高等數(shù)學(xué)下冊試題及答案解析

1、及新資料推存高等數(shù)學(xué)（下冊）試卷（一）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、 z =，*（+）,2）（。> 0）的定義域?yàn)?D=。2、二重積分口11（爐+），2）公心的符號(hào)為3、由曲線y = lnx及直線x+y = e + l, y = 1所圍圖形的面積用二重積分表示為，其值為 0x = 0（7）4、設(shè)曲線L的參數(shù)方程表示為" （。工4尸）,則弧長元素力=5、設(shè)曲面£為/+），2 =9介于z = 0及Z = 3間的部分的外側(cè)，則“（X2 + y2 + V）ds =。 £6、微分方程包=2+tan上的通解為odx x x7、方程y一4=0的通解為。8、級數(shù)&

2、#163;一!一的和為二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）1、二元函數(shù)z = /（x,y）在（X。,）"）處可微的充分條件是（）（A） /",?。┰冢ǚ?九）處連續(xù)：<B） f：（x,y）,在（x°,y。）的某鄰域內(nèi)存在;(C) M- /；(xo,>'o)Ax - /：(x°,兒)與當(dāng)+()，)？ 0時(shí)，是無窮小:,n、-f；(x0, y0)2kv-/；(x0, y0)Ay(D) lun = 0 ,.一)？+(»z>2rx22、設(shè) = w'（£）+m'（2）,其中/具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則人

3、63;:十），V等于（）y x6-（A） x + y ：（B） x ；（C） y ；（D）0 °3、設(shè)。：x2+y2+z2«l,zNO,則三重積分/ =J,加V等于（）sin(pcGS(pdr:(B)"可。sin （pdr ：(C)ffj；"可(；sin 9cos/：(D)J； "jJ ”討 ' sin (pcoscpclr。4、球而i+V+z? =42與柱而/+y2 =2,0所圍成的立體體積V=（）(A)20cos6一/ dr ；(B)仲可:，瓦Hr ；(C) r 2。cose ；：7:呵。必2 -產(chǎn)dr；(D)口呵：f跖口"

4、;2 / 322 / 322 / 3245、設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所用成，L取正向，函數(shù)尸（尤?。?。（乂田在口上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則£p"x+q心，=（）(A)煤絲dx)dxdy ：崎琮©修界力(D) Jjg-當(dāng)"Mv。" dx oy6、下列說法中錯(cuò)誤的是（(A)方程X）嚴(yán)+ 2y + / y = 0是三階微分方程:(B)方程），蟲+ X蟲=y sin X是一階微分方程; dx dx(C)方程（一 +2xy3）”x +（y2 +3爐V）力=。是全微分方程:(D)方嘮+*孑是伯努利方程。7、已知曲線y = y（x）經(jīng)過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處

5、的切線與直線2x +），+ 6 = 0平行，而y（x）滿足微分方程），一2y' +5y = 0,則曲線的方程為y=（(A) -ex sin2x ：(B) r(sin 2x-cos2x)：(C) ex(cos2x - sin 2x)；(D) ex sin 2x o，則 （n-l（A）收斂： （B）發(fā)散;三、求解下列問題（共計(jì)15分）（C）不一定：（D）絕對收斂。1、（7分）設(shè)均為連續(xù)可微函數(shù), =/（、王+，求du dudx,dy°r x+r. dll dll2、(8 分)設(shè)/(Z)dz,求一,一， JIdx dt四、求解下列問題（共計(jì)15分列1、計(jì)算 / = Je"

6、 dy o （7 分）2、計(jì)算/=川/+），2）小/，其中Q是由一+），2=22" = 1及2 = 2所圍成的空間 G閉區(qū)域（8分）。五、（13分）計(jì)算/ = .,其中L是xoy而上的任一條無重點(diǎn)且分段光滑不經(jīng)J L AT+y-過原點(diǎn)0（00）的封閉曲線的逆時(shí)針方向,六、（9分）設(shè)對任意x,yj（x）滿足方程/（x+y）= /（" + /（'、），且（0）存在，求fM o七、x （x-2）2/,+i（8 分）求級數(shù)；二一2n +1的收斂區(qū)間。及新資料推存高等數(shù)學(xué)（下冊）試卷（二）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）dz &1、設(shè)2sin（x + 2y-3z）

7、 = x+2y-3z，則一+ =。ox dy2、lim上立三。3 XV 53、設(shè)/=1：可”/（乂），）辦，交換積分次序后，I =。4、設(shè) /（）為可微函數(shù)，且 /（0） = 0,則 liin丁 JJ/（"+）,2 Mb =I。萬 +靖5、設(shè)L為取正向的圓周一+)=4,則曲線積分£ y(yeA +l)c/x + (2yeA - x)dy =6、設(shè) A = (/ + ”)i + (丁2 + xz) j+(Z2 + x)9 k ,則 divA =7、通解為y = G/+Qe-2的微分方程是.1 ttWjvvO8、設(shè)/（x） =,一 ，則它的Fourier展開式中的% =1,0&

