礦山壓力研究方法

1、王家臣礦山壓力研究方法（1）理論分析方法（2）模擬實(shí)驗(yàn)方法（3）數(shù)值計算方法 有限元 邊界元 離散元 有限差分第一章 彈性力學(xué)基礎(chǔ)任何彈性體都占有三維空間,在載荷或溫度等作用下,彈性體內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變、位移等必然是三維的,一般來說,它們都是空間坐標(biāo)x、y、z的函數(shù),這樣的問題稱為空間問題。從空間彈性體中任意取出一個六面單元體，則一個單元體共有六個獨(dú)立的應(yīng)力分量和六個獨(dú)立的應(yīng)變分量。應(yīng)力分量:x，y，z，zx = xz ，xy =yx，zy =yz 應(yīng)變分量: x，y，z， zx = xz ， xy = yx， zy = yz 1.1 空間問題的基本方程yxzxyzzyxzyxzyzxxydx

2、dydz單元體邊長分別為:dx dy dz ,每個面上有三個應(yīng)力的分量，其中xz表示x面上z方向上的剪應(yīng)力。且有:zx = xz ， xy = yx，zy = yz 。任取一空間六面單元體xyyxyx xy yxdx彈性體在外載作用下處于平衡狀態(tài)時,彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的力都應(yīng)處于平衡狀態(tài),根據(jù)任意點(diǎn)對各個坐標(biāo)軸的力與矩的之和為零的平衡關(guān)系有:000zzzyzxyyzyyxxxzxyxpzyxpzyxpzyx彈性體內(nèi)任意點(diǎn)平衡方程彈性體的邊界處也必須滿足平衡方程(又稱邊界條件)nmlpnmlpnmlpzzyzxzyzyyxyxzxyxxzyxppp、其中,為彈性體內(nèi)單位體積的體積力分量;zyxpp

3、p、為彈性體邊界處單位面積的力在各坐標(biāo)軸投影。彈性體內(nèi)任意點(diǎn)的位移必須連續(xù),即不能撕裂,也不能重疊，有彈性體內(nèi)任意點(diǎn)的位移和應(yīng)變之間需要滿足關(guān)系,(又稱幾何方程）xwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx,其中:u、v、w是在x、y、z方向上的位移分量。對于彈性體，聯(lián)結(jié)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的方程，稱為胡克定律，也稱為本構(gòu)關(guān)系,或應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。zxzxyzyzxyxyxyzzxzyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(1)1 (2EG剪切彈性模量G不是獨(dú)立的常數(shù)，它與彈性模量E和泊松比的關(guān)系:1.2 平面問題的基本方程如果彈性體有特殊的尺寸,如:一個方向的尺寸遠(yuǎn)大于或小于另外兩個尺寸

4、,并且有特殊的外力分布,這時空間問題可以簡化為平面問題,只需考察平行于某一平面的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，這些量僅僅是兩個坐標(biāo)，如x、y的函數(shù)。平面應(yīng)變問題xyyx長直巷道長直擋土墻00yyyxxxyxpyxpyx平衡方程mlpmlpyyxyxyxx邊界條件yuxvyvxuxyyx,幾何方程1,1)(1)111211111EEGEEyxzxyxyxyyyxx胡克定律EE1111可以證明:上述應(yīng)力、應(yīng)變只與x、y有關(guān)。除上述所列的應(yīng)力應(yīng)變分量外,其余均為零。平面應(yīng)力問題yxtyz平面應(yīng)力問題的平衡方程、邊界條件和幾何方程與平面應(yīng)變的相同,但是胡克定律有所差別：xyxyyxzxyyyxxGEEE1)1)1

