曲線曲面積分習題課

1、1一、要求一、要求曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系.2. 會計算兩類曲線積分會計算兩類曲線積分.曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)的條件.1. 理解兩類曲線積分的概念理解兩類曲線積分的概念,理解兩類理解兩類3. 掌握格林掌握格林(green)公式公式, 會使用平面會使用平面gauss) ，會計算兩類曲面積分，會計算兩類曲面積分.5.了解散度、旋度的概念及其計算了解散度、旋度的概念及其計算6. 會用曲線積分、會用曲線積分、4. 理解兩類曲面積分的概念，掌握高斯理解兩類曲面積分的概念，掌握高斯方法方法.曲面積分求一些曲面積分求一些幾何量與物理量幾何量與物

2、理量.二、典型例題二、典型例題 解解（03年）年）:sin ,1cos (02 )l xtt ytt 在在曲曲線線弧弧上上，( , )llmx y dsyds 2222( )( )(1 cos )sin2|sin|2tdsxtytttdtdt20(1 cos ) 2sin2ltmydstdt則則 = =( , )x yy 分分布布有有質(zhì)質(zhì)點點，線線密密度度，求求它它的的質(zhì)質(zhì)量量. .2304sin2tdt= =3032sin3udu=8=8(0,0)(1,1)lyx設設 為為直直線線上上點點到到之之間間的的一一段段，則則（08年）年）（07年）年）2_.lxy ds 曲曲線線積積分分(1,1)

3、l設設 為為從從原原點點到到點點的的直直線線段段，則則曲曲線線積積分分22_.xyleds的的值值為為（06年）年）21yx 設設平平面面曲曲線線為為下下半半圓圓周周，則則曲曲線線積積分分22()_.lxyds的的值值為為（10年）年）222222()_:(2),. lxydsl xyaa= =其其中中 解解（04年）年）22( )uuxy設設有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，計計算算曲曲線線積積分分( ) 22( ) 22pqxuyyyuxyyx在在第第一一象象限限成成立立，且且連連續(xù)續(xù)22:25laxyb選選擇擇路路徑徑從從 點點沿沿著著圓圓周周到到 點點曲曲線線積積分分在在第第一一象象限限與與路路徑

4、徑無無關(guān)關(guān)(5,0),(3,4)ab連連接接的的任任意意光光滑滑曲曲線線. . 2( )( )2,abxuydxyuxy dyab 式式中中是是第第一一象象限限中中22:25laxyb選選擇擇路路徑徑從從 點點沿沿著著圓圓周周到到 點點2:,:531xxlxyx 2( )( )2abxuydxyuxy dy 3225(25)25(25)2xxxxdx 則則原原式式= =325(253)48x dx= = 解解（02年）年）fyzizx jxyk 已已知知變變力力，問問將將質(zhì)質(zhì)點點從從原原點點沿沿llwfdsyzdxzxdyxydz2220000000222(,)1xyzp xyzabc設設為為

5、曲曲面面第第一一卦卦限限一一點點，則則0000opxyzltxyz則則（即即）的的方方程程為為：2222221xyzabc沿沿直直線線移移到到曲曲面面的的第第一一卦卦限限部部分分上上的的.哪哪一一點點做做功功最最大大？并并求求最最大大功功000,:01xx tlyy ttzz t即即 的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為：1200000003lwyzdxzxdyxydzx y zt dtx y z000,:01xx tlyy ttzz t即即 的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為：222222( , , )1.xyzf x y zxyzabc問問題題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為求求 在在下下的的條條件件極極值值1法法 ：拉拉格格朗朗

6、日日乘乘數(shù)數(shù)法法222222( , , , )1xyzf x y zxyzabc令令222222( , , , )1xyzf x y zxyzabc令令x22222222220(1)20(2)20(3)1(4)yzxfyzayfxzbzfxycxyzabc 則則(1)* ,(2)* ,(3)* :xyz222222xyzabc= =22222213xyzabc= =,.3333 3abcabcxyz即即當當時時，達達到到最最大大功功xyzxyzabcabc2222223222222132222221,3333xyzabcxyzabc當當且且僅僅當當= =即即時時，等等號號成成立立. .2222

7、22( , , )1.xyzf x y zxyzabc問問題題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為求求 在在下下的的條條件件極極值值xyzabc13 31.3 3abc此此時時最最大大功功為為2法法 ：不不等等式式 解解例例22(sin )(1cos )lxa ttaxdyydxlyatxy 計計算算， 為為曲曲線線中中2222220,yxxypqxyxy 當當時時，有有.因因此此該該積積分分在在不不包包含含原原點點的的單單聯(lián)聯(lián)通通區(qū)區(qū)域域與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)02tt從從到到的的一一段段. . 22222pyqyxxyx 一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，且且2222:laxyab 選選擇擇路路徑徑從從 點點沿沿著著上上