8、lt;X<7T二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）。廠 +3廣工01、設(shè)函數(shù)/（x,y）TY+），4'，則在點(diǎn)（0, 0）處（）0,x2 + y2 = 0（A）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；（B）連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；（C）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在；（D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。工0及dhi /22、設(shè)（乂丁）在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足d2udxdy則（）（A）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部：（B）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上；（C）最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界上；（D）最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上。3、設(shè)平而區(qū)域 D： （x 2片+ （y - &#

9、187; 工 1,若乙=g（x + y）2da , /? = jj（x + ydaDD則有(A) / <，2：(B) I =/2；(C) / >/2：(D)不能比較。=( )(A)： 3614、設(shè)。是由曲而Z =職)，=X,X = 1及z = 0所圍成的空間區(qū)域，則xydxdydz(B) ：(C) ：(D)362363364X =(p(t)5、設(shè)/(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為(a<t<p),y = 其中夕«),必。在口,刃上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且0飛)+小，2工0,則曲線積分 L，(x,y)"s=()(A)出; (B)J°

10、;'2+u"t)dt : © J：/(9(/)“(f)j8%) + 82(/辿:6、設(shè)E是取外f則的單位球面=1, 則曲而積分j| xdydz + ydzdx + zdxdy =()r(A)0 ：(B) 24：(C)-r ：(D)4;r°7、下列方程中，設(shè)y,乃是它的解，可以推知y+乃也是它的解的方程是()(A) 了 + p(x)y + q(x) = 0；(B) y" + pMyf + q(x)y = 0；(C) y" + P(x)y' + q(x)y = /(x) ：(D) y" + p(x)y' + q(x

11、) = 0。8、設(shè)級數(shù)為一交錯(cuò)級數(shù)，則()/r-l(A)該級數(shù)必收斂：(B)該級數(shù)必發(fā)散；(C)該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；(D)若勺0 ( 0),則必收斂。三、求解下列問題(共計(jì)15分)1、(8 分)求函數(shù) =ln(x + J)/ + d )在點(diǎn) A (0, 1, 0)沿 A 指向點(diǎn) B (3, -2, 2) 的方向的方向?qū)?shù)。9 / 329 / 329 / 326以新資料推薦2、（7分）求函數(shù)/（¥,?。?八二（4一工一）在由直線工+），= 6,），= 0,工=0所圍成的閉 區(qū)域D上的最大值和最小值。四、求解下列問題（共計(jì)15分）1、（7分）計(jì)算I =川（其中。是由x = 

12、6;，y = °，z = o&x+y+z = i 所圍成的立體域。2、（8分）設(shè)/"）為連續(xù)函數(shù)，定義尸。）=口k2+/（1+）,2*八,，n其中。=（x,z） I 0 < Z < h,x2 +y2 <r, 求勺。五、求解下列問題（15分）1、（8 分）求/=(ex sin y - nxy)dx + (ex cosy -m)dy ,其中 L 是從 A (a, 0)經(jīng)y = &ix-X?到 O (0, 0)的弧。2、（7 分）計(jì)算/=JJx2d）dz+y2dzdx+Z%Wy，其中 E 是/+ /=z2（0«Za） r的外側(cè)。六、（1

13、5分）設(shè)函數(shù)奴工）具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線積分J/ 3"（x） - 2（pM +我力）山+ ?'（%）”>與路徑無關(guān)，求函數(shù)（px。6 / 326 / 326 / 327圾新貨科推薦高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(三)一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)1、設(shè) =7小，貝1四=。J xzdz2、函數(shù)/(x,y)=孫+ sin(x + 2y)在點(diǎn)(0，0)處沿7 = (1,2)的方向?qū)?shù)詈 |<0.3 =-3、設(shè)。為曲面Z = l/y2,z=0所圍成的立體，如果將三重積分 I = JJJ于(X, y, z)人化為先對Z再對y最后對x三次積分，則1=。4、設(shè)/(x,y)為連

14、續(xù)函數(shù)，則/=吧!jj7(x,y)b =,其中 'T八D.x1 +y2 <r2o5 £ (x2 + y2)ds =,其中 L:x2+y2=”、6、設(shè)。是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面。是由有限塊分片光滑的曲面所組成，如果 函數(shù)P(x,)，,z), Q(x,y,z), Rx,y,z)在Q上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則三重積分與 第二型曲而積分之間有關(guān)系式：,該關(guān)系 式稱為 公式。7、微分方程y - 6y' + 9y = / 一 6x + 9的特解可設(shè)為/=8、若級數(shù)發(fā)散，則 /t=i 二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)1、設(shè)/：«")存在，貝% ”M一

