分類討論思想在初中數(shù)學解題中的若干應用

1、分類討論思想在初中數(shù)學解題中的若干應用摘 要分類討論思想是初中數(shù)學中重要的數(shù)學思想之一。本文主要 從數(shù)與式、解方程、幾何和函數(shù)的四個方面，通過典型例題的淺析, 闡明了分類討論思想在初中數(shù)學解題中的若干應用。最后對如何提高 初中生分類討論思想應用水平提出若干建議，旨在幫助學生能夠更好 的認識和理解分類討論思想，并將分類討論思想運用到實際的解題當 中去。關鍵詞：分類討論思想；初中數(shù)學；解題能力 Abstract The thought of classified discussion is one of the important mathematical thoughts in junior m

2、iddle school mathematics. In this paper, from the four aspects of number and formula, solving equation, geometry and function, through the analysis of typical examples, the author expounds the application of classified discussion in junior high school mathematics problem-solving. Finally, some sugge

3、stions are put forward on how to improve the application level of the classified discussion ideas of junior high school students, in order to help students better understand and understand the classified discussion ideas, and apply the classified discussion ideas to the actual problem-solving. Key w

4、ords：Classified Discussion Thought； Junior Middle School Mathematics； Problem Solving Ability 目 錄 1 弓 言12分類討論思想概述23分類討論思想在初中數(shù)學解題中的 若干應用3 3.1分類討論思想在數(shù)與式的應用3 3.2分類討論思想 在解方程的應用4 3.3分類討論思想在幾何的應用6 3.4分類討論 思想在函數(shù)的應用8 4提高初中生分類討論思想應用能力的幾點 建議114.1課堂中加強數(shù)學思想的滲透12 4.2加強學生基礎知識 的學習12 4.3提高意識，增加練習量12 4.4端正學生學習態(tài)度13 5

5、結(jié) 論13致 謝15參考文獻161引言數(shù)學史不僅需要考慮到新概念和新定理，更加需要關注數(shù)學思想 方法的形成發(fā)展。1956年，前蘇聯(lián)數(shù)學家亞歷山大洛夫發(fā)表了數(shù) 學一一它的內(nèi)容，方法和意義寓意深刻的數(shù)學思想方法于淺顯的數(shù) 學知識中，曾對中學數(shù)學教學造成不小影響。美籍匈牙利數(shù)學家波利 亞在數(shù)學的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學與猜想、怎樣解題等著作中闡述了許 多數(shù)學思想方法。1969年，日本數(shù)學教育家米山國藏發(fā)表了數(shù)學 的精神、思想與方法系統(tǒng)闡述了貫穿于整個數(shù)學的一些重要數(shù)學思 想。在我國，徐利治教授曾出版近十部著作論述數(shù)學方法，如極具代 表性的數(shù)學方法論選講。南京大學鄭毓信教授于1985年出版的數(shù) 學方法論入門，推進了

6、我國數(shù)學教育工作者深入開展數(shù)學思想方法 的研究。1989年，王仲春、李元忠教授出版了數(shù)學思維與數(shù)學方 法論一書，比較系統(tǒng)的闡述了數(shù)學思維和數(shù)學思想方法。錢佩玲教 授主編的全國中小學教師繼續(xù)教育教材中學數(shù)學思想方法一書， 對中學數(shù)學思想方法進行了闡述和研究。自2021年以來，新課程改革在我國被全面推進，在初中數(shù)學的 教學里，數(shù)學思想在學生對數(shù)學基礎知識和基本技能方法的學習過程 中，逐漸顯現(xiàn)出其重要性。就如何培養(yǎng)學生加強數(shù)學思想方法的研究 和訓練成為初中數(shù)學的一大課題。正如日本數(shù)學教育家米山國藏所說: “數(shù)學的知識可以記憶一時，但數(shù)學的精神、思想和方法卻隨時隨地 發(fā)揮作用，可以使人受益終生?！彼?/p>

7、要熟練掌握教科書里的基本概 念和公式，更加需要理解數(shù)學知識背后所隱藏的思想方法。數(shù)學思想 方法如若能被學生掌握了，對于知識的獲取才能更加快捷，對于知識 的理解才能更加透徹。其中，分類討論思想作為不可或缺的方法之一， 在初中升學考試的杠桿壓力下，無法得到教師、學生良好的探究。部分教師對于初中數(shù)學中與分類討論思想有關的安排和地位認 識模糊不清，使得在講解題目中未能及時滲透該思想，也未歸納總結(jié) 分類討論思想在初中數(shù)學學習中的幾類應用。使學生遇到題目是否要 進行分類討論仍缺乏分類探討的意識，甚至有的同學產(chǎn)生思維定式， 遇到題目就直接進行分類，忽略了有時候分類討論是在具體作答過程 中隨機產(chǎn)生的。而掌握分