5、11.3 外力的功與應(yīng)變能Pl有一桿受軸向力P作用，長度l，斷面面積F，彈性模量E，與P力對應(yīng)的伸長量。由胡克定律：FElPlEFP,一般情況下，如果載荷：ddPPP則伸長量：（1）外力的功PP+ dP+ddPP21在獲得微小增量過程中,載荷平均值:dPP21在獲得微小增量過程中,載荷所做的功:ddPdPddPPdW21)21(略去二階小量:dPdW應(yīng)用載荷與位移成正比關(guān)系:ldEFdPPldEFPldElEFdPFPdPFEldPdPFEldW當(dāng)P從零增加到任一值Pi時,所做的功為:iiiPPPEFldWWi212120PPiiddP應(yīng)用這一簡單公式注意兩點(diǎn):(1)位移i必須是力Pi作用點(diǎn)沿

6、力Pi方向的位移;(2)力與位移都是分別從零增加到Pi、i值的.（2）應(yīng)變能彈性體在外力作用下彈性體在外力作用下, ,會產(chǎn)生變形，外力在彈會產(chǎn)生變形，外力在彈性體變形過程中性體變形過程中, ,對彈性體做功對彈性體做功, ,同時同時, ,彈性體彈性體的變形也會積蓄能量，產(chǎn)生變形能的變形也會積蓄能量，產(chǎn)生變形能, ,通常稱為通常稱為應(yīng)變能應(yīng)變能, ,或彈性位能或彈性位能, ,在數(shù)值上在數(shù)值上, ,彈性體所積蓄彈性體所積蓄的應(yīng)變能等于外力對彈性體所做的功。的應(yīng)變能等于外力對彈性體所做的功。 dxdydzDdxdydzdxdydzUTVTVzxzxyzyzxyxyzzyyVxx2121)(21、 D

7、D分別稱為應(yīng)變分別稱為應(yīng)變列陣、應(yīng)力列陣、彈性矩陣。列陣、應(yīng)力列陣、彈性矩陣。彈性體所積蓄的應(yīng)變能：彈性體所積蓄的應(yīng)變能： zxyzxyzyxzxyzxyzyx, DD是彈性矩陣,是聯(lián)結(jié)應(yīng)變列陣與應(yīng)力列陣關(guān)系的矩陣,可以從胡克定律中獲得.1.4 虛功原理(虛位移原理)一受力的彈性體處于平衡狀態(tài)時一受力的彈性體處于平衡狀態(tài)時, ,若給它任意微小的、實(shí)際約若給它任意微小的、實(shí)際約束所許可的虛位移束所許可的虛位移, ,并同時在彈性體內(nèi)產(chǎn)生虛應(yīng)變時，體力與并同時在彈性體內(nèi)產(chǎn)生虛應(yīng)變時，體力與面力在虛位移上所做的虛功等于整個彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能面力在虛位移上所做的虛功等于整個彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能. .力學(xué)中

8、的普遍原理虛位移:任意微小的、約束條件所允許的假想位移.虛應(yīng)變:由虛位移所引起的微小應(yīng)變.虛功:在虛位移發(fā)生過程中,真實(shí)外力所做的功.*虛位移固定端不能有虛位移虛功方程(虛位移方程)：wvu、是受力點(diǎn)在x、y、z方向上的虛位移分量。zxyzxyzyx、是虛應(yīng)變分量。zyxzyxpppppp、分別是不同坐標(biāo)方向的單位體積力和單位面積力分量。虛應(yīng)變能,由于給定需位移時，真實(shí)的力是先存在的,所以沒有1/2AzyxVzyxzxzxyzyzxyxyzzyyVxxdAwpvpupdxdydzwpvpupdxdydz)()()(面力的虛功體力的虛功平面問題的虛功方程(虛位移方程)：FsyxyxFxyxyyy

