2 4xy 2y2 8z2分解因式?！镜湫屠} 3】： 十字相乘法【內(nèi)容概述】(1) x2 (p q)x pq 型的因式分解 這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)， 其特點(diǎn)是：二次項(xiàng)系數(shù)是 1；常數(shù)項(xiàng) 是兩個(gè)數(shù)之積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和22 x ( p q)x pq x px qx pq x(x p) q(x p) (x p)(x q) ， 運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為 1 的二次三項(xiàng)式分解因式(2)一般二次三項(xiàng)式 ax2 bx c 型的因式分解由a1a2x2 (a1c2 a2c1)x

11、 c1c2 (a1x c1)(a2x c2) ，我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù) a分 解成a1a2 ，常數(shù)項(xiàng)c分解成 c1c2，把a(bǔ)1,a2,c1,c2寫成aa2(1) x2 ( p q)x pq型的因式分解例 18. 把下列各式因式分解： x2 7 x 6 (2) x2 13x 36例 19. 把下列各式因式分解： cc12 ，這里按斜線交叉相乘， 再相加，就得到 a1c2 a2c1 。如果它正好等于 ax2 bx c的一次項(xiàng)系數(shù) b，那么 ax2 bx c就可以分解 成 (a1x c1)(a2x c2)，其中 a1,c1 位于上一行， a2,c2 位于下一行這種借助畫十 字交叉線分解系數(shù)，從而將二次

12、三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做 十字相乘法必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過 多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解（1） x2 5x 24 （2） x2 2x 15例 20. 把下列各式因式分解：（1） x2 xy 6y2 （2） （x2 x）2 8（x2 x） 12 （2）一般二次三項(xiàng)式 ax2 bx c 型的因式分解 例 21. 把下列各式因式分解： （1） 12x2 5x 2 （2） 5x2 6xy 8y2 變式練習(xí) :（1）x2-6x+5（2）x2+15x+56（3）x2+2xy-3y2（4）（x2+x）2-4（x 2+x）-12【典型例題 3】：

13、 其它因式分解的方法（1）配方法例 22.分解因式 x2 6x 16變式: （1）x2+12x+20（2）a4+a2b2+b4（2）拆項(xiàng)法 （ 選講） 例 23. 分解因式 x3 3x2 4（3）其它方法 （選講） 例 24.（x 2-5x+2）（x 2-5x+4）-8課后練習(xí)1填空：（1）12 a91b24(1b 1a) ()；23（2）(4m)2216m2 4m ( ) ；(3) (a2bc)2a2 4b2 c2 ( ) （4）若x2yx2 2xy 4y2 8y3 1（5）2 若xx1 0 ，則 x4 x2 2x 1（6）1 a2，b21 ，則 23a2 ab 233a2 5ab 2b2，

14、則 x, y 的值為227)若 x2 xy 2y2 0，則 x2 23xy 2y2 xy8)若 a b 2 ab ba ，則()A) a b(B) a b (C) a b 0 (D)b a 0教學(xué)目標(biāo)1、能熟練掌握二次函數(shù)的圖像，能夠根據(jù)解析式快速 畫出函數(shù)的圖像 2、理解并掌握二次函數(shù)的三種表達(dá)式 3、理解并掌握二次函數(shù)的最值問題4、能夠根據(jù)二次函數(shù)、一元二次不等式不等式的關(guān)系 解二次不等式重點(diǎn)、難點(diǎn)二次函數(shù)的最值問題一元二次不等式的解法考點(diǎn)及考試要求二次函數(shù)的最值與一元二次不等式的解法教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架1、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 2、二次函數(shù)的三種表達(dá)式4) 4xy 1 4x2(10)若 1

15、1 2，則 3x xy 3y的值為( ) x y x xy yA 3B 3C 5D 55 5 3 3 2化簡： (1) m 9m 10m m 2m2 13把下列各式分解因式：(1) 3ax 3ay xy y2 (2) 8x3 4x2 2x 1(2)2x 2x2x2 y (xy 0)2(3) 5x2 15x 2xy 6yy6 2x3 12 4 3 2 2 3 4 6 y (5) a b a b a b ab (6) x第 2 講一元二次函數(shù)與二次不等式3、二次函數(shù)的最值問題 4、一元二次不等式知識(shí)點(diǎn)一、 y ax2 bx c 的圖像與性質(zhì)【內(nèi)容概述】1、 當(dāng) a 0時(shí)，函數(shù) y ax2 bx c