8、半半圓圓周周到到 點點cos:, :0sinxatltyat22lxdyydxxy 2222llxdyydxxdyydxxyxy則則 = =0dtdx = =2222:laxyab 選選擇擇路路徑徑從從 點點沿沿著著上上半半圓圓周周到到 點點022coscossin( sin )at atat atdta229lxy設設 為為取取逆逆時時針針方方向向的的圓圓周周，則則（08年）年）（07年）年）(31)(33)xyxylyexydxxexydy計計算算，（07年）年）2( )( )lxy dxyx dyx設設曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，其其中中2(22 )(4 )_.lxyy dxx

9、x dy 22(- ,0)1( ,0).xlaybaa 其其中中 為為從從沿沿到到的的一一段段曲曲線線(1,1)2(0,0)(0)0( ).xy dxyx dy連連續(xù)續(xù)可可導導，且且，計計算算（06年）年）( )(,)f x 設設在在上上有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階導導數(shù)數(shù)，求求2221()2() 1(3, )(1,2).3ly f xyxdxy f xydylabyy， 為為從從到到點點sin()(cos)xxlieyb xydxeyax dy求求，其其中中（99研）研）（00研）研）22,(1,0),( 1)4lxdyydxlrxy 計計算算其其中中 是是以以為為中中心心為為半半徑徑2(2 ,

10、0)2(0,0)ablaayaxx， 為為正正的的常常數(shù)數(shù)， 為為從從沿沿曲曲線線到到的的圓圓弧弧. .的的圓圓周周，取取逆逆時時針針方方向向（10年）年）22(1),(1,0)(1) lxdyydxlxy計計算算其其中中 表表示示包包含含點點在在內(nèi)內(nèi)的的簡簡單單閉閉曲曲線線，沿沿逆逆時時方方向向. .(2(2針針) )（09年）年）2,(0,-1)()lydxxdylaxy計計算算其其中中 表表示示第第四四象象限限內(nèi)內(nèi)以以為為(1,0)-b起起點點為為終終點點的的光光滑滑曲曲線線. .( 1)( 1) 解解(06)()xyz ds 計計算算曲曲面面積積分分，其其中中 為為上上半半球球面面()

11、xyz dsxdsydszdsxoy將將 投投影影到到面面，投投影影區(qū)區(qū)域域為為：xozyozyxyx 關(guān)關(guān)于于面面和和面面對對稱稱，而而 和和 分分別別是是 和和 的的奇奇函函數(shù)數(shù)222zrxy即即 ：2222(0).xyzrz 0 xdsyds222xyr222-rdsdxdyrxy 從從而而 ()xyz dsxdsydszdszds 222222-xydrrxydxdyrxy xydrdxdy 23rrr （09年）年）22101xyzz設設曲曲面面為為圓圓柱柱面面介介于于與與部部分分的的外外側(cè)側(cè)2222_,_.xydxdyxyds則則 （）（）221(1)()(01).2xydszxy

12、z計計算算，其其中中 為為（08年）年）（07年）年）221(0)zxyz 已已知知曲曲面面 的的方方程程為為，則則（例題）（例題）2366xyz設設曲曲面面 是是位位于于第第一一卦卦限限部部分分，則則曲曲面面（例題）（例題）221()(1).2zxyzzds設設曲曲面面 是是，求求曲曲面面積積分分2222_.441xyzdsxy()_.32xyz ds積積分分（例題）（例題）21,0,0,0.(1)dsxyzxyzxy計計算算， 是是.的的邊邊界界曲曲面面 解解(08)2222()(2),xz dydzx yzdzdxxyy z dxdy 計計算算0,z 補補上上曲曲面面：取取下下側(cè)側(cè)，則則

13、 與與圍圍成成閉閉區(qū)區(qū)域域gauss根根據(jù)據(jù)公公式式：gauss 曲曲面面積積分分在在滿滿足足公公式式：222zaxy 其其中中 為為半半球球面面的的上上側(cè)側(cè). .222pqrxyzxyz2222222()(2)xz dydzx yzdzdxxyy z dxdyxyzdv （）2222222()(2)xz dydzx yzdzdxxyy z dxdyxyzdv （）2222000ddsinarrdr 由由球球面面坐坐標標：525a 22222()(2)(2)xz dydzx yzdzdxxyy z dxdyxyy z dxdy對對于于222,xyxoydxya將將投投影影到到面面：2d(2)2xyxyy z dxdyxydxdy 則則0( 對對稱稱性性）5522055aa原原積積分分= =xdydzydzdxzdxdy計計算算，其其中中 為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面（07年）年）（07年）年）2222xyza設設 為為球球面面的的外外側(cè)側(cè)，則則（例）（例）222(0).zaxya是是上上半半球球面面的的上上側(cè)側(cè)22(1).zxyz的的上上側(cè)側(cè)32222_.()xdydzydzdxzdxdyxyz323232(2)(2)(2)xxydydzyyzdzdxzzxdxdy計計算算，xyzdydzydzdxzdxd