9、xxtdsvpuptdxdyvpuptdxdy)()() tdsptdxdyptdxdyTsTFTF用矩陣表示的平面虛功方程：第二章 有限單元法簡單引例qLdxxx有一受自重作用的等截面桿,上端固定,下端自由.單位桿長的重力q,桿長L,橫截面面積A,桿的彈性模量E,求桿各截面上的應(yīng)力.該問題材料力學(xué)有精確答案。任意x截面開始取一微段dx，令該截面上的軸力為N(x),則該微段的伸長量為:AEdxxNdx)(任一x截面的軸向位移:xAEdxxNxu0)()(2.1 2.1 簡單引例的理論解簡單引例的理論解)()(xLEAqdxxdux由幾何方程:)(xLAqExx由胡克定律:上述材料力學(xué)的精確解。

10、這個例子是先求位移上述材料力學(xué)的精確解。這個例子是先求位移, ,然后很然后很容易求得應(yīng)變和應(yīng)力容易求得應(yīng)變和應(yīng)力, ,這種先求位移這種先求位移, ,然后由位移求應(yīng)然后由位移求應(yīng)變和應(yīng)力的方法變和應(yīng)力的方法, ,稱為彈性力學(xué)解題的位移法稱為彈性力學(xué)解題的位移法. .)()(xLqxN由于:)2(2)()(20 xLxEAqdxAExLqxux任一x截面的軸向位移:2.2 2.2 引例的有限元解引例的有限元解（1 1）劃分單元，確定單元的位移函數(shù)）劃分單元，確定單元的位移函數(shù)R2R1R3R4L/3L/3L/33142x把桿分成若干小段(長度不一定相等),把每個小段的重力等效地移置到分點(diǎn)上去,稱為結(jié)

11、點(diǎn)載荷.分點(diǎn)和小段分別稱為結(jié)點(diǎn)和單元.該例子分成3個等長的單元,共有4個結(jié)點(diǎn).xuijuiujue=1+2xo由精確解知道,無論桿怎樣分割,每個單元的位移都是x的二次函數(shù),但是單元足夠短,結(jié)點(diǎn)較多,對每個單元可以用線性函數(shù)近似地描述它的位移。eij表示e單元,i、j為其兩端結(jié)點(diǎn)編號.設(shè)單元位移函數(shù)為:ue=1+2x， 1、2 為待定系數(shù)jijiijjijiiijjuxxuxxuxxxuxxx1121jjiixuxu2121對于單元結(jié)點(diǎn)有:xue2112 euf 記: jiijiijjuuxxxxxxxxf3ijiijjxxxxxxxx,與x成直線關(guān)系,它們反映了單元的位移形態(tài),所以稱其為形函數(shù)

12、.令:ijijijjixxxxNxxxxN jiNNN jieuu形函數(shù)矩陣:結(jié)點(diǎn)位移列陣:單元位移列陣: eNf（2 2）通過載荷移置確定節(jié)點(diǎn)載荷）通過載荷移置確定節(jié)點(diǎn)載荷把單元載荷移置到結(jié)點(diǎn)上的基本原則是靜力等效原則:在任意給定的虛位移上,移置前單元載荷所做虛功等于移置后結(jié)點(diǎn)載荷所做的虛功.利用虛功原理把單元的重力等效移置到結(jié)點(diǎn)上去,對于單元eij來說,如果把單元的重力移置到節(jié)點(diǎn)i,j上,節(jié)點(diǎn)載荷分別用Rie、Rje表示,現(xiàn)在則要計算Rie、Rje的大小.先看Rie。設(shè)單元eij發(fā)生這樣的虛位移,結(jié)點(diǎn)i沿x方向移動一個單位,而節(jié)點(diǎn)j不動,即:.0, 1jiuuijux11RieRje這相當(dāng)