16、 圖象開口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線； 當(dāng)時(shí)，y 隨著 x 的增大而；當(dāng)時(shí)， y 隨著 x 的增大而；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最 小值2、當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù) y ax2 bx c 圖象開口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線； 當(dāng)時(shí)，y 隨著 x 的增大而；當(dāng)時(shí)， y 隨著 x 的增大而；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最 大值上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過上圖直觀地表示出來因此，在今后解 決二次函數(shù)問題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解 決問題【典型例題 】例 1. 求二次函數(shù) y3x2 6x 1圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng) x 取何值時(shí)， y 隨 x 的增大而增大（或減小

17、）？并畫出該函數(shù)的圖象變式 1： 作出以下二次函數(shù)的草圖（ 1） y x2 x 6 （2） y x2 2x 1 （3） yx2 1例 2.某種產(chǎn)品的成本是 120元/ 件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量 y（件）之間關(guān)系如下表所示：x/ 元130150165y/ 件705035若日銷售量 y 是銷售價(jià) x 的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價(jià) 應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷售利潤是多少？ 例 3. 把二次函數(shù) yx2bxc 的圖像向上平移 2 個(gè)單位，再向左平移 4 個(gè) 單位，得到函數(shù) yx2的圖像，求 b，c 的值知識(shí)點(diǎn)二、二次函數(shù)的三種表示方式【內(nèi)容概述

18、】1、一般式： yax2bxc（a0） ；2、頂點(diǎn)式： y a（ x h） 2k（a0），其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （h，k） 3、交點(diǎn)式： ya（x x1）（x x2）（a 0）【 典型例題 】例 4. 已知某二次函數(shù)的最大值為 2，圖像的頂點(diǎn)在直線 yx1 上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（ 3，1），求 二次函數(shù)的解析式例 5.已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) （ 3，0） ，（1 ，0） ，且頂點(diǎn)到 x 軸的距離等 于 2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式例 6. 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) （ 1， 22） ， （0 ， 8） ， （2 ， 8） ，求此二次函數(shù)的表達(dá)式例 7. 函數(shù) y x2 x 1 圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

19、（A）0 個(gè)（B）1 個(gè)（C）2 個(gè)（ D）無法確定變式 1: 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與 x 軸交于點(diǎn) （1，0）和（2，0） ，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為 y a（ a0） 變式 2：二次函數(shù) yx2+2x1 的函數(shù)圖象與 x軸兩交點(diǎn)之間的距離為變式 3： 根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式（ 1）圖象經(jīng)過點(diǎn) （1 ，2） ，（0 ，3） ，（ 1， 6） ；（2）當(dāng) x3時(shí)，函數(shù)有最小值 5，且經(jīng)過點(diǎn) （1 ，11） ；（3）函數(shù)圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) （1 ， 0） 和（1 ， 0） ，并與 y 軸交于 （0 ， 2） 知識(shí)點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值問題【內(nèi)容概述】 1二次函數(shù) y ax2 bx

20、 c （a 0） 的最值二次函數(shù)在自變量 x 取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況：當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù)在 x b 處取得最小值 4ac b ，無最大值；當(dāng) a 02a 4a時(shí)，函數(shù)在 x b 處取得最大值 4ac b ，無最小值2a 4a 2二次函數(shù)最大值或最小值的求法第一步：確定 a的符號(hào)， a>0有最小值， a<0有最大值； 第二步：配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值3求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值如： y ax bx c 在 m x n （其中 m n ）的最值 第一步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸： x x0 ； 第二步：討論：（1）若 a 0 時(shí)求最小值或 a 0 時(shí)

