正態(tài)分布原理

1、正態(tài)分布（一）正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度如果連續(xù)型隨機(jī)變量二的概率密度為1e*"，(4.29)其中一八：- 一二,則稱隨機(jī)變量 芒服從參數(shù)為1的正態(tài)分布，記作正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差D（J0 = /正態(tài)分布的圖形有如下性質(zhì) ：1. 它是一條以直線丫二Q為對(duì)稱軸的鐘形曲線;2. 它以橫軸為漸近線，并且在 :n處有拐點(diǎn);3. 它在1=1處取得最大值，最大值為:由此可見，標(biāo)準(zhǔn)差 二越大，的圖形就越平緩，標(biāo)準(zhǔn)差 二越小，門的圖形就越陡 峭。正態(tài)分布的分布函數(shù)-OO < J < + 130（二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度參數(shù)I , 一： 一的正態(tài)分布，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為

2、-;.1。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布的概率密度通常用 I表示,(4.31)I的圖形如圖4 .12所示，它是一條以縱軸為對(duì)稱軸的鐘形曲線。圖4.12標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)通常用匚表示,圖4.13標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表對(duì)于非負(fù)的實(shí)數(shù)工，可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，直接查出江；-：的數(shù)值。對(duì)于負(fù)的實(shí)數(shù)?；，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱性，可由下式J '（4.33）計(jì)算出數(shù)值。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)設(shè)隨機(jī)變量工服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，對(duì)于給定的概率水平“V ：'；，滿足等式（4.34）的正數(shù)°一，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的左水平的雙側(cè)分位數(shù)；滿足等式的正數(shù)亠

3、，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的X水平的上側(cè)分位數(shù)。圖4.14正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)例4.21假設(shè)-' X，求下列概率:4 巴班隘 1)；-1)；3.只心5) ；4.只-2盒才藝習(xí)。解4鞏班勺)也!貓口2 TX< -1) - <P(-1> 1 - 0<1) - 1 - 0.M 13 - 0.15 873' _ 1' ' L . V ' I1 :.片4 .' -< - < . .' <:-' - /-匸= M(2)- 1= 2x113772-1=0.9544(三)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系如果'&

4、#39;'1 ，則4戶SHtr于是，在正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度J ；和"- 分布函數(shù)/W 二丄 0b'和.之間存在下列關(guān)系式：1.(4.36)2.(4.37)3.(4.38)這就是說(shuō)，計(jì)算任一正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率都能通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)實(shí) 現(xiàn)。例4.22設(shè)''| -，求下列概率:蘭二上抑(0)解因?yàn)? - 4 ，所以二0P(_X<6) = r = = <PC1) = O E413=一帆一 3)= 0.8413-(1-0'.87) = 0.8413- 01.0013 = 0.3400例4.23設(shè)；1 -'/'-

5、'v，求下列概率:1. Hin 如2. hi産-川蘭站)3. 刊憶-川站b)解1I口丿V.口丿2tP( 1)-1-2x0.34131-0.8262. 工b丿 '燈丿-0)(2) -®(-2)1-2x0.9772-1-0 35+4P JT-/J |<3ct)=F(p-3j <T</j + 3o-)=肛/(口十彳小一理)_口(3 _%)_左3. I口丿i口= di(3)-tf3(-3)=M(3)-l = 2xO gP87-l=O.9ST74從上面的結(jié)果可以看出，事件；'的概率很小，因此 疋的取值 幾乎全部落在區(qū)間-：lr -內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能

6、性還不到' -，：/：。這就是在產(chǎn)品質(zhì)量控制中有重要應(yīng)用的準(zhǔn)則。(四)正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究及應(yīng)用中具有極其重要的作用，它在各 種概率分布中居首要地位，是抽樣和抽樣分布的理論基礎(chǔ)。這是因?yàn)椋?.客觀世界的許多現(xiàn)象都可以利用正態(tài)分布來(lái)近似地描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 例如，人的身高和體重，電子產(chǎn)品的使用壽命，原材料的物理特性，各種各樣 的測(cè)量誤差 都可以看作是具有“兩頭小，中間大”分布特征的隨機(jī)變 量。具有這種特征的隨機(jī)變量，一般可以認(rèn)為是近似服從正態(tài)分布的。2. 正態(tài)分布是許多重要分布的極限分布。例如可以用正態(tài)分布來(lái)近似二項(xiàng) 分布。3. 正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)推斷中有重要的應(yīng)用。例如 ，分布，分布和F分布 都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的函數(shù)。二項(xiàng)分布的正態(tài)近似德莫佛一拉普拉斯定理 設(shè)隨機(jī)變量匸服從參數(shù)為耳，匸的二項(xiàng)分布，那么，當(dāng)：充分大時(shí)，£近似服從參數(shù)為.二呼，一r.的正態(tài)分布"。也就是說(shuō)，當(dāng)二充分大時(shí)，匚 "近似服從標(biāo)準(zhǔn)在實(shí)際應(yīng)用中，除要求比較大外，還要求1 ' '''和1 一。例4.24假設(shè)產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為30 %。試求在1000件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品件 數(shù)在280件和350件之間的概率。解設(shè)芒表示在1000件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，則 M服從參數(shù)為，'的二項(xiàng)分布八-1。根據(jù)