13、于把單元看作i端自由,j端固定鉸支,在重力作用下的壓桿.單元虛位移也選為線性函數(shù).與真實(shí)位移具有同樣的形函數(shù). eNf f單元任意點(diǎn)的虛位移列陣 01jiuu單元結(jié)點(diǎn)的虛位移列陣 jiijiijjuuxxxxxxxxfijjxxxxu由單元重力所做的虛功:)(2ijxxijjxxxxqqdxxxxxqdxujijiRie所做的虛功為 1Rie, Rje不做功,因?yàn)閖點(diǎn)不動,沒有虛位移. 由靜力等效原則,單元重力移置到i點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)載荷:)(2ijiexxqR再看Rje,設(shè):.1,0jiuu)(2ijjexxqR 11)(2ijjeieexxqRRR單元的結(jié)點(diǎn)載荷列陣:本例中,3LxxijR1=R2

14、=R2=R3=R3=R4=QL/6再考慮到處于固定端的結(jié)點(diǎn)1,還受有約束反力R=-qL,于是單元載荷移置后,各結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)載荷分別為:qLRRqLRRRqLRRRqLRRR61313165)3(44)3(3)2(33)2(2)1(22)1(11（3 3）確定單元應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣、單元剛度矩陣）確定單元應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣、單元剛度矩陣用幾何方程、物理方程與虛功方程分析單元的應(yīng)變、應(yīng)力、和節(jié)點(diǎn)受力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。由幾何方程及 eNf edxNddxdu jiijiijjuuxxxxxxxxf ejijijiijijBuuBBuuxxxx11B稱為應(yīng)變矩陣.由物理方程: jijieeuuGGGBE

15、EG稱為應(yīng)力矩陣. ijijjixxExxEBEGGG應(yīng)力矩陣反映了單元的應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系 ejijiBuuBB jijieeuuGGGBE上述是用節(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)變和單元應(yīng)力,下面通過虛功原理分析單元的結(jié)點(diǎn)受力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系.直桿分成三個單元后,相鄰單元間的作用力通過結(jié)點(diǎn)來傳遞,把結(jié)點(diǎn)對單元和單元對結(jié)點(diǎn)的作用力統(tǒng)稱為接結(jié)點(diǎn)力.規(guī)定結(jié)點(diǎn)i、j對單元作用的結(jié)點(diǎn)力Vi、Vj，沿x軸正方向?yàn)檎?。對單元來講,結(jié)點(diǎn)力為外力. ejieVVF結(jié)點(diǎn)力列陣:jViuiix則對單元來講,外力的虛功: jjiieTeuVuVF而內(nèi)力的應(yīng)變能: AdxjixxT根據(jù)虛功原理: AdxFjixxTeTe

16、 eB 由: ;eeGBE單元的虛位移與結(jié)點(diǎn)位移有類似的關(guān)系: eB根據(jù)虛功原理: exxTTeeTeAdxGBFji由于虛位移是任意的,所以, Te可取為任意值.有:根據(jù)虛功原理: exxTeAdxGBFji AdxGBKjixxTe exxTeAdxGBFji若記: AdxGBKjixxTe單元剛度矩陣 eeeKF jjjiijiiijijTxxTxxTeKKKKxxEAxxBBEAdxBBEAAdxGBKjiji1111)(由應(yīng)變矩陣B與應(yīng)力矩陣G,可計算單元剛度矩陣 ijijjixxxxBBB1,1,ijrsxxEAK其中,r,s=i,j,當(dāng)r=s時,取”+”號,而rs時,取”-”號.

17、jijjjiijiiejeiuuKKKKVV)()(單元結(jié)點(diǎn)力:（3 3）形成總體剛度矩陣）形成總體剛度矩陣, ,建立以結(jié)點(diǎn)位移為未知量的建立以結(jié)點(diǎn)位移為未知量的線性代數(shù)方程組線性代數(shù)方程組所有結(jié)點(diǎn)在單元對結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)載荷共同作用下,應(yīng)處于平衡狀態(tài),所以以結(jié)點(diǎn)為分離體可列出結(jié)點(diǎn)的平衡方程.由于單元對結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)對單元的結(jié)點(diǎn)力互為作用力與反作用力,Vi(e)、Vj(e)分別表示結(jié)點(diǎn)i、j作用在單元(e)上的界結(jié)點(diǎn)力,那么單元(e)作用在結(jié)點(diǎn)i、j上的結(jié)點(diǎn)力分別為：-Vi(e)、-Vj(e)，各結(jié)點(diǎn)受力情況見下圖.(1)(3)(2)1234V1(1)R1(1)R結(jié)點(diǎn)1V2(1)V2(2

