正余弦函數(shù)的定義與誘導公式(第一課時)

1、§ 1.4正弦、余弦函數(shù)的定義與誘導公式(一)【教材版本】北師大版【教材分析】在講述“三角函數(shù)”之前，教材指出周期現(xiàn)象在自然界是大量地存在的，以凸顯“三角 函數(shù)”的重要作用。“三角函數(shù)”雖然在初中出現(xiàn)過，但只是對一些特殊角的三角函數(shù)值進 行講解，并沒有把它們作為函數(shù)的研究。在本節(jié)中，正弦、余弦函數(shù)是用角的終邊和單位圓交點的坐標來定義的。這種定義方法一方面可以利用單位圓來體現(xiàn)三角函數(shù)的周期性，另一方面可以利用圓的對稱性充分顯示誘導公式，并能很方便地說明三角函數(shù)在各象限的符號。乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍華舜歸乍乍 心、心、心、心、心、心、心、心

2、、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、A / A乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、/【小】心、/ 8心、心、乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍 心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、6怎3-怎5_44怎5r ?乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、/ 口 /匹乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍歸乍 心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心

3、、心、電、/ AP(x, y)中的坐講解時必須說明對于正弦、余弦函數(shù)的定義而言，其實就是終邊上一點 標x, y與P到原點的距離r的比值，而且與 P的位置沒有關系，因此取 r=1即取P為單位 圓與終邊的交點最為便利，這也體現(xiàn)了單位圓的妙處，而這種化歸的思想和利用單位圓的對 稱性推導誘導公式中體現(xiàn)的用幾何方法研究代數(shù)問題的思想是本節(jié)解決問題的的主要方法。乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍乍心、心、心、/1、#.心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、心、

4、/心、心、特別強調的是，對于不為零的常數(shù)T ,如果等式f(x T) f(x)不是對定義域中的每一個 x值都成立，那么常數(shù) T就不是函數(shù)f(x)的周期。【學情分析】學生已經學過銳角三角函數(shù)， 它是用直角三角形邊長的比來刻畫的。銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關系，任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學模型，它與“解三角形”已經沒有什么關系了。因此，與學習其他基本初等函數(shù)一樣，學習任意角的三角函數(shù)，關鍵是要使學生理解三角函數(shù)的概念、圖像和性質，并能用三角函數(shù)描述一些簡單的周期變化規(guī)律，解決簡單的實際問題?！窘虒W目標】1.知識與技能(1)理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義，理解三角函數(shù)是以實數(shù)

5、為自變量的函數(shù);2）從任意角的三角函數(shù)定義認識正弦、余弦函數(shù)的定義域，熟記正弦、余弦怎怎怎 在各象限內的符號3 ） 怎怎怎怎怎怎怎怎怎怎怎怎怎怎怎怎怎怎 ，理解會運用誘導公式（一）2過程與方法以銳角三角函數(shù)為引子， 利用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)。 由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內部聯(lián)系， 使得我們在討論三角函數(shù)的問題時， 對于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問題等，都可以從圓的性質中得到啟發(fā)。三角函數(shù)的研究中 ,數(shù)形結合思想起著非常重要的作用3情感、態(tài)度與價值觀在由銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)的過程中， 讓學生體會特殊與一般的關系， 形成一種辯證統(tǒng)一的思想； 通過單位圓的學習，

6、 建立數(shù)形結合的思想， 激發(fā)學習的學習積極性；培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力【重點難點】1教學重點：任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義，周期性與誘導公式（一） 。2教學難點：用角的終邊上的點的坐標來刻畫三角函數(shù)；三角函數(shù)值的符號?！窘虒W環(huán)境】1多媒體課件。2多媒體教室?！窘虒W思路】本節(jié)把三角函數(shù)的自變量從銳角推廣到任意角， 借助直角坐標系和單位圓定義了任意角的三角函數(shù)的概念，推出“終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)的值相等”這一結論，并由此結論對比正弦、余弦函數(shù)給出周期函數(shù)的概念?！窘虒W過程】一、導入新課我們把角的范圍推廣了， 銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎？譬如三角形內角和為 180 ， 那么 sin

7、200 的值還是三角形中 200 的對邊與斜邊的比值嗎？類比角的概念的推廣，怎樣 修正三角函數(shù)定義？由此展開新課。二、新知探究1 .正弦、余弦函數(shù)的定義問題1:初中如何定義銳角三角函數(shù)?活動：教師提問，學生口答，突出它是以銳角為自變量、 邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù)。問題2:你能用直角坐標系中角終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎?活動：建立適當?shù)淖鴺讼?，設銳角 a的頂點與原點重合，始邊與 X軸的正半軸重合,則它的終邊在第一象限。在的終邊上任取一點P u,v ,它與原點的距離r vu29 0。過P作x軸的垂線，垂足為段MP的長度為v 。根據(jù)銳角三角函數(shù)定義：sin vOP rOM u cosOP

