必修四三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義

1、1、利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象（列表、描點(diǎn)、連線）“五點(diǎn)法” ：(0, 0),Yr 1)，0); (,0), ( 3r, 1), (21.4 1.5三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再通過(guò)向左、右平移（每次2 個(gè)單位），即可得正弦函數(shù)圖象；（2）正弦函數(shù)自變量一般采用弧度制。19二、余弦函數(shù)的圖象三、正、余弦函數(shù)的性質(zhì)4(x) - cost2- ph(x) = cosxf(x) =sinxf(x) = sinxh(x) = cosx定義域RR值域-1, 1當(dāng) x= 2k + 一時(shí)，f(x)max = 1當(dāng) x = 2k時(shí)，f(x)min = 1-1, 1當(dāng) x=2k 時(shí)，f(x)max

2、= 1當(dāng) x = 2k + 時(shí)，f(x)min = 1單調(diào)區(qū)間2 k-,2 k+ 單增2 k-1,2 k-1單減222 k ,2 k +單減2 k +, 2 k +2 單增對(duì)稱軸x= k + -2x= k對(duì)稱中心(k ， 0)(k0)周期性sin(2 k +)= sincos(2 k +)= cos最小正周期為 2奇偶性sin( ) = sin奇函數(shù)cos( 一 ) = cos例1:求下列函數(shù)的定義域。(1) f(x) =、'sin x(2) f(x)=cosx變式練習(xí)1:求下列函數(shù)的定義域(1) f(x) = lg(sinx)(2) f(x) = 2cosx 7(3) =，2sin2

3、 x_sin x_1cosx 3變式練習(xí)3：當(dāng)xe時(shí)0, 2 ,滿足A:0, 2 B：4 , 2 C:331 ,sin( x) 的x的取值氾圍是()220, - U-, 2 D:-,-3333義式練習(xí)2:已知cos x=一L 且 xe 0, 2 , 2A: 2 或4B: 2 或1 C： 5 或1333366【解析】A則角x等于（）例2:下列函數(shù)圖象相同的是（）A ： y= sin x y = sin(x+)C: y = sin *與丫=$麗(一x)【解析】B變式練習(xí) 1: y=1 + sin x, xC0, 2B: y = cos *與丫 = $所（一一x）2D: y=sin（2 +*）與丫=

4、$所 x的圖象與直線y=2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（A: 0 B: 1 C: 2 D: 3解析 B變式練習(xí)2:函數(shù)y=sin（ x）, xC0, 2 的簡(jiǎn)圖是（）【解析】B變式練習(xí)3:.函數(shù)y=2sin x與函數(shù)y = x圖象的交點(diǎn) 個(gè)?！窘馕觥吭谕蛔鴺?biāo)系中作出函數(shù)y=2sin x與y=x的圖象可見(jiàn)有3個(gè)交點(diǎn)。3個(gè)變式練習(xí)4:.若函數(shù)y=2cos x（0<x<2 ）的圖象和直線y=2圍成一 個(gè)封閉的平面圖形，則這個(gè)封閉圖形的面積為 。【解析】：圖形S1與S2, S3與S4是兩個(gè)對(duì)稱圖形，有 S1=S2,= S4,因此函數(shù)y=2cos x的圖象與直線y= 2所圍成的圖形面積可以 轉(zhuǎn)化為求矩形

5、OABC的面積。VS30-2因?yàn)閨OA| = 2, |OC| = 2兀，所以S矩形OABC=2X2后4兀故所求封閉圖形的面積為 4兀.四、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)【三點(diǎn)兩線】定義域：xwk 十萬(wàn) kCZ值域：R周期性：最小正周期 T=j單調(diào)遞增區(qū)間：(k £，k +萬(wàn))奇偶性：tan( x) = tanx奇函數(shù) 對(duì)稱中心：(k, 0)2例3:求函數(shù)f(x) =tan(2x萬(wàn))的定義域，最小正周期、單調(diào)區(qū)間以及對(duì)稱中心。例4:若直線l過(guò)點(diǎn)M(2, 2)且與以點(diǎn)P(-2, 3)、Q(1, 0)為端點(diǎn)的線段恒相交，則直線 l 的斜率的范圍是。5【斛析】：一w k< 24變式練習(xí)：若直線l

6、過(guò)點(diǎn)M(0, 2)且與以點(diǎn)P(-2, 3)、Q(1, 0)為端點(diǎn)的線段恒相交，則 直線l的斜率的范圍是。5【斛析】：kw - 2, k> 2五、函數(shù)y=sin( x+ )的圖象與性質(zhì)(一)由y = sinx的圖象通過(guò)變換法作y = Asin( x+ )的圖象1、先平移后伸縮：y=sinx0時(shí)向左，(0時(shí)向右)平移|個(gè)單位得到y(tǒng)= sin(x +)，一. 一 ,一 1 ,、一1時(shí)縮短(01伸長(zhǎng))到原來(lái)的,倍得到y(tǒng)=sin( x+)A 1時(shí)伸長(zhǎng)（0 A 1縮短）到原來(lái)的A倍得到y(tǒng) = Asin(x+)1.一 ,1時(shí)縮短（01伸長(zhǎng)）到原來(lái)的-倍得到y(tǒng) = sin x2、先伸縮后平移:y = s