21、求最大值，需分三種情況討論： 對(duì)稱軸小于 m即 x0 m ，即對(duì)稱軸在 m x n的左側(cè)； 對(duì)稱軸 m x0 n ，即對(duì)稱軸在 m x n 的內(nèi)部； 對(duì)稱軸大于 n即 x0 n ，即對(duì)稱軸在 m x n 的右側(cè)。（2）若 a 0時(shí)求最大值或 a 0時(shí)求最小值，需分兩種情況討論： 對(duì)稱軸 x0 m n ，即對(duì)稱軸在 m x n 的中點(diǎn)的左側(cè)；2對(duì)稱軸 x0 m n ，即對(duì)稱軸在 m x n 的中點(diǎn)的右側(cè)；2 說明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對(duì)稱軸與自變量的取值范 圍相應(yīng)位置【典型例題 】例 8. 求下列函數(shù)的最大值或最小值（1） y 2x 2 3x 5 ；（2） y x2 3x 4例

22、9. 當(dāng) 1 x 2時(shí)，求函數(shù) y x2 x 1的最大值和最小值例 10.當(dāng) x 0時(shí)，求函數(shù) y x（2 x） 的取值范圍例 11.當(dāng)t x t 1時(shí)，求函數(shù) y 1x2 x 5的最小值 （其中t為常數(shù)） 變式 1：設(shè) a 0 ，當(dāng) 1 x 1時(shí)，函數(shù) y x2 ax b 1的最小值是 4 ，最大 值是 0，求 a,b 的值變式 2：已知函數(shù) y x2 2ax 1在 1 x 2上的最大值為 4，求 a 的值變式 3：求關(guān)于 x的二次函數(shù) y x2 2tx 1在 1 x 1上的最大值 （ t為常數(shù) ） 變式 4： 已知函數(shù) y x22x3，當(dāng)自變量 x 在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或

23、最小 值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量 x 的值：（ 1）x 2；（2）x2；（3） 2 x 1；（ 4） 0x 3 知識(shí)點(diǎn)四、一元二次不等式【內(nèi)容概述】 通過前面的學(xué)習(xí)，咱們已經(jīng)掌握了根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫函數(shù)的圖 像，現(xiàn)在同學(xué)們根據(jù)圖像與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分類，詳細(xì)總結(jié)，然后對(duì)比二 次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系 . （在黑板上畫出表格 的框架，讓學(xué)生來填，引導(dǎo)學(xué)生自主找規(guī)律）1、一元二次不等式 ax 2 bx c 0或 ax2 bx c 0 a 0 的解集： 設(shè)相應(yīng)的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的兩根為 x1、 x2 且 x1 x2 ，b2 4

24、ac ，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)（ a 0 ）的圖象一元二次方程2簡單分式不等式的解法解簡單的分式不等式的方法：對(duì)簡單分式不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn) 化為整式不等式，應(yīng)當(dāng)注意分母不為零 .精心整理3含有字母系數(shù)的一元一次不等式一元一次不等式最終可以化為 ax b的形式：1)當(dāng)a0時(shí)，不等式的解為：2)當(dāng)a0時(shí)，不等式的解為：bx；abx；a3)當(dāng)a0時(shí)，不等式化為： 0 x b ；若 b0，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；若 b0，則不等式無解典型例題 】例 12. 解下列不等式： (1) x2x 6 0 (2) (x 1)(x 2) (x 2)(2x 1)例 13. 解下列不等式： (1)

25、 x22x 8 0 (2) x2 4x 4 0(3) x2 x 2 014. 已知對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，15. 解下列不等式： (1) 2x 3 0 x1kx2 2x k 恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍1(2) x12 316.解關(guān)于 x 的不等式 x2 x a(a 1) 0例 bx217. 已知不等式 ax2 bx c 0(a 0) 的解是 x ax c 0 的解2,或 x 3求不等式變式1：(1) 2x2 x 0(2) x2 3x 18 0 (3) x2 x 3x1 (4) x(x 9) 3(x 3)變式2：解下列不等式： (1) x 1 0(2) 3x 1 2(3) 2x 1 2x 1 x