15、-7'")=() .X(A) /：(“,)：(B) 0： (C) 2/；(«,/?) ： (D) - f：(a,b) °22、設(shè)=X，結(jié)論正確的是()(A)dxdy dydxdxoy ccx 一 ，(C)三一三 <0；dxdy dydx(D)dxdy dydx7 / 327 / 327 / 3283、若/(X, y)為關(guān)于X的奇函數(shù),積分域D關(guān)于y軸對稱,對稱部分記為2, A，/(X，)')及新資料推存在D上連續(xù)，則，f(x, y)dc =()D(A) 0： (B) 2 JJ f(x, y)dc ： (C) 4j| f(x, y)dcr ；

16、(D)2 f(x,y)db。DAd24、設(shè) Q: X?+y2+z2 <r2,則 “1(/+),2上戊心,血=()G8s4s8$16 s(A) -成'：(B) 一成(C) 一成(D) 一球。3315155、設(shè)在.sy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L,在點(diǎn)",，)處的線密度為0(x,y),則曲線弧心的重心的X坐標(biāo)X為()一 r-(A ) a =一 xp(x,y)ds ：(B) x = 一 xp(x. ydx ：M J L .M J L(C) x= f xp(x,y)ds ；(D) x = f xds. 其中M為曲線弧心的質(zhì)量。J LM J L6、設(shè)E為柱面V+y2=i和x = o

17、,y = o,z = l在第一卦限所圍成部分的外側(cè)，則 曲面積分目 y2zdxdy + xzdydz + x2 ydxdz.=()V(A) 0：(B) :(C):；(D) o42447、方程y” - 2/ = f(x)的特解可設(shè)為()(A) A,若/(x) = l： (B) Ae 若 f(x) = e'；(C) Aa4 + Bx3 + Cx2 + Dx+ E > 若/(x) = -2x：(D) x(Asin5x+ Bcos5x),若/(x) = sin5x01 < % < 08、設(shè)/(幻=一 ，則它的Fourier展開式中的明等于()1 0<X<7T2 i

18、4(A) l-(-l)/r：(B) 0；(C) L； (D)on7tn7rnn三、(1 2分)設(shè)y = /(八"),，為由方程F(x,y,/)=0確定的的函數(shù)，其中/，/具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.09 / 329 / 329 / 331四、（8分）在橢圓=4上求一點(diǎn)，使其到直線2工+ 3），-6 =。的距離最短.五、（8分）求圓柱面/ +）,2 = 2）,被錐而 ，7y 和平而Z = 0割下部分的面積A。六、（1 2分）計(jì)算/= 口盯,其中Z為球而x2+y2+z2 =的部分 V的外側(cè)。七、(10 分)設(shè)=1 + $抽2X,求/(x) o J(cos X)（10分）將函數(shù)/（x） = l

19、n（l + x + x2+ /）展開成x的事級數(shù)“城新資料推薦高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(四)一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)1、由方程a>z +)< +z? = /£所確定的隱函數(shù)z = z(x,y)在點(diǎn)(1，0, -1)處 的全微分dz =,2、橢球面/+2丁+3%2 =6在點(diǎn)(1, 1, 1 )處的切平面方程是。3、設(shè)D是由曲線y = /,y = x + 2所圍成，則二重積分/=口(1 + /)0), =0 D4、設(shè)。是由+/=4,z = o,z = 4所闈成的立體域，則三重積分/="(+ y *)人=。n5、設(shè)E是曲而z =/?+/介于z = o,z =

20、l之間的部分,則曲面積分I = JJ(X2 +y2)ds =<> V6、 o卜丁+廠+1一口一x+y+：-()7、已知曲線y = y(x)上點(diǎn)M(0,4)處的切線垂直于直線x 2y + 5 = 0,且y(x)滿足微分方程/ + 2y' + y = 0,則此曲線的方程是8、設(shè)/(x)是周期T= 24的函數(shù)，則/(x)的Fourier系數(shù)為.二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)1、函數(shù)z = arcsin)+的定義域是()(A) (x,j)I|a-| <|y|,xo；(B) (x,y) I |x| > |y|,X5t 0)；(C) (x, y) I 兇 >y&

21、gt;0,x0U (x, y)x<)，K 0,x W 0：(D) (x,y)lx>0,y >0U(x,y)lx0,y V。2、已知曲面z = 4-/一)，2在點(diǎn)P處的切平面平行于平面2x + 2y + z-1 =0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()(A) (1, -1, 2)：(B) (-1, 1, 2)； (C) (1, 1, 2)：(D) (-1, -1, 2)o3、若積分域D是由曲線y = V及)，=2-所用成，則07(x,y)"b=()D(A) J： "xj； * /(x,y)dy ；(B) J： 4xj： J(x,y)4v ：10 / 3210 / 3210