8、類討論思想的精髓，會用分類討論思想分析 和解決數(shù)學問題，是課標中的基本要求?；谏鲜銮闆r，探討初 中數(shù)學分類討論思想在解題中的幾類應用并提出提高初中生分類討 論思想水平的建議是一項有益處的工作。2分類討論思想概述當問題所給的對象不能統(tǒng)一研究時，就需 要對研究的對象按某個標準分類，然后對每一類別分別研究得出相應 的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答，即分類討論思想的 概念。所以，要進行分類討論即“化整為零，各個擊破，再積零為整”。在運用分類討論思想時，應遵循同一性原則、完整性原則、互斥 性原則和逐級性原則。同一性原則是指針對同一個問題，如果選擇的劃分標準不一樣那 么就會得到不同的分類情況，

9、所以需要采用統(tǒng)一的標準解決分類討論 的相關問題。例如，討論兩個集合之間的包含關系，需要對其中一個 集合是否為空集進行判斷，這就是從同一性原則出發(fā)進行分類討論。完整性原則是在分類過程中，要確?；麨榱阍俜e零為整，切不 可遺漏任何一種分類情形。例如，把三角形分為銳角三角形和鈍角三 角形，沒有考慮直角三角形，這與分類討論思想的完整性原則不符?；コ庑栽瓌t中討論的每個分支必須相互排斥，不可以有公共部分。 例如，在對一組數(shù)進行有無理數(shù)分類時，不能在不同的類別內(nèi)出現(xiàn)相 同的數(shù)，否則不光違反了題意里分類的互異性，也違背了互斥性原則。逐級性原則指每次分類都可以一次完成，遇到復雜的題目時，可 能需要進行逐級分類，

10、才能解決問題。例如，在含有參數(shù)的二次項系 數(shù)的函數(shù)中討論根的存在情況，就不僅需要對參數(shù)是否為零進行討論, 還要運用到韋達定理與根的判別式的分類情況進行作答，這便體現(xiàn)了 分類討論的逐級性原則。分類討論思想的一般類型有從數(shù)學基本概念引起的分類討論，例 如，絕對值、有理數(shù)無理數(shù)和單項式多項式等等;根據(jù)公式或函數(shù)的性質(zhì)引起的分類討論，例如，探究函數(shù)的奇偶 性和單調(diào)性等等；根據(jù)圖形位置變化引起的分類討論，例如，點與三角形、直線與 圓的位置關系，需要考慮點的坐標、直線斜率的幾種情況等等；根據(jù)參數(shù)自身變化引起的分類討論，例如，探討解方程問題時， 方程系數(shù)中的元素帶有參數(shù)，解決函數(shù)問題時，函數(shù)表達式中帶有參

11、數(shù)等等。不同類型的分類討論題目，主體利用的基本原則側(cè)重點有所不同, 只有不斷練習，分類討論思想才能自然形成、根深蒂固。3分類討論思想在初中數(shù)學解題中的若干應用 在初中數(shù)學中, 對分類討論是本著先易后難，循序漸進的原則，把分類討論思想分成 兩個層次，先分類后討論。分類討論思想的運用在基礎題和綜合題多 有體現(xiàn)。本文選取數(shù)與式、解方程、幾何和函數(shù)這四個主要方向的經(jīng) 典題進行論述，從題目立意、解題過程、注意知識點等進行分類討論 思想的應用分析。3.1 分類討論思想在數(shù)與式的應用在中考中，考查數(shù)與式分類 的題目一般以選擇題或填空題出現(xiàn)，雖然所占分值不高，考察內(nèi)容也 相對簡單。但其在初中數(shù)學的學習中也是不

12、容忽視。在初中階段，這 是學生第一次接觸分類討論的內(nèi)容，學生所掌握的分類技巧或多或少 會影響到后續(xù)的學習，應當引起教師們在教學中的重視。下面，通過 例題來展示分類討論思想在數(shù)與式中的具體應用，旨在提高學生分類 討論意識和能力。例1試比較與的大小。解析：初中有許多種比較大小的方法，常用的一種方法是作差法。 對兩個數(shù)量作減法，通過判斷差值的大小從而來判斷原數(shù)量的大小。 如即；即；即。本題因為含參，最后需再通過對參數(shù)的談論來確定結(jié)果。解：對與作差，即；對進行分類討論：當時，即,即:當時，即,即:當時，即,即。答：當時，；當時，；當時，。注意：這是初中數(shù)與式里運用分類討論的經(jīng)典題型，確定完參數(shù) 的大小

13、后，來判斷原來兩個元素的大小。例1是由參數(shù)自身變化所引 起的分類討論，對含有參數(shù)的兩個式子作差化簡后，與0的關系進行 討論，滿足分類討論思想的同一性原則；考慮到參數(shù)的所有情況后，如若有不滿足條件的取值，略去，體現(xiàn)了分類討論思想的同一性和完整性原則。除此之外，在分類討論過 程中格式采用了 “當時，；當時，；”，規(guī)范了答題過程，使分類過程一目了然。例2當時，化簡。解析：本題如何化簡取決于絕對值符號內(nèi)式子的大小，式子大于 等于零直接去絕對值，式子小于零添加負號。據(jù)此原則，通過對參數(shù) 大小的分類進行化簡。解：因為，要化簡，需要對絕對值符號內(nèi)式子的正負進行判斷。當，時，；當，時，；當，時，；當，時，；所