26、2x2 x 11(4) 2x2x x1 1 0變式變式解下列不等式： (1) x2 2x 2x2 2 (2) 1 x24: 已知關(guān)于 x 的不等式 mx2 x m 0的解是一切實(shí)數(shù)，求 m 的取值范3：1x 1 035圍( 選做)課后練習(xí)1根據(jù)下列條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ 0， 1），B（ 1， 0）， C（ 1，2）；2）已知拋物線的頂點(diǎn)為（ 1，3 ），且與 y 軸交于點(diǎn)（ 0，1）；3）已知拋物線與 x 軸交于點(diǎn)M（ 3 ， 0），（ 5， 0），且與 y軸交于點(diǎn)（ 0，3）；2 ），且與 x 軸兩交點(diǎn)間的距離為 42. 已知函數(shù) y x2,

27、 2 x a ，其中 a 2 ，求該函數(shù)的最大值與最小值， 并求 出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量 x 的值13. 若 0<a<1, 則不等式 （xa）（ x 1 ）<0 的解是（）a1111A.a<x<B. <x<aC.x> 或 x<a D.x< 或 x>aaaaa24. 如果方程 ax2bxb0 中， a< 0，它的兩根 x1，x2滿足 x1<x2，4）已知拋物線的頂點(diǎn)為（ 3，其中 a那么不等式 ax2 bx b< 0 的解是 5. 解下列不等式：2 2 2（1）3x22x1< 0；（2） 3

28、x24<0；（3）2xx21；2 2 2 （4）4x20（5）4+3 x 2x2 0;（6）9 x212x> 4; 6. 解關(guān)于 x 的不等式 x2（1a）xa<0（a 為常數(shù)）21求關(guān)于 x 的不等式第 3 講一元二次方程與韋達(dá)定理7. 關(guān)于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解為 x 2或x教學(xué)目標(biāo)1、理解并掌握一元二次方程根的判別式2、理解并掌握根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）重點(diǎn)、難點(diǎn)1、韋達(dá)定理與一元二次方程的關(guān)系2、韋達(dá)定理的應(yīng)用考點(diǎn)及考試要求1、一元二次方程根的判別式2、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架ax 2 bx c 0 的解1、一元二次方程根的判別

29、式 2、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）3、簡單的二元二次方程組 （選講）4、分式方程和無理方程的解法 （選講） 知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程根的判別式 【典型例題 】例 1. 求下列方程的根1) x2 2x 3 0(2) x2 2x 1 0 (3) x2 2x 3 0例 2. 判定下列關(guān)于 x 的方程的根的情況（其中 a 為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根（1）x23x30；（2）x2ax10；（3）x2ax（ a1）0（4）x22xa0變式練習(xí) : 已知關(guān)于 x的一元二次方程 3x2 2x k 0 ，根據(jù)下列條件，分別 求出 k 的范圍：（2） 方 程 有 兩個(gè) 相等 的實(shí) 數(shù)（1） 方程有

30、兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；根；（4） 方程無實(shí)數(shù)根。（3）方程有實(shí)數(shù)根；知識(shí)點(diǎn)二、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）內(nèi)容概述】b b2 4ac ，2a ，x2b b2 4ac ，2a若一 元二 次方程 ax2 bx c 0（a0）有兩 個(gè)實(shí) 數(shù)根 x1則有：x1x2b b 2 4ac2ab b 2 4ac 2b2a 2ax1x2b2 4 ac b b2 4ac b 2 (b2 4ac) 2a 2a4a24ac4a2所以，元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：x1x2 b ，x1·x2aa這一關(guān)系也被稱為“韋達(dá)定理” 特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的元二次方程 x2px q0，若 x1， x2 是其兩根

31、，由韋達(dá)定理可知：x1x2p，x1·x2q，即： p（x 1x2），qx1·x2，精心整理所以，方程 x變式 1：填空 : 1 1（ 1）若方程 x2 3x 1 0 的兩根分別是 x1和 x2，則x1 x2（2）方程 mx2x 2m0（ m0）的根的情況是（3）以 3和 1為根的一元二次方程是（4）若 m，n 是方程 x 2 2005x 10 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 m2n mn2 mn的值等于pxq0可化為 x2（x 1x2）x x1·x20。由于 x1，x2是一元二次方程 x2px2 q 0 的兩根，所以， x1， x 2也是一元二次方程 x （x 1 x2）x x