22、/ 3210及新資料推存(c)J： 4vJ ；= f(x, y)clx:( D)J：時(shí)：/(x, y)dx 04、設(shè)C：/+y2+z? w R2,zN0；。有()(A) J|jxdv = 4jjjaz/v ：%n,(C) xyzdv = 4 xyzx/v ：? :x2 + y2+z2 </?x>0,y>0,z>0,則(B) JJjydv = 4jj|ydv ：n.(D) JJjzjv = 4JJJzjdv Q12 / 3212 / 3212 / 32125、設(shè)E為由曲而2 = 戶了 及平而z = l所用成的立體的表面，則曲而積分（B）y：(C)馬(D) 0 °

23、6、設(shè)E是球面/+y2+z2="表面外側(cè),則曲面積分xdydz + y' dzdx + zdxdy =( V12( B) n a54(C)一4 a57、一曲線過點(diǎn)ei),且在此曲線上任一點(diǎn)M(x,y)的法線斜率k = 一一;一，則 x + y In x此曲線方程為()xX(A) y = + xln(ln x) ；(B) y = + xln x ：e' ex(C) y = ex + xn(nx) ；(D) y = + ln(lnx) oeX8、幕級數(shù)Z( + l)/的收斂區(qū)間為() n-l(A) (-1, 1)；(B) (-s,+8)：(C) (-1, 1)：(D) -

24、1, lo三、（1 0分）已知函數(shù) = »（£） + xg（），其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求的值。d2ud2udx1dxdy1四、（1 0分）證明：曲而x）z = c3（c>0）上任意點(diǎn)處的切平而與三坐標(biāo)面所圍成立體的 體積為一定值。五、（1 4分）求拋物而Z=4 + x2+y2的切平面乃，使得乃與該拋物而間并介于柱面（工一1尸+），2 =1內(nèi)部的部分的體積為最小。六、(1 0 分)計(jì)算/ =(/sin y + y)"x + (e" cosy -x)dy ,其中匕為y= -j4-x2 由A(2, 0)至B ( 2, 0 )的那一弧段。21一丁七、（8分

25、）求解微分方程y + y'2=0 oX八、（8分）求事級數(shù)Z的和函數(shù)SW。 =1 n及新資料推存 高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(五)一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)1、設(shè)Z = /(x,y)是由方程z -，一x + x/tt = 0所確定的二元函數(shù)，則dz =»(二 +2 + _ _ 3丫 = 02、曲線(一在點(diǎn)(1 , 1 , 1 )處的切線方程是。2x-3y + 5z-4 = 03、設(shè)。是由/ + y2+z2 <1,則三重積分貝加小，=。4、設(shè)/")為連續(xù)函數(shù)，?是常數(shù)且a>0,將二次積分八 化為定積分為。5、曲線積分J/ “尸小+。小，與積分路徑L(A

26、8)無關(guān)的充要條件為.6、設(shè)E 為 z = yjcr -X1 -y2 ,則 jj(x2 + y2 +z2 )ds =>7、方程y' + 3y = /x的通解為9c80C8、設(shè)級數(shù)收斂，發(fā)散，則級數(shù)£(%+，)必是，n-l/r-ln-I二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分),2 ,八、，,(x, y) W (0,0)1、設(shè) J(x,y)=，廠+廠 ' ，在點(diǎn)(o, o)處，0,(A-, y) = (0,0)下列結(jié)論()成立。(A )有極限，且極限不為0；(B)不連續(xù)：(c ) /；(0,0) = /；(0,0) = 0 ；(D)可微。2、設(shè)函數(shù) z = /(x, y

27、)有匚4 = 2,且 /(x,0) = 1,/內(nèi)0) = x,則 /(x, y)=()力(A ) 1 - xy +：( B )l + xy + y2；( C )l-x2y + y2：( D )l + x2y +3、設(shè)D： iw/+y2 W4, /在D上連續(xù)，則JJ f(1x2 +)”b在極坐標(biāo)系中等 D于()2)(A ) 2;rJ rf(r)ctr ：( B )(C) 2 叫，/(%1*/例：(D ) 2njrf(r2)dr - £ rf(r2 )dr。4、設(shè)。是由x = 0, y = 0, z = 0及x + 2y + z = 1所圍成，則三重積分(A)(B)(C)"zj