18、)R2(2)結(jié)點(diǎn)2R2(1)V3(2)V3(3)R3(3)結(jié)點(diǎn)3R3(2)V4(3)結(jié)點(diǎn)4R4(3)建立各結(jié)點(diǎn)的平衡方程:qLRRRVRRV6501)1(1)1(1)1(1)1(1結(jié)點(diǎn)1:qLRRVRV6104)3(4)3(4)3(4)3(4結(jié)點(diǎn)4:qLRRRVVRRVV3103)3(3)2(3)3(3)2(3)3(3)2(3)3(3)2(3結(jié)點(diǎn)3:qLRRRVVRRVV3102)2(2)1(2)2(2)1(2)2(2)1(2)2(2)1(2結(jié)點(diǎn)2:寫成矩陣的形式:4321)3(4)3(3)2(3)2(2)1(2)1(1)3(4)3(3)2(3)2(2)1(2)1(1000000RRRRRRR

19、RRRRVVVVVV結(jié)點(diǎn)2單元1結(jié)點(diǎn)4結(jié)點(diǎn)3結(jié)點(diǎn)1單元3單元24321)3(4)3(3)2(3)2(2)1(2)1(1RRRRVVVVVV即:若對具體單元,用補(bǔ)充零的辦法,把各單元的剛度矩陣升階到444321)1(22211211)1(2100000000000000uuuuKKKKVV4321)2(33322322)2(3200000000000000uuuuKKKKVV單元(e)=1結(jié)點(diǎn) i=1 j=2單元(e)=2結(jié)點(diǎn) i=2 j=34321)3(44433433)3(4300000000000000uuuuKKKKVV單元(e)=3結(jié)點(diǎn) i=3 j=4各結(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力相加,獲得結(jié)點(diǎn)位移為

20、未知量的線性代數(shù)方程組43214321)3(44)3(43)3(34)3(33)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(11000000RRRRuuuuKKKKKKKKKKKKRK總體剛度矩陣，總體結(jié)點(diǎn)位移列陣,總體載荷列陣由于各單元的長度均為 L/3，所以可得:)4 , 3 , 2 , 1,(3srLEAKrsr=s時, 取”+”,否則取”-”12256110012100121001134321qLuuuuLEA上述方程組不能直接求解,因?yàn)槭瞧娈惥仃?任一行或任一列所有元素之和為零),有無窮多組解,這就要考慮位移邊界條件,修正總體剛度矩陣.（4 4）位移邊界

21、條件處理）位移邊界條件處理邊 界 條 件力的邊界條件:無論邊界上是集中力還是面力都需要按靜力等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上成為結(jié)點(diǎn)載荷位移邊界條件是考慮物體是如何被支承在空間的給定邊界條件會對包括總體剛度矩陣在內(nèi)的線性方程組進(jìn)行修正下面看一般情況的處理過程4321432144434241343332312423222114131211RRRRuuuuKKKKKKKKKKKKKKKK4444343242141343433323213124243232221211414313212111RuKuKuKuKRuKuKuKuKRuKuKuKuKRuKuKuKuK4443432421413433332321312

22、42323222121141313212111KRuKuKuKKRuKuKuKKRuKuKuKKRuKuKuK4u寫成線性方程組形式4u設(shè)給定邊界條件 為已知這個聯(lián)立方程組只有u1、u2、u3三個未知量,前三個方程就足夠了,第四個方程是多余的,可寫成:寫成矩陣表達(dá)式34324214143213332312322211312111000000KRKRKRuuuuKKKKKKKKK給定位移邊界條件后,總體剛度矩陣有兩點(diǎn)修正:（1）K44=1，R4=（2）剛度矩陣第四行中,除K44外,其它元素均為零.若, =0，則上式降階為:321321333231232221131211RRRuuuKKKKKKK