32、1· x2 0 的兩根因此有： 以 x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是 x2（x 1 x 2）x x1· x20【 典型例題 】2例 3.已知方程 5x2 kx 6 0的一個(gè)根是 2，求它的另一個(gè)根及 k 的值例 4. 已知關(guān)于 x的方程 x22（m2）xm240 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè) 根的積大 21，求 m的值例 5. 已知兩個(gè)數(shù)的和為 4，積為 12 ，求這兩個(gè)數(shù)例 6. 若 x1和 x2分別是一元二次方程 2x25x30 的兩根（1）求|x1x2|的值；（2）求 x12 x12 的值；（3） x1（5）如果 a，b 是方程 x2x

33、10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式 a3a2bab2b3的值是變式 2: 已知 a2 8a 16 |b 1| 0，當(dāng) k 取何值時(shí)，方程 kx2axb0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？ 變式 3: 已知方程 x2 3x 1 0的兩根為 x1和 x2，求（ x13）（ x2 3）的值變式 4: 已知關(guān)于 x 的方程 x2 kx 20（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； x23x1 x2變式： 若 x1 ,x2 是方程 x2 2x 2007 0 的兩個(gè)根，試求下列各式的值：11（1） x1 x2 ； （2） ； （3） （x1 5）（x2 5） ； （4） | x1 x2 |x1 x2例 7. 若關(guān)于 x 的一

34、元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于 零，求實(shí)數(shù) a 的范圍例 8.已知關(guān)于 x的方程 x2 （k 1）x 1k2 1 0，根據(jù)下列條件，分別求出 k的4值。（1） 方程兩實(shí)根的積為 5； （2） 方程的兩實(shí)根 x1, x2滿足| x1 | x2。 例 9. 已知 x1,x2 是一元二次方程 4kx2 4kx k 1 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（1）是否存在實(shí)數(shù) k，使 （2x1 x2 ）（ x1 2x2）3成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。（2） 求使 x1 x2 2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù) k 的整數(shù)值。x2 x1精心整理精心整理2x2 xy 12(1)2xy y2 4(2

35、)例 14. 解方程組2 x xy26(12)例15.解方程組 3xyxy xy 38( 2(1)（ 2）設(shè)方程的兩根為 x1和 x2，如果 2（ x1 x2） > x1x2，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍2變式 5：一元二次方程 ax（2）由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組（可因式分解型）【內(nèi)容概述】 方程組中，一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程 組可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程組，其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè) 二元一次方程組成。22 例 12.解方程組 x2 y 52（x y） （1） 例 13. 解方程組bxc0（a 0）的兩根為 x1和 x2求：（1）| x1 x2|和 x1

36、 x2 ；（ 2） x1x2 xy y2 43 （2） x232變式 6：關(guān)于 x的方程 x24xm0的兩根為 x1，x2滿足| x1x2| 2，求實(shí)數(shù) m的值 知識(shí)點(diǎn)三、簡單的二元二次方程組（選講內(nèi)容） 【內(nèi)容概述】 在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程 組的解法，掌握了用“消元法”解二元一次方程組高中新課標(biāo)必修 2 中學(xué) 習(xí)圓錐曲線時(shí)，需要用到二元二次方程組的解法因此，需介紹簡單的二元 二次方程組的解法。含有兩個(gè)未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是 2 的整式方程，叫 做二元二次方程。由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，或由兩個(gè)二 元二次方程組組成的方

37、程組，叫做二元二次方程組。（1）由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組 【內(nèi)容概述】一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，一般都可以 用“代入法”求解其蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一 元二次方程求解。例 10.解方程組 22xy20 （1） 例 11. 解方程組x y 11（1）x2y230 （2）xy 28（2）精心整理22x2xy y 42(x y)5x 5y 6223x 2xy y 0變式練習(xí)： 解方程組（ 1）2；( 2)(x y)2 3(x y) 18 0知識(shí)點(diǎn)四、分式方程和無理方程的解法（選講）【內(nèi)容概述】 初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分