28、：“ '燈y，z)力;/ 1,1/ i-x-2yjo附。例。L(x,y,z)dz：力 J： "%(x，)，z)"z ；(D)5、設(shè)E是由x = o,y = O,z = O,x = ly = Lz = 1所用立體表面的外側(cè)，則曲而積分g xdydz + ydzdx + zdxdy =()V(A ) 0；( B) 1：(0 3；( D) 2o6、以下四結(jié)論正確的是()(A )jjj (X2 +>'2 + V)dv = 7T 4、：(B )Jj(x2 + y2 +z2 )ls = 4- a4;(C ) g (x2 + y2 + V )dxdy = 4r aA

29、 ： 外ffl)(D)以上三結(jié)論均錯(cuò)誤。7、設(shè)g(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g(0) = l°并設(shè)曲線積分J/yg(x)tanWxg(x)山，與積分路徑無關(guān)，則ygM tanxdx- g(x)dy =()y/2V2y/2y2(A ) 7t ；( B ) -7t :( C ) K ;( D ) -7122888、級數(shù)Z Yr-的和等于()=i 2(A) 2/3： ( B) 1/3：(C) 1；(D) 3/2 o三、求解下列問題(共計(jì)1 5分)14 / 3214 / 3214 / 3214最新資料推薦1、（ 8 分）設(shè) =x , ；k ,odx dy dz2、（7分）設(shè) = /（£

30、,2）, /具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求小酊 y z四、求解下列問題（共計(jì)1 5分）1、（8 分）計(jì)算 =（"/"）-"/（'"b,其中。：/+）/ “/（x）+ /（），）2、（7 分）計(jì)算/ =JjJ（x+），+ Z + l）Q,其中。：/+），2+22*。n五、（1 5分）確定常數(shù)4,使得在右半平面x>0上，L 2A），（/ +），2尸八一54 +y2），/y與積分路徑無關(guān)，并求其一個(gè)原函數(shù)（尤）,）。1 4- Y六、（8分）將函數(shù)/（x） = ppF 展開為X的事級數(shù)。七、（7分）求解方程）一6y' +9y = 0。15 / 3215

31、 / 3215 / 3215坡新資料推薦 高等數(shù)學(xué)（下冊）試卷（六）一、單選題（共15分，每小題3分）1 .設(shè)函數(shù)/（尤）在。*0，打）的兩個(gè)偏導(dǎo)人（即為），.八（%,£）都存在，則（）B. /。,?。┰??？晌. lim /(x,y)存在 (x.y)T%5b)A. /（乂了）在。連續(xù)C. 1m1/(%,光)及l(fā)im/(兩,y)都存在 1%1fb2 .若Z = ）4,則dz等于（）.ylnxny yinxnya.十x yC.嚴(yán)111Mt+一或 11】V力X八嚴(yán) In )1 ylnt Inx .D. dx+ dyxy3 .設(shè)。是圓柱面V + y2=2x及平而z = O,Z = l所圍成

32、的區(qū)域，則 jjj f(x, y, N)dxdydz.=().nA J J “ej"""J： /"cos 仇 r sin 8, z)dz.B.j； ddj：'/(r cos 8, rsin 6, z>/zC J fJ J6 zz/r|' f(r cos 6, rsin 8, z ylzj»2cos.v ID.j "可 J(r cos sin 8, z)4z4. 4.若 在x = l處收斂，則此級數(shù)在1=2處（）.A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.斂散性不能確定5.曲線,'一）：二2在點(diǎn)（,2）處的一個(gè)切

33、線方向向量為（）.I z=x-+rA. （-1, 3, 4） B. （3, -1, 4） C, （-1, 0, 3） D. （3, 0, -1）二、填空題（共15分，每小題3分）1 .設(shè)x + 2y - 2xyz, = 0,則Z； （1,1） =2 .交換/=公。/（羽），）玲，的積分次序后，/=.3 .設(shè) =2xy - z2，則在點(diǎn)處的梯度為.4,已知ex=Y,則xex =.5 .函數(shù)z = / + y3-3x2- 3y2的極小值點(diǎn)是.三、解答題（共54分，每小題6-7分）1 .（本小題滿分6分）求邑，立. x dx dy2 .（本小題滿分6分）求橢球面2/+3y2+z2=9的平行于平面2x

34、3y + 2z + l = 0的切 平面方程，并求切點(diǎn)處的法線方程3 .（本小題滿分7分）求函數(shù)z =，d + y2在點(diǎn)（1,2）處沿向量/ =方向的方向?qū)?2數(shù)。4 .（本小題滿分7分）將/（x） = L展開成X 3的基級數(shù)，并求收斂域。 x17 / 3217 / 3217 / 3217及新資料推存5 .（本小題滿分7分）求由方程2/+2），2+z2+8” Z + 8 = 0所確定的隱函數(shù) z = z（x,y）的極值。6 .（本小題滿分7分）計(jì)算二重積分”（x2 + y2、/b,O由曲綠=y = -l,y = l D及工=一2圍成.7 .（本小題滿分7分）利用格林公式計(jì)算£孫，?d