23、KK但u4=0未包括在算式中432432444342343332242322RRRuuuKKKKKKKKK該例的實(shí)際情況是,結(jié)點(diǎn)1受到位移約束,u1=0,所以按照前面的方法是從總體算式中劃去第一行和第一列的全部元素:12261101210123432qLuuuLEA（5 5）解線性代數(shù)方程組）解線性代數(shù)方程組985182432EAqLuuu解上述線性代數(shù)方程組,可得結(jié)點(diǎn)的位移:這是有限元計算結(jié)果)2(2)()(20 xLxEAqdxAExLqxux代入材料力學(xué)的任一x截的軸向位移公式:EAqLuEAqLuEAqLu294185432LxLxLx432,32,3將u2u3u4ux材料力學(xué)精確解有

24、限元近似解材料離力學(xué)經(jīng)典解材料離力學(xué)經(jīng)典解和有限元近似解在和有限元近似解在單元結(jié)點(diǎn)處的值是單元結(jié)點(diǎn)處的值是一樣的一樣的 11311LxxxxBijij 113LEBEG單元的應(yīng)變矩陣:單元的應(yīng)力矩陣:單元1 AqLuuLEGEAqLuuuuji65113185021221 AqLuuLEGEAqLuuEAqLuuji211394185322322 AqLuuLEGEAqLuuEAqLuuji6113294432423單元2單元3前面是各單元的平均應(yīng)力,也正好是材料力學(xué)的單元中點(diǎn)應(yīng)力,這說明了有限元的有效性和正確性.)(xLAqExxx單元1單元2單元3理論解有限元解（6 6）有限元的基本步驟）

25、有限元的基本步驟第一步，連續(xù)體的離散化：把連續(xù)體分割成許多有限大小的單元，并把單元載荷等效地移置到結(jié)點(diǎn)上成為結(jié)點(diǎn)載荷。把連續(xù)體離散為一個僅由結(jié)點(diǎn)連接、僅靠結(jié)點(diǎn)傳力、僅受結(jié)點(diǎn)載荷,也僅在結(jié)點(diǎn)處受約束的單元組合體,所有結(jié)點(diǎn)都假想為鉸鏈，僅傳遞集中力,不傳遞力矩。第二步,單元特征分析:以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量,設(shè)選一個單元位移函數(shù),并用結(jié)點(diǎn)位移表示單元位移等 eeeeeeKFGBNf幾何方程物理方程虛功方程位移函數(shù)總之，先離散連續(xù)體總之，先離散連續(xù)體, ,然后以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知然后以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量量, ,分析單元特征，建立并求解線性代數(shù)方程組分析單元特征，建立并求解線性代數(shù)方程組, ,最最后由

26、結(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)力后由結(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)力, ,這種以結(jié)點(diǎn)位移為基本這種以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的求解方法未知量的求解方法, ,稱為位移法。稱為位移法。第三步，總體結(jié)構(gòu)合成：通過結(jié)點(diǎn)的平衡方程并結(jié)合邊界條件，建立以結(jié)點(diǎn)位移為未知量的以總體剛度矩陣為系數(shù)的線性代數(shù)方程組 ,求解這個線性代數(shù)方程組,進(jìn)而由 求得單元應(yīng)力。 RK eG 第三章 三角形單元對于平面和空間問題,在進(jìn)行有限元計算時,與前面的一維桿單元分析類似,同樣將連續(xù)體離散成僅在結(jié)點(diǎn)處鉸接的單元組合體,但是連續(xù)體離散時,可以采取多種形式的單元三角形單元矩形單元八結(jié)點(diǎn)斜直邊四邊形單元斜直邊四邊形單元三角形單元是最常用和最簡單的平面單元三角形單