38、式方程的解法。這里將 要學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法要求 掌握：（1） 不超過三個(gè)分式構(gòu)成的分式方程的解法，會(huì)用“去分母”或”換 元法”求方程的根，并會(huì)驗(yàn)根；（2） 了解無理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法， 會(huì)用”平方”或”換元法”求根，并會(huì)驗(yàn)根。【典型例題 1】 可化為一元二次方程的分式方程 （1）去分母，化分式方程為一元二次方程 例 16. 解方程 124x2 1 。x 2 x2 4 x 2（2）用換元法，化分式方程為一元二次方程例 17.解方程 （ x ）2 3x 4 0例18.解方程 8（x2 2x） 3（2x 1） 11x 1 x 1 x

39、 1 x 2x【典型例題 2】 可化為一元二次方程的無理方程 （1）平方法解無理方程例 19.解方程 x 7 x 1例 20. 解方程 3x 2 x 3 3 （2）換元法解無理方程例 21. 解方程 3x2 15x 2 x2 5x 1 2變式練習(xí) : 解下列方程（1）x 5 x 7（2） x 3 2 x（ 3） 3x 1 x 4 1課堂練習(xí)1選擇題 :（ 1）已知關(guān)于 x 的方程 x2kx2 0 的一個(gè)根是 1，則它的另一個(gè)根是（）（ A） 3（B）3（ C） 2（ D） 2（2）下列四個(gè)說法： 方程 x22x70 的兩根之和為 2，兩根之積為 7； 方程 x22x70 的兩根之和為 2，兩根

40、之積為 7；27 方程 3x270 的兩根之和為 0，兩根之積為；3 方程 3x22x0 的兩根之和為 2，兩根之積為 0其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）（ A） 1 個(gè)（ B） 2 個(gè)（ C） 3 個(gè)（ D） 4 個(gè)精心整理（3）關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2 5x a2 a 0 的一個(gè)根是 0，則 a的值是（） （A）0（B）1（C）1（D）0，或 12填空 :（1）方程 kx 4x1 0 的兩根之和為 2，則 k（2）方程 2x x40 的兩根為，則 （ 3）已知關(guān)于 x 的方程 x2ax 3a0 的一個(gè)根是 2，則它的另一個(gè)根是（4）方程 2x22x10 的兩根為 x1 和 x2，則| x1

41、x2| 223試判定當(dāng) m取何值時(shí)，關(guān)于 x 的一元二次方程 m2x2（2m1）x10 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？課后練習(xí)1、選擇題：（ 1）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x2 8x 70 的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長等于（）（A） 3 （B）3（C）6（D）9（2）若 x1， x2是方程 2x2 4x1 0 的兩個(gè)根，則 x1 x2 的值為（） x2 x13（A）6（B）4（C）3（D）2（ 3）如果關(guān)于 x 的方程 x22（1 m） x m2 0 有兩實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（）11（A）（ B） （ C） 1（ D） 122c（4）已知 a,b

42、,c是 ABC的三邊長，那么方程 cx （ab）x 0的根的情況是（）4A）沒有實(shí)數(shù)根 B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根22填空：若方程 x28x m0 的兩根為 x1，x2，且 3x12x218，則 m3. 求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10 各根的相反數(shù)4已知關(guān)于 x 的方程 x2 （m 2）x m 0 4（1）求證：無論 m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1，x2滿足| x2| |x1| 2，求 m的值及相 應(yīng)的 x1，x25. 若關(guān)于 x 的方程 x2 x a 0 的一個(gè)大于 1、零一根小