35、y -必，其中L是圓周x2 + y2 =。，按 逆時(shí)針方向）,8 .（本小題滿分7分）計(jì)算J,x）drdydz ,其中Q是由柱面/ + V = 1及平面 nz = l,x = 0, y = 0所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域.*四、綜合題（共16分，每小題8分）XXX1 .（本小題滿分8分）設(shè)級數(shù)Z與，W>都收斂，證明級數(shù)Z（%+乙）2收斂。n-in-1n-12 .(本小題滿分8分)設(shè)函數(shù)/(x,y)在R2內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且3=21, dx證明曲線積分L 2m心 + f(x.y)dy與路徑無關(guān).若對任意的/恒有 ：；2xydx + f(x,y)cfy = J：2個(gè)以 + /(x,ydy

36、,求/(x, y)的表達(dá)式.高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(一)參考答案一、1、當(dāng)Ovavl時(shí)，0<x2 + y2 < 1 ：當(dāng)時(shí)，x2 + y2 > 1 ；2、負(fù)號(hào); 3、= :力N; %：4、物2(1) + “2«)力:1) e19 / 3219 / 3219 / 3219及新資料推存5、1804；6、sin)= Cx： x7、y = Cj cos、/£x + G sin 7展 + Ge"，+ C4-vlx ：8、1 ：二、1、D： 2、D： 3、C： 4、B： 5、D； 6、B； 7、A： 8、C：一，6£， c 6u ，/、二、1、 =

37、f + yfi; = xs(x + xy):oxoy2、二=j (x + /)-/(xT) ； = f(x + t) + f(x-t)；OXot四、1、J； dx ex dy = 1/)j()/' dx = J；)'/, 力=；(1 一 e )：2、/藝LT"可:可T"z +”呵期Q Pdz =+：五、令P = ",Q = ' 則孚:=繪,(x,y)(O,O)：x-+)廣入一+)廣(%" +yY ox于是當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中不含0(0, 0)時(shí)，絲，繪在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green oy dx公式得：1=0：當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中含O

38、 (0, 0)時(shí)，匕，吆在D內(nèi)除O (0, dy dx0)外都連續(xù)，此時(shí)作曲線廣為x?+y2 =£2(0<£<1),逆時(shí)針方向，并假設(shè)。'為L+及廠所圍成區(qū)域，則六、由所給條件易得:21 / 3221 / 3221 / 3221/(°)=三倦=/(°)=°八小)又尸(x)=!im“). _ Hm -"F !Ari Zkvai)=/'(0)口 + /2(刈_ 11m l + 尸")/(Ax)-/(0)1-/(%)/(Ax) Ax即-(A) = f'(0) 1 + /2(a)arc tan f

39、 (x)=/(O)x + c 即 f(x) = tan/(O)x + c,2+1In +1又 /(o)= o 即 0 =攵£攵 eZf(x) = tan(/z(O)x)七、令x 2 = /,考慮級數(shù)£(一1)” n=l,2+3/ limT82 + 3產(chǎn)+12 +1/.當(dāng)/< 1即W < 1時(shí)，亦即1 V X v 3時(shí)所給級數(shù)絕對收斂:當(dāng)，<1即x>3或xvl時(shí)，原級數(shù)發(fā)散；x1當(dāng)1=7即x = l時(shí)，級數(shù)(一1)向收斂;占 2 + 1當(dāng)"1即x = 3時(shí),級數(shù)十(一一!收斂;念 2“ +1，級數(shù)的半徑為R=l,收斂區(qū)間為1, 3。高等數(shù)學(xué)(

40、下冊)試卷(二)參考答案一、1、1；2、-1/6；3、J；M'/(x,y)dx + J：M： J(x,y)dx： 4、1/r(0)：5、8/r ：6、2(x + y + z); 7、y" + yf 2y = 0 ；8、0；二、1、C； 2、B； 3、A： 4、D； 5、C； 6、D；7、B； 8、C；三、1、函數(shù) = ln(x +z?)在點(diǎn)A (1, 0, 1)處可微，且du1dx A X + Jy2 +/(UW =1/2：(1A1) = °及新資料推存. 02 2 1 而/ = A3 = (2,-2),所以/ =(二，一二,故在A點(diǎn)沿/ = AB方向?qū)?shù)為:-co