8、 rM則線段OM的長度為U ,線問題3:如果改變終邊上的點的位置，比值會改變嗎，為什么?E，比值不會隨點P在活動：教師先讓學生們相互討論、動手畫圖，再引導學生選幾個點，計算一下對應的比 值，獲得具體認識，并由相似三角形的性質來證明：對于確定的角a的終邊上的位置的改變而改變定義1 :（終邊定義法）是一個任意角，終邊上任意一點P （除了原點）的坐標為(u,v),它與原點的距離為u2v20 ,那么（1）比值v叫做的正弦,記作sin（2）比值ru叫做的余弦，記作rcosv一;rur問題4:能否通過取適當點而將上述三角函數(shù)的表達式簡化?活動：通過圖形引導學生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離r 1的點可以使表達

9、式簡化。sinMPvvv cos OMuuuOPr1OPr1當r 1時，點P就是a的終邊與單位圓的交點。銳角三角函數(shù)可以用該點的坐標表示。于占J 八、(1)(2)定義2:P u,vv叫做u叫做（單位圓定義法）的正弦，記作的余弦，記作是一個任意角，它的終邊與單位圓交sincos所以，正弦、余弦都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標 的比值為函數(shù)值的函數(shù)。 通常，用x表示自變量，用y表示函數(shù)值，這樣就定義了任意角的三角函數(shù)y sin x和y cosx注意：(1) sinx不是sin與x的乘積，而是一個比值；三角函數(shù)的記號是一個整體， 離開自變量的sin、cos是沒有意義的。(2)根據(jù)相似三角形

10、的知識，對于確定的角 x ,正弦、余弦值不隨點P(x, y)的位置的改變而改變；比值只與角的終邊位置有關。2 .正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域對于正弦函數(shù)y sinx,因為 取任意實數(shù)，y恒有意義，也就是說 sinx恒有意義， 所以正弦函數(shù)的定義域是 R ；類似地，余弦函數(shù)的定義域也是 R。利用單位圓引入了任 意角的三角函數(shù)后，正弦、余弦的值域是1,1。3 .正弦、余弦函數(shù)的符號由定義可知，正弦、余弦函數(shù)在各象限內的符號，取決于角終邊與單位圓交點坐標P x,y的符號。當點P在第一、二象限時，縱坐標 y 0；當點P在第三、四象限時，縱 坐標y 0。所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的，對于第三、

11、四象限角是負的；余 弦函數(shù)值在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負的，從而完成課本的思考交流。yy cosx4 .單位圓與周期性問題5:終邊相同角的表示法有什么特點？終邊相同的角相差2兀的整數(shù)倍，那么這些角的同名三角函數(shù)值有何關系 ？活動：以一與二， 一與二， 一與 "I為例，請同學們畫圖，引導學生從角 334466終邊的關系到角之間的關系再到函數(shù)值之間的關系進行討論，然后再用三角函數(shù)的定義證明得：終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等。由此得到一組公式(公式一)：sin 2k sin k Zcos2kcos利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉化為求0到2 （或0到360 ）角的

12、三角函數(shù)值。這個公式稱為三角函數(shù)的“誘導公式一 ”。終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，說明對于任意一個角，每增加2的整數(shù)倍，其正弦、余弦函數(shù)值不變。象正弦、余弦函數(shù)這種隨自變量的變化呈周期性變化的函數(shù)叫作 周期函數(shù)。正弦、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k k Z,k 0為正弦、余弦函數(shù)的周期。 2是正弦、余弦函數(shù)的正周期中最小的一個，稱為最小正周期。一般地，對于函數(shù)f x ,若存在非零的常數(shù) T,對定義域內的任意一個 x,都有f x T f x我們就把稱為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期.f x的成立,必須對定義域內的任意一個x都成立。如f x42sin coscos5雖然有ff ,所以不是f x的周期

13、。32應用示例的正弦、余弦值。在坐標系中作 AOBAOB的終邊與單位圓的交點為(1,253所以sin = 32cos -32點評：畫終邊與單位圓，找交點，求值。例2 （1）已知角的終邊經過P (4,3），求 2sincos 的值（2）已知角的終邊經過P (4a,3a),(a0) ,(a0)求 2sincos的值解：（1）由定義5 sincos2sincos(2)若 a5a 則 sin5a 則 sin3535cos2sin cos52525點評：先求r ,再按定義求。dos c COSX例3求函數(shù)y sinx-的值域sin x cosx解：先求定義域：Q sin x 0 x的終邊不在x軸上又 Q

14、 cosx0 x的終邊不在y軸上當x是第I象限角時,0,ysin xsinx ,cosxcosx當x是第n象限角時0,ysin x sin x , cosxcosx當x是第出象限角時0,ysinxsin x , cosxcos當x是第IV象限角時0,ysinxsin x ,cosxcos點評：討論函數(shù)的性質要有“定義域優(yōu)先”的意識;三角函數(shù)的符號規(guī)律是化簡解析式求值的切入點。例4求值:sin 1380°cosllltfcos 1020osin 750o解：sin 1380o cos1110o cos 1020o sin 750osin 4 360o 60o cos 3 360o 30ocos 3 360o 60o sin 2 360o 30osin60o cos30o cos60o sin 30o1222 21四、鞏固練習1 .已知點P(3a, 4a) (a 0)在角”的終邊上，求 sin 、cos的值2 .已知角a的終邊在直線y=2x上，求a的正弦、余弦值3 .解方程：sinx sinx94 .求下列二角函數(shù)的值：(1) sin1480 10 (2) cos4五、說學小