27、元是最常用和最簡單的平面單元3.1 3.1 連續(xù)體的離散化RLBHA計算區(qū)域邊界應(yīng)力變計算區(qū)域邊界應(yīng)力變化幅度小于化幅度小于5%5%為界為界R.E.GoodmanR.E.Goodman指出指出: : L5R;AH,B6HL5R;AH,B6H對于連續(xù)體來說,在相鄰單元的公共邊界上,本來位移和應(yīng)力都是連續(xù)的,現(xiàn)在假定各單元只在公共結(jié)點(diǎn)上相互聯(lián)結(jié)起來,所以兩相鄰單元只能保證在公共結(jié)點(diǎn)上具有相同的位移,計算結(jié)果是在相鄰單元公共邊界上的位移和應(yīng)力可能是不連續(xù)的.因而會帶來誤差.為了保證必要的計算精度,就應(yīng)加密網(wǎng)格,使整個連續(xù)體內(nèi)保證位移協(xié)調(diào)的結(jié)點(diǎn)增加,在應(yīng)力集中區(qū),如巷道、采場、邊坡面附近，應(yīng)局部加密網(wǎng)

28、格,同時在單元的位移函數(shù)選取上進(jìn)行研究,以增加計算精度。對于軸對稱問題,可利用對稱條件，使計算區(qū)域成倍縮小。采用三角形單元時,每個內(nèi)角都要小于120，最好為60。3.2 3.2 位移函數(shù)jimvjujvivmumui(e)yx設(shè)任意點(diǎn)的位移都是坐標(biāo)的線性函數(shù),即: 65432110000001yxyxvuf寫 成 矩陣 形 式位移函數(shù)應(yīng)滿足三個條件,以便在單元尺寸逐步取小時能夠收斂于正確答案:當(dāng)單元逐步取小時,單元的應(yīng)變趨于常量;單元產(chǎn)生的剛體位移不引起單元應(yīng)變發(fā)生變化;保證單元內(nèi)部位移的連續(xù)性和相鄰單元公共邊界上的位移協(xié)調(diào)經(jīng)證明,前面選擇的位移函數(shù)滿足上述條件yxvyxu654321（1）j

29、imvjujvivmumui(e)yx(x,y)vu從離散的連續(xù)體中,任意選一單元來分析,設(shè)單元編號為e,三個結(jié)點(diǎn)按逆時針編號:i,j,m.相應(yīng)坐標(biāo)為(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym).單元的位移函數(shù)即適用單元內(nèi)部,也適用單元結(jié)點(diǎn),所以對于單元結(jié)點(diǎn):mmmjjjiiiyxuyxuyxu321321321mmmjjjiiiyxvyxvyxv654654654(2)(3)上式可以用來確定用結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和結(jié)點(diǎn)位移表示的各個系數(shù)（2）式寫成矩陣形式mjimmjjiiuuuyxyxyx321111mjimmjjiiuuuyxyxyx1321111 mmjjiiyxyxyxA111記:emmjji

30、iSyxyxyxA2111A的行列式: TijjiijjimiimmiimjmmjjmmjxxyyyxyxxxyyyxyxxxyyyxyxA*A的伴隨矩陣:Se是三角形單元的面積的元素是A中對應(yīng)元素的帶代數(shù)余子式.A*ijmjimijjimmijimjmiimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxa,令: mjimjimjiTmmmjjjiiicccbbbaaacbacbacbaA* *1211ASAAAe由矩陣求逆公式:將A-1代入結(jié)點(diǎn)位移表達(dá)式,有:mjimjimjimjieuuucccbbbaaaS21321mjimjimjimjievv