43、于 1，求實(shí)數(shù) a的取值范圍 6（選做）已知 x1，x2是關(guān)于 x的一元二次方程 4kx24kxk10 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根3（ 1）是否存在實(shí)數(shù) k，使（2x1x2）（ x1 2x2） 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，說明2理由；精心整理精心整理2）求使 x1 x2 2 的值為整數(shù)的實(shí)數(shù) k 的整數(shù)值； x2 x13）若 k2，x1 ，試求 的值x2第 4 講絕對(duì)值不等式與無理式不等式教學(xué)目標(biāo)1、理解絕對(duì)值的意義，能夠熟練的解絕對(duì)值不等式2、了解解無理不等式的方法，會(huì)解無理不等式重點(diǎn)、難點(diǎn)絕對(duì)值不等式與無理不等式的解法考點(diǎn)及考試要求絕對(duì)值不等式與無理不等式的解法教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架1、 絕對(duì)值的

44、意義 2、絕對(duì)值不等式的解法3、簡單高次不等式的解法 4、無理不等式的解法知識(shí)點(diǎn)一、絕對(duì)值【內(nèi)容概述】絕對(duì)值的代數(shù)意義： 正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的 相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零即：絕對(duì)值的幾何意義： 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的 距離兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義： a b 表示在數(shù)軸上， 數(shù)a和數(shù) b之間的距離知識(shí)點(diǎn)二、絕對(duì)值不等式的解法【內(nèi)容概述】（1）不等式（2）不等式（3）不等式（4）不等式x x a aa(a 0) 的解是 x a x a ；a(a 0) 的解是 x x a,或x a ；b c(c 0)的解為 x| c ax b c (c 0)； b c(c

45、 0)的解為 x |ax b c,或ax b c (c 0) .【典型例題 】例 1. 解下列不等式：. | x 3| 4. 1 |x 1| 3變式 1:不等式 12x-7<3 的解集是（）A.x 4x<5B.x x4或 x5C.x 2<x3或 4 x<5D.x x 3或 x>2變式 2: x+3> 4的解集是 變式 3:若 x-1 < 3，化簡 x-4 + x+2得例 2. 解不等式：x1x25變式 1：解不等式組 52x x1 35.（x 2）變式 2：解不等式 x+2+x-212例 3. 解不等式 |x【內(nèi)容概述】（設(shè) a b c d） ：（1）

46、（x a）（x b）（x c） 0 a x b,x c ； （x a）（x b） 0 a x b,c x d ；（x c）（x d） 5x 5| 1變式 1：|x2 11x 24| 6變式 2：|x2 7x 11| 1 課堂練習(xí)（1）|x 1| 1；（2）|x2 x 1| 1；2x 3（4）1 |x2 1| 3；（5）|x 1| |2 x| 4；（6）| 2x （x a）（x b）2（x c） 0 x a,x c 說明：（1）化高為低即“降次” ；（2）數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用； 穿針引線法：從右往左，從上往下，奇過偶不過1)： f(x)g(x)型(gf(xx) 00)不等式的解集f (x) g(x)通

47、過這個(gè)題型我們可以發(fā)現(xiàn)：在解無理不等式的時(shí)候，關(guān)鍵是找出與 其同解的有理不等式組，而解有理不等式組(如：一元一次不等式組、 元二次不等式組和一元高次不等式組等等)都是我們比較拿手的。簡言之：解無理不等式”要轉(zhuǎn)化為“解有理不等式”即：無理不等式的有理化解法。例 5. 解不等式 3 x 4 x 3 0變式： 解不等式 1 x 3x 2 0 5 2x x 1| 1； x2知識(shí)點(diǎn)三、簡單高次不等式【典型例題 】例 4. 解不等式： (x 4)(x 1) 0 ；變式： 2x 2 x 1x 2 x 2知識(shí)點(diǎn)四：無理不等式【內(nèi)容概述】前面我們已經(jīng)研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不 等式，它們稱

48、為整式不等式，再加上分式不等式，統(tǒng)稱為有理不等式，下 面，我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)一下無理不等式的解法。無理不等式一般是指在根號(hào)下含有未知數(shù)的不等式，今天我們主要研究在 二次根號(hào)下含有未知數(shù)的簡單的無理不等式的解法。2)： f ( x) g(x)型gff(xxx) 00g(x)2或 gf(xx) 00 f (x) g( x)2典型例題 】精心整理例 6. 解不等式 5 2x x 1 變式： 解不等式 2x2 3x 1 1 2x(3)：f (x) 0f ( x) g( x)型 g ( x) 02f ( x) g(x) 2例 7. 解不等式 2x 2 3x 1 1 2x 變式： 解下列不等式 x x 1 (