41、s/7 + |a -cos/dz. rdu Idu Idu屋=I -cosa + di|A dxlAdy1 2 八 / 2、 1 1一+ 0 ( ) + = 1/2.2 332 3f1 = 2,。(4 一 x y) + ty( 1) = 02、由) 得D內(nèi)的駐點(diǎn)為M,)(2J),且/(21)=4,fy =L(4 x 2y) = 0又/（。，了）=。，/（'。）=。而當(dāng) x + y = 6,1之 0, y 之。時(shí)，f (x,y) = 2 - 12/(0 < x < 6)令(2/ 12/y = o 得* =0,占=4于是相應(yīng)兌=6,%=2 且 /(0,6) = 0,/(4,2)

42、 = -64./(X, y)在D上的最大值為/(2,1) = 4,最小值為/(4,2) = -64.0 < X < 1四、1、。的聯(lián)立不等式組為。：0«)，x 10<Z<-x-y所以1M2七1 c1 r It= 5。磯1（心十萬乎，22 / 3222 / 3222 / 3222 >>5 *1隹12=-mm82、作輔助曲而心:,上側(cè)，則由Gauss公式得: 廠+廠/4旬工 工+J1JJJ 2(x +y + z)dxdydz- crdxdy x2+y2<z2.O<z<a.t2+y2<n2jj Zjclxdy - mi x1+y&

43、lt;z2= 2j；*六、由題意得：-2(p(x) + xe2x =(px)即 °”(x) - 3?'(x) + 2(p(x) = xe2x特征方程/-3r+ 2 = 0,特征根6=1,r2 =2對應(yīng)齊次方程的通解為：y = G"+C2G又因?yàn)橥?2是特征根。故其特解可設(shè)為：y =x(Ax + B)e2x代入方程并整理得：A = 1, B = - 2即)Ym故所求函數(shù)為：e(x) = qe ' + c2e2x +-x(x- 2)e2x2高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(三)參考答案一、1、yey : -xex z ； 2、6；3、1/氏匚山：'' f(x

44、, y, z)dz.：6、+ & + ")小=9 Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ,Gass公式；7、Ax2 + Bx+C 8、尸40。二、1 % C： 2、B： 3、A ：4、C ；5、A ：6、D ：7、B ；8、B三、由于"y = f ；(x,t)dx + f；(x,t)di, F'dx + F；dy + F；dt = 023 / 3223 / 3223 / 3223及新資料推存由上兩式消去力，即得：=，收 F；+f；F；四、設(shè)（x,y）為橢圓/+4y2=4上任一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線2x + 3y -6 = 0的距離為416二2二川:令乙=（6

45、-2工一3），）2+/+分24）,于是由: V13Lx = -4(6 - 2x - 3y) + 2Ax = 0< L、= -6(6 _ 2x- 3y) + 82y = 0Lz =x2 +4y2 - 4 = 0Q QQ QQ a Q Q得條件駐點(diǎn)：”心,）,%（%（?二）/明（、?13%依題意，橢圓到直線一定有最短距離存在，其中".6二2二川 VI3即為所求。24 / 3224 / 3224 / 3224六、將X分為上半部分之 ：Z =上一小一產(chǎn)和下半部分E2：z = Jl x2y2 ,%在而my上的投影域都為：Dxy : x2 + y2 <l,x> 0, y >

46、; 0,仇、于是：JJxyzdxdy = jjyj-x2 -y2dxdy=sinecosJ.Jl-p，Wp = A及新資料推存26 / 3226 / 3226 / 3226Jj xyzdxdy =X1 - y1)(一dxdy) = A ,JJ +JT 后七、因?yàn)?quot;"os ')= = sin? x , RP /r(cosx) = 1 + sin6、大力J; 7、y = 2(2 + x)ex ； x ”(cos x)所以廣（外=2-：.f(x) = 2x-x +c八、f(x) = ln(l + x)(l + x2) = ln(l + x) + ln(l + x2)又 I

47、n(l + m) = y e (-1Jn-i X / | /l -1X / | fl-1./&)= Z匚，x + Z匚: 一 ,x e (-148 (_尸= Y-xn( + xn xe(-lj“i 5、旦.2 ，高等數(shù)學(xué)（下冊）試卷（四）參考答案53一、1、dx <2Jy： 2、x + 2y + 3z = 6； 3、； 4、32/r：TV* 亭x：fxcoskxdxk = 1,2, ,一”/(.v) sin kxdx 一開二、1、C： 2、C： 3、A： 4、D： 5、A： 6、B： 7、A； 8、C0 =/心+Q)”g，心 ox y xxx典八字2g心+gg+4gdox y y

48、 尸 x x- x x xL'"d)+=g"(2)y y x x2=_=/小+與，心g，心心 oxoy ）廣 y x x x x x x=-4n-）-4rA y- y 尸 x,d2u d2u 八故 x-r + y= 0dx1 dxdy四、設(shè)M（Xo，Vo，z（）是曲面/= xyz-c'=0上的任意點(diǎn)，Axoyozo =c在該點(diǎn)處的法向量為：一C3 c3311 =（£，邛，E）|m =（）LZo, Zo%o,與兒）=（,，一）=（一, ，/） 與）'ox（）y0 Z°于是曲而在M點(diǎn)處的切平面方程為：（x-x0）+（>'

