高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 直線與圓的方程中的六種數(shù)學(xué)思想方法

1、直線與圓的方程中的六種數(shù)學(xué)思想方法1.數(shù)形結(jié)合的思想例1 設(shè)k，a是實(shí)數(shù)，要使關(guān)于x的方程 |2x-1|=k(x-a)+a 對(duì)于k的一切值都有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解 在平面直角坐標(biāo)系中分別畫出 l1：y=|2x-1|和l2：y=k(x-a)+a的圖象(如圖)，其中l(wèi)2是過點(diǎn)M(a，a)且斜率為k 的直線系，l1是折線y=2x-1(x)和y=-2x+1(x<)由圖形的直觀性可知要使原方程對(duì)于k的一切值都有解的幾何意義是直線l2繞點(diǎn)M(a，a)旋轉(zhuǎn)時(shí)都與折線l1相交，點(diǎn)M必須位于過C(，0)的兩條射線上或射線的上方 a1 例2 已知定點(diǎn)A(1，1)， B(3，3)，動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，若AP

2、B取得最大值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )A.這樣的點(diǎn)P不存在 B(，O) C(，O) D(，O) 分析 由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及位置特點(diǎn)，可以看出，動(dòng)點(diǎn)P在x軸正半軸上的某個(gè)位置可能使么APB取最大值，此題若設(shè)P(x，O)，用到角公式表示出tanAPB，再求使之取得最大值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)顯然較繁而利用平面幾何中的圓外角小于圓周角，設(shè)過AB且與x軸正半軸相切的圓與x軸的切點(diǎn)為P，(如圖)則P點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，而|OP|2=|OA|·|OB|=·=6 |0P|=，點(diǎn)P(，0)， 故選D 2.分類討論的思想 例3 求與點(diǎn)P(4，3)的距離為5，且在兩坐標(biāo)軸的截距相等的直線方程解 (1)若截距aO，

3、可設(shè)直線方程為： +=1 即x+y-a=0 由已知：=5可得：a=7士3 (2)若截距a=O，由于OP所在的直線方程為 y=x，且|OP|=5 所求直線方程為y=-x 綜上，所求直線方程為 x-y-7-5=0或x+y-7+5=0或4x+3y=O 對(duì)含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題求解時(shí)要注意運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確、嚴(yán)密地求解 例4 討論直線l：3x+4y+m=0與圓C：x2+y2-2x=O的位置關(guān)系 分析 先求得圓C的圓心C(1，O)和半徑 r=1，再得圓心C到直線l的距離d=，最后按d<r、d=r、d>r三種情況討論直線與圓相交、相切、相離時(shí)m的取值范圍 解 當(dāng)d=<1，即-8&l

4、t;m<2時(shí)，直線與圓相交； 當(dāng)d=1，即m=-8或m=2時(shí)，直線與圓相切； 當(dāng)d=>1，即m<-8或m>2時(shí)，直線與圓相離 3.參數(shù)思想 例5 已知直線(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求證無論a為何值，直線總過第一象限(2)為使這直線不過第二象限，求a的范圍解 (1)將方程整理得為a(3x-y)+(-x+2y-1)=O對(duì)任意實(shí)數(shù)a，恒過直線3x-y=O與x-2y+1=0的交點(diǎn)(，)， 直線系恒過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)(，)；(2)當(dāng)a=2時(shí)，直線為x=不過第二象限；當(dāng)a2時(shí)，直線方程化為：y=x-，不過第二象限的充要條件為 或 a>2，總之，a2時(shí)直線不過第二

5、象限 例6 過點(diǎn)P(2，1)作直線l，與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，| PA|·| PB|的最小值及此時(shí)l的方程 分析 本題除了用斜率、角度作為參數(shù)外，我們?cè)俳o出以直線的參數(shù)方程來求解的方法 解 設(shè)直線AB的傾斜角為(<<), 則直線AB的參數(shù)方程為 令x=O，則得B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t=-， 令y=O，則得A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t=- |PA|·|PB|=|-|·|-|= 當(dāng)a=時(shí)|PA|·|PB|有最小值4，此時(shí)直線l的方程為 即 4.待定系數(shù)法的思想：根據(jù)給定條件求直線和圓方程時(shí)，待定系數(shù)法和代點(diǎn)法是常用的方法 例7 已知直線l在x軸上的

6、截距比在y軸上的截距大1，且過一定點(diǎn)P(6，-2)，求直線的方程 解法一 設(shè)直線l的方程為+=1 直線l過點(diǎn)(6，-2)， -=1 又a=b+1代入整理得b2-3b+2=O，解之b1=1，b2=2，a1=2，a2=3代入得所求的直線方程為x+2y-2=O或2x+3y-6=O解法二 設(shè)所求直線l的斜率為k，又直線l過定點(diǎn)P(6，-2)，于是直線l的方程是y+2=k·(x-6)，即+=1.依題意知+6k+2=1,k=-或k=-.直線l的方程是y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6)，即x+2y-2=O或2x+3y-6=O 例8 已知ABC中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)， AB邊和AC邊上的中

7、線方程分別為5x-3y-3=O和7x-3y-5=O，求BC邊所在直線方程 分析 欲求BC邊的方程，沒有直接的已知條件，可設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，然后用兩點(diǎn)式得方程解 設(shè)C(x1,y1)，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)則 解得：x1=3，y1=4，C(3，4) 說明 此題由代點(diǎn)法，結(jié)合解方程組比直接由已知方程求交點(diǎn)要簡單得多，同理可求得 B(-1，-4)，由兩點(diǎn)式得直線BC方程為2x-y-2=0 5.化歸的思想. 利用轉(zhuǎn)化的思想可把較繁的問題簡單化 例9 求函數(shù)y=+的最小值分析 此函數(shù)的定義域?yàn)镽，如果從代數(shù)的角度考慮，確實(shí)比較復(fù)雜；如果借助于兩點(diǎn)間的距離公式，轉(zhuǎn)化為幾何問題，則是非常的容

8、易解 y=+=+ 令A(yù)(O，1)，B(2，2)，P(x，O)，則問題轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn)P(x，O)，使得|PA|+|PB|取得最小值 A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(O，-1)， (|PA|+|PB|)min=|AB|= 6.函數(shù)、方程、不等式思想 例10 兩條平行直線分別過點(diǎn)P(-2，-2)，Q(1，3)，它們之間的距離為d，如果這條直線各自繞點(diǎn)P、Q旋轉(zhuǎn)并互相保持平行 (1)求d的變化范圍 (2)用d表示這兩條直線的斜率 (3)當(dāng)d取最大值時(shí)，求這兩條直線的方程 解 當(dāng)過P、Q的兩條直線的斜率為O時(shí)， d=5；當(dāng)這兩直線斜率不存在，即與x軸垂直時(shí)， d=3 設(shè)l1：y+2=k(x+2)；l2：y-3=k(x-1) (1)由平行線間的距離公式得d=即(d2