7、inx0時(shí)向左，（0時(shí)向右）平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=sin (x+)A 1時(shí)伸長(zhǎng)（0 A 1縮短）到原來(lái)的A倍得到y(tǒng) = Asin(x+)例5:把函數(shù)y = sin（2x+I）的圖象向右平移一個(gè)單位，再把所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短8一，1 一一，)1C: y= sin4x D ： y = sin2x到原來(lái)的-,則所得圖象的函數(shù)解析式為（2A ： y=sin（4x+宜） B： y=sin（4xd）88變式練習(xí)1:將函數(shù)y= sin（x+ ）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2彳（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（）A ： y= cos2xB: y = sin(2x+) C： y = sin( x

8、+ ) D： y = sin( x+)42824變式練習(xí)2:已知函數(shù)f（x）=sin（ x+ ）（>0）的最小正周期為，則函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y = sin2x的圖象（）A：向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度B：向右平移萬(wàn)個(gè)單位長(zhǎng)度C:向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D：向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度【解析】選A變式練習(xí)3:要得到函數(shù)y= 2cos（2x）的圖象，只要將函數(shù) y=2cos2x的圖象（）6A:向左平行移動(dòng) 石個(gè)單位長(zhǎng)度 B：向右平行移動(dòng) «個(gè)單位長(zhǎng)度C：向左平行移動(dòng)行個(gè)單位長(zhǎng)度D :向右平行移動(dòng)行個(gè)單位長(zhǎng)度【解析】選D變式練習(xí)4:要得到函數(shù)y = sin（2xW）的圖象，只需將函數(shù)y=cos（

9、2x）的圖象（）5A:向左平移 至個(gè)單位長(zhǎng)度B：向左平移53個(gè)單位長(zhǎng)度5 C.向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度12D:向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度3【解析】選 C.由于y= cos(2x兀)=cos2x=sin二加),y= sinTlIEx = sin2 一 一 二一故只需將函數(shù)y = cos(2x兀)的圖象向右平移工工兀個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù) 的圖象.y=sin(2x-五、有關(guān)函數(shù)y=Asin( x+ )的性質(zhì)1、定義域?yàn)镽，22、值域?yàn)锳, A3、最小正周期 T=4、當(dāng) =k 時(shí)，函數(shù) y=Asin(x+)為奇函數(shù)；當(dāng) =k +一函數(shù)是偶函數(shù)。25、對(duì)于函數(shù)y= Asin( x +)(A>0,>0)的

10、單調(diào)區(qū)間，把 x+ 看成整體2k020 2k解出x的范圍為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)問(wèn)26、函數(shù) y=Asin(<2k)的對(duì)稱軸解出x的范圍為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)問(wèn)=k +萬(wàn)，解出x求得；對(duì)稱中心x +k ,解出x求得。例6:指出函數(shù)y=3sin(2x -)的定義域、值域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心。變式練習(xí)1:函數(shù)f(x) = 3sin(x+ )在下列區(qū)間內(nèi)遞減的是1 A: 2，1 B：【°，J 22C： - -，2 331D:2F TIEMG2【解析】：令2k兀+ w 2k #,11:3kCZ 可得 2kTt+ wxw2k上,kCZ, 函數(shù) f(x)的遞減區(qū)間為，kC乙從而

11、可判斷TXT答案:D變式練習(xí)2:設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x),xC R,則出刈是()A :最小正周期為 的奇函數(shù)B:最小正周期為的偶函數(shù)一. .1C:最小正周期為一的奇函數(shù)21D:最小正周期為1的偶函數(shù)2(2父g【解析】：因?yàn)?f(x) = sin " = -cos 2x,所以 f(-x) =-cos 2(-x) = -cos 2x= f(x)所以f(x)是最小正周期為兀的偶函數(shù).答案:BA:7:若函數(shù)f (x)3sin(2x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么I I的最小值為12【解析】：B:6D:3例 8:函數(shù) f(x)=Asin( x+) (A>0,>0,< -)的部

12、分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為A ： f(x) = 2sin(x ) B ： f(x) = 2sin(2x )C: f(x)=2sin(x+)D： f(x) = 2sin(2x)12變式練習(xí)1:已知cos5"£ (-,),函數(shù)2>0)的f(x) = sin( x +)。圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等了則f(g)的值為(C:7.210變式練習(xí)2:已知函數(shù)f(x)=sin(的部分圖象如圖，則變式練習(xí)3:已知函數(shù)f(x)=sin(示，則f(4)=D:()(【解析】：變式練習(xí)4:函數(shù)f(x) =sin( x+ ), ( |萬(wàn))象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

13、()A:(1 + 4k ,1 + 4k ),kCZB: ( 3+ 8k , 1 + 8k ), kCZC: ( 1+4k, 1+4k), kC ZD： (3+8k, 1 + 8k), kCZ的部分圖【解析】：【解答】解：根據(jù)函數(shù)f1 _2兀4 S =3-1 = 2,求得3= 7T,再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得(x) = sin (3 x+ 4)TT,(| M v 2)的部分圖象，可得7T兀? ?1+ - 2 ,7U7U4= & ,，f(x) =sin( x x+ 4 ).JU K 7T 7T令 2kL 2 w x x+ 4 <2kTt+ 2 ,求得 8k- 3<x< 8k+