49、4)：綜合問題例 8. 解不等式： 2x 1 x 1 1 變式： 9 x2 6x x2 3 知識(shí)點(diǎn)五、四個(gè)結(jié)論： (選講)【內(nèi)容概述】(1) f (x) a恒成立 f ( x) min a；(2) f(x) a恒成立 f (x)max a； (3) f(x) a有解 f(x)max a；(4) f(x) a有解 f(x)min a； 【典型例題 】例 9. (1)求使得不等式 |x 4| | x 3| a 有實(shí)數(shù)解的 a的取值范圍： (2)對(duì)于 x R,| x 1| |x 2| a恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍： 變式： 若關(guān)于 x的不等式 |x 4| |x 3| a對(duì)于 x R恒成立，求實(shí)數(shù)

50、a的取值 范圍； 課堂練習(xí)1. 解下列不等式：1(1) (x2 4)(x 6)2 0；(2) 1 x 1；x12. 解下列不等式：(1)|x 2| |2x 1| 5；(2)|x 2| |2x 1| 2；(3) (x 4)(x 1) 0； x23. 解下列不等式：(1)(x 2) 2x 3 0; (2) 3 x x 1；(3) x2 3x 2 x 3； 課后練習(xí)（1）|x 1| |x 3| |x 4| 1；（2）| x 2| |2x 5| 2x（3） x2 5x 6 x 1（4） 4 x2 | x | 0；x2（5）（x 1）29x 1）（x 4）2 0；（6）3x 2 14x 14 1x 6x

51、 8（7） x2 32x 4 0；8 x x2 1522、若關(guān)于 x 的不等試求教實(shí)數(shù)學(xué)目a標(biāo)的取值范式 x ax 6a 0有解，且對(duì)任意的解 x1,x2恒有 |x1 x2 | 5，1、理解并掌握集合的含義與表示1 2 1 2圍；2、理解并掌握集合間的基本關(guān)系重點(diǎn)、難點(diǎn)1、集合元素的三種特性（確定性、互異性、無序性）2、元素與集合之間的關(guān)系、集合的表示方法、子集與真子考點(diǎn)及考試要求1、集合元素的三種特性（確定性、互異性、無序性）2、元素與集合之間的關(guān)系、集合的表示方法、子集與真子教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架1、集合的概念 2、元素與集合的關(guān)系及常用數(shù)集記法3、集合的表示方法 4、集合的分類5、集合間的基本

52、關(guān)系（子集，真子集）知識(shí)點(diǎn)一、集合的概念【內(nèi)容概述】一般地， 一定范圍內(nèi)某些確定的、 不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合 . 集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該 集合的元素，簡稱“元”【 典型例題 】例 1. 考查下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：第5 講集 合的 基本 概念精心整理（1）著名的數(shù)學(xué)家； （2）某校 2010 年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；（3）不超過 20的非負(fù)數(shù)；（4）方程 x290 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；（ 5）直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)； （ 6）的近似值的全體變式 1: 下面有三個(gè)命題：其中正確的命題有 個(gè)（1）自然數(shù)中最小的數(shù)是零 （ 2）0 是自然數(shù)（ 3）1,2,3 是不大于 3 的自然數(shù)組成的集合；【概括】： 集合中元素的特性確定性 ：它的元素必須是確定的。互異性 ：同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素 . 一個(gè)給定集合中的元素 是指屬于這個(gè)集合的互不相同的對(duì)象。無序性：對(duì)于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的例 2. 下列各組對(duì)象：其中能構(gòu)成集合的組數(shù)是（）接近于 0 的數(shù)的全體比較小的正整數(shù)全體 2 的近似值的全體平面上到點(diǎn) O的距離等于 1 的點(diǎn)的全體正三角形的全體A.2B.3C.4D.5變式 2： 下列各種對(duì)象，可以構(gòu)成集合的有 個(gè)某班身高超過 1 米 8