49、- v（）+（z-z0） =0 與九Zo即 2L+JL+3=i 3x0 3yo 3z0因而該切平而與三坐標(biāo)而所用成的立體的體積為：V = ：|3%卜|3打卜|3叫=k0右4=；03 o22這是一個(gè)定值，故命題得證。五、由于介于拋物而Z=4 + .d+y2,柱面J 1產(chǎn)+）,2 =1及平而z = 0之間的立體體積為定值,所以只要介于切平面"，柱面（X -= 1及平而z =。之間的立體體積V為最大即可。設(shè)乃與Z = 4 + /+）,2切于點(diǎn)尸（亂,九,），則乃的法向量為 =（2X0,2丁0，1），且Zo =4 + 4+%2,切平面方程為：2xo（x-xo） + 2yo（y-yo）-（z-

50、zo） = O即 Z = 2xox + 4 - x： - y；于是 V = Jj極坐p （2xopcos。+ 2y0psin6 + 4-一 y：）dp （x-l）2+y2<l-T= ;r（2xo+4 W）及新資料推存dV-=)(2 - 2X0)= 0則由，,得駐點(diǎn)（1, 0）及0dV 個(gè)=一2 研©u且叫】.。）=5凡z（）= 5.由于實(shí)際問題有解，而駐點(diǎn)唯一，所以當(dāng)切點(diǎn)為（1，0, 5）時(shí)，題中所求體積為最小。 此時(shí)的切平面乃為：z = 2x + 3六、聯(lián)接麗，并設(shè)由L及麗所圍成的區(qū)域?yàn)镈,則/=L += 1/+- 一卜公式-/(婷 cosy_1一/cosy-l)c/xdy-

51、01 . =2 ' n 2" = 47r2七、令y' = z(y),則)，= z'，于是原方程可化為：z + z2 =0dydy 1 - y即生+二-=0,dy 1 - y-fJvR = gG，-i)2dx即為/故原方程通解為:y = i1一 c.x + c1其通解為z=qe»' =c,(y-l)228 / 3228 / 3228 / 3228八、易求得該事級數(shù)的收斂區(qū)間為（一11）.8 "X -XVx£(lJ),令5(幻=工一，則5'(外=工(一)'=2£1=;”=1 ；r-l "H-

52、l1 - X注意到5(0) = 0, /. S(x) = J：S'(x)dx = J , = ln(l-x) 1dx + (l + XG：-'-v)"y 、1、高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(五)參考答案；2、焉 = 彳 ：3、2江：4、岸/幻心:5、對任意閉曲線/, £p小+ Q4=0或 =當(dāng)或玉«x,y）,使得4 =尸八+。山，：6 2加“：7> y = ce." +J二、1、C： 2、B：3、A：|e2x： 8、發(fā)散4、C： 5、C： 6、B； 7、D： 8、A一 I du z M-1二、1、一 = yxdxa， /% !曠 z In

53、x ： = yx In x In ydzc 61 C2、: =-fdx y”出力黑-". du . du j du .1/：.du =dx+ cly + dzt = f0x + ( dx dy ' dz. y四、1、因?yàn)榉e分域D關(guān)于y = x對稱，所以+ /(、)故,例等需F修得w= (a + b)do- = (a + b)R2 ：2 o22、Z= JJJ(x2+ ),2 + ”)dv + 20卜()，+ Z + 1X/V + 2jjj yzjdV nnn+ 2川 ydV + 2jjj zdV + Jj dV nn n因?yàn)?。關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸都對稱，而2肛,2yz,2R2x,2y

54、,2z都(至少)關(guān)于某個(gè)變量為奇函數(shù)，故以這些項(xiàng)為被積函數(shù)的三重積分都等于0。于是：/ = jjj(x2 + >'2 + z2)dV + * dV = 3jjj z2dV + 士成,QGG3= 6/zJJ Z、/x4)，+ 成3 =成3 (1 + /?2)0五、令P = 2孫(1+92產(chǎn),0 = -2(/+丫2尸則 一 =2x(/ +4326 + >2 產(chǎn)， =-2x(A-4 +y2y - 4Zv5 (x4 + y2 產(chǎn) dx由已知條件得也=廿，即有(/+y2)(/l + l) = 0,所以/l = 1 dx dy及新資料推存所求的一個(gè)原函數(shù)為：/、“2) 2xv , x2 .心,V)= Lc、由一一-dyJ(LO) X4 +y- X +)廣