14、1, 故函數(shù)的增區(qū)間為-3 + 8k, 1+8k, kCZ,故選：D.例 9:已知函數(shù) f(x) = <2 sin(2x)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期。(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間以及對(duì)稱中心。3(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間-, 彳上的最大值和最小值。變式練習(xí)1:已知函數(shù)f(x) = sin( x+ )(其中 >0, | |< -),若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為且直線x=不是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸(1)求 的值；(2)求y = f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若 xc , 3,求 y= f(x)的值域。TC2【解析】：(1)因?yàn)楹?/p>

15、數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為，所以函數(shù)的3箕xTL&周期T= 為所以3=2.(2)因?yàn)橹本€x= 是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，所以622 X + 4= k 兀+ , k Z, (j)= k tH-十,)所以函數(shù)的解析式是y=sin.令626,kZ.X| 川< ，所以上 .e -2 fcir, + 2A；nc6 I 22，2x +, k C Z,解得xeez.kC乙所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為因?yàn)閤£卜詞所以2x+汨居住.國(guó)即函數(shù)的值域?yàn)樽兪骄毩?xí)2:設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+ )(1)求；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;< <

16、;0),已知它的一條對(duì)稱軸是直線x= O8(3)求函數(shù)的對(duì)稱中心；(4)當(dāng)xC,且88函數(shù)f(x)的取值范圍。71【解析】(1)函數(shù)的一條對(duì)稱軸是直線2xe+(f)= kTt + 2 , kCZ,因?yàn)?Ttvv。，31T所以=-4 .(2)由(1)知,I2x-)f(x) = sin'4),冗311 3 IT2 + 2k % < 2x- 4 < 2 + 2k 兀，kCZ,9n 即8+ k7twxw*+k兀，kCZ,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為S7T ,1+ kn一+knee (kCZ).1變式練習(xí)3:設(shè)函數(shù)f(x)=tan(-x)。23(1)求函數(shù)f(x)的定義域、周期和

17、單調(diào)區(qū)間;(2)求不等式一1 w f(x) w 33的解集IC3=2兀.xTI1E5”232y解:(1)由 +kTt(k C Z),得 xw +2kTt, f(x)的定義域是R1豐十2k1t上E ；.丁 w= ,，周期 T =ICX It IT由- +k Tt <+k 兀(kC Z),得-+2kjt <x<5 IE'+2kTt (kC Z).函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k e Z).(2)由-1 < tan,得-icxir -»423 - 3+k兀w+k兀(kC Z),解得TCG+2k 兀 w xw4ic3+ 2k 兀(k Z).不等式-1 <

18、 f(x) & 護(hù)的解集是-+ 3fciu < x < +2 kit 焉 E Z課后綜合練習(xí)1、下列函數(shù)中，最小正周期為A: y=sinxB: y=cosx的是()C: y=sin D： y=cos2x【解析】：2、不等式sinx> -, xC022 的解集為(A： 了【解析】：4T B： 最B5萬(wàn) C：655-6 3、函數(shù)f(x) = tan( x)與函數(shù)g(x) = sin(z - 2x)的最小正周期相同，則A:±1 B: 1C:±2D: 2【解析】：A等于(4、函數(shù)y sin x , x R圖象的一條對(duì)稱軸是()4A:直線x 0 B:直線x

19、C:直線x - D:直線x 一244【解析】：D5、把函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)變換可得到函數(shù)y=cosx的圖象，這個(gè)變換是()A:向右平移一個(gè)單位2C:向右平移 個(gè)單位【解析】：BB:向左平移一個(gè)單位2D :向左平移 個(gè)單位6、將函數(shù)f(x) = sin(x &)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象上的所有點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是()3A: y=sinx B： y=sin(x) C： y=sin(x) D： y=sin(2x)222266【解析】：C7、把函數(shù)y=sin(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是()A

20、:奇函數(shù) B:偶函數(shù)C:既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D:非奇非偶函數(shù)【解析】：D8、下列函數(shù)中，圖象的A : y= sin(x + )C: y = cos(4x)【解析】：D部分是右圖的是()B ： y = sin(2x )D ： y= cos(2x )9、若x 0,2 ,函數(shù)yJsin x C cosx的定義域是 【解析】：x , 210、如果直線 ym與函數(shù)y sin x,x【解析】：土 10,2 有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則 m11、函數(shù)y tan x 的單調(diào)區(qū)間是 其中k Z (3A:B:5C： 2k ,2k665D：2k， 2k66x+) (A>0,f(1) + f(2) +f(3) + )>0)的部+ f(2011)【解析】：B12、函數(shù) f(x) =Acos(分圖象如圖所示，則+ f(2012)的值為(A: 2+ <2 B: <2 C: 2 + 2<2 D: 0【解析】：f(x)=Aco