31、vcccbbbaaaS21543（4）（5）將（4）、（5）代入（1），得單元位移:mmmmjjjjiiiiemmmmjjjjiiiievycxbavycxbavycxbaSvuycxbauycxbauycxbaSu2121ycxbaSNycxbaSNycxbaSNmmmemjjjejiiiei212121令:mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu單元位移: mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNf000000單元位移寫成矩陣形式: eNfN單元位移形函數(shù). e單元結(jié)點(diǎn)位移列陣3.3 3.3 單元載荷移置把體力、面力、單元自重等按照靜力等效原則移置到單元結(jié)點(diǎn)成為結(jié)點(diǎn)載荷

32、.靜力等效原則:單元的原載荷與移置后的結(jié)點(diǎn)載荷在任何虛位移上的虛功相等。Jm邊上作用有均布且垂直邊上的面力,如m點(diǎn)先有個x方向的虛位移,um=1,其余的虛位移為零.利用靜力等效原則進(jìn)行計算.yxRiyRjxRmxRmyRjyRixxijmqyijm載荷移置結(jié)果ijmlqlq2lq2ijmlqlq6lq3w3w3w3wijm均布載荷三角分布載荷單元自重載荷載荷移置的普遍公式（1）集中力設(shè)單元e中任意一點(diǎn)(x,y)受有集中力P,其分量為Px Py,即: yxPPP假想該單元發(fā)生一個微小的虛位移,其中集中力作用點(diǎn)(x,y)的相應(yīng)虛位移為: vuf而結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的虛位移為 .按著靜力等效原則,單元的原載荷

33、與移置后的結(jié)點(diǎn)載荷在任何虛位移上的虛功相等,有: e PfRTeTe由前面得知: eNf PNRPNRTTeeTeTeeTe(1)(2)(3) PNRTe由于 的任意性 e mmjjiiTNNNNNNN ymxmyjxjyixiyxmmjjiiePNPNPNPNPNPNPPNNNNNNR單元載荷列陣:（2）體積力設(shè)單元e有單位體積力p,其分量為px , py,將微分體積tdxdy上的體積力ptdxdy當(dāng)作集中力P,這樣利用前述集中力的積分可得: eesTsTedxdypNttdxdypNR dxdypNpNpNpNpNpNtRRRRRRResymxmyjxjyiximymxjyjxiyixe單

34、元載荷列陣:（3）面力 sTsTedspNttdspNR dspNpNpNpNpNpNRRRRRRRsymxmyjxjyiximymxjyjxiyixe單元載荷列陣:設(shè)單元e的一邊上有分布的單位面積力p,其分量為px , py,將微分面積tds上的面力pds當(dāng)作集中力P,這樣利用前述集中力的積分可得:3.4 3.4 單元應(yīng)力計算在選設(shè)了單元位移函數(shù),并用結(jié)點(diǎn)位移確定其待定系數(shù)后,就可以通過幾何方程用結(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)變,再通過物理方程用結(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)力.（1）單元應(yīng)變由平面問題幾何方程 xvyuyvxuxyyx mmjjiimmjjiimjimjievuvuvubcbcbccccbbb

35、s00000021 mjimjieBBBB ),(21mjiibccbsBiiiieiB成為單元的應(yīng)變矩陣.由前面知識:（2）單元應(yīng)力通過物理方程用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)力.平面應(yīng)力問題: DExyyxxyyx2100010112或記為: mjimjiemjimjiGGGGBBBDGG稱為應(yīng)力矩陣稱為應(yīng)力矩陣 ),(2)1 (2)1 ()1 (20021000101)1 (222mjiibccbcbsEbccbsEBDGiiiiiieiiiieii平面應(yīng)變問題:),()1 (221)1 (22111)21)(1 (2)1 (2mjiibccbcbsEGiiiiiiei3.5 3.5 單元剛度矩陣 eeeKF結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系:平面應(yīng)力問題: eTsTetsGBdxdytGBKe mmmjmijmjjjiimijiimTm