14、以當，時，；當，時，；當，時，;當，時，。注意：例2是含參數(shù)的絕對值的化簡，需要判斷絕對值符號內(nèi)式 子的正負性。參數(shù)需要與T進行比較分類，參數(shù)需要與1進行比較 分類，需要進行二級分類討論，得出參數(shù)和最終的取值范圍，從而確 定正負進行化簡。這符合分類討論思想的逐級性原則。在分類時，等 于-1,等于1的情況也包含，這體現(xiàn)分類討論思想的完整性原則在分 類討論過程中，采用分類討論的并列格式使分類情況清晰明了、層次 分明，有助于學生理解答題步驟與詳細的解題過程。3.2 分類討論思想在解方程的應用 在初中數(shù)學中，方程考察分 類討論思想的主要方面是含參方程的求解。方程的系數(shù)含參，不同此 項的系數(shù)含參結(jié)果不同

15、，先分類再運用根的判別式進行求解、討論。 學習此類問題的解題有助于促進學生對分類討論思想的進一步認識, 增強學生的分析能力和思維能力。下面，通過解方程問題來具體說明 分類討論思想在解方程中如何具體的進行運用。例3存在關于的方程，判斷該方程根的情況。若該方程與一元二次方程有一個相同的解，一元二次方程有實數(shù) 根，且h為符合條件的最大整數(shù)，求此時的取值。解析：因為方程的二次項系數(shù)含參，所以先分類該方程是否為一 元二次方程，根據(jù)根的判別式進行解析；根據(jù)題意求解h的值，從而解出一元二次方程，又因為兩方程有 同解，從而對的取值進行分類討論，得出的取值。解：當時，即時，方程為一元一次方程，只有一個實數(shù)根。當

16、時，即時，方程為一元二次方程，此時當時，即時，方程有 兩個不相等的實數(shù)根；當時，即或時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當即或時，方程沒有實數(shù)根；所以當時，方程只有一個實數(shù)根；當且時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當且或時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當且或時，方程沒有實數(shù)根。由于的一元二次方程有實數(shù)根，所以根據(jù)根的判別式可得：,解得，又因為是符合條件的最大整數(shù)，所以；將代入得，解得，當兩個方程相同的根為3時，將代入，解 得，符合；當兩個方程相同的根為2時，將代入，解得，符合。注意：這是屬于方程根的判別式常規(guī)的考題，對于基礎知識判別 條件的記憶必須準確。二次項系數(shù)含有參數(shù)從而分類為一元一次方程 還是一元二次方

17、程；通過對是大于、等于或小于零的情況分類，進而討論根的情況, 這符合分類討論思想的逐級性原則和同一性原則。在作答過程中，做 到不重復不遺漏、條理清晰、層次清楚，符合分類討論思想的完整性 原則。3.3 分類討論思想在幾何的應用在初中數(shù)學的幾何里，三角形 是最常考查的圖形，會運用到分類討論思想方法在具體題目中作答的 有三角形某角度為頂角或底角、某長度為具體哪條邊長的討論；有為高分值的解答題，至少為中難題程度，一般為探究性問題, 如在規(guī)則圖形內(nèi)存在的比值或線段之間的數(shù)量關系。在幾何內(nèi)的分類 討論常需要和方程相結(jié)合，設立方程解出答案。下面，通過幾道典型 例題來具體闡述分類討論思想在幾何中此類問題的運用

18、，旨在提高學 生的分析能力和邏輯思維能力，增強學生解題中的分類討論意識。例4在三角形中，為邊上的高，且，求。解析：在本題中，三角形為銳角、直角還是鈍角三角形并不確定， 需根據(jù)不同情況進行分類，看到要聯(lián)想到運用相似三角形進行解題。解：當三角形的高在三角形內(nèi)部時，因為，所以，所以，在 中，所以；當三角形的高在三角形外部時，因為，所以，所以，在中， 因為三角形外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，所以。即當三角形的高在三角形內(nèi)部時，；當三角形的高在三角形外部時，。注意：例4是由角度所引起的討論，高在三角形內(nèi)部，此三角形 只可能為銳角或直角三角形，高在三角形外部，此三角形只可能為鈍 角三角形。這類問題是由

19、三角形基本定義所引起的分類討論，從同一 性原則出發(fā)考慮高在內(nèi)部與外部的情況，同時也參照分類討論思想的 完整性原則，進行分類討論。例5已知三角形HCG周長為32厘米，其中一邊邊長是另一邊 邊長的2倍，長多少厘米？解析：三角形共三條邊，其中兩邊相等， 有一邊邊長是另一邊邊長的兩倍，因為不知道字母所對應的邊長，所 以在解題時就會有兩種情況，或，需要分類討論。三角形是初中幾何 中最?？疾榈膱D形，不同三角形的相關性質(zhì)有所差異。解：設，當時，據(jù)題意，列，解得厘米，則厘米；當時，據(jù)題意，列，解得厘米，則厘米；檢驗：當時，三邊長為12.8厘米，12.8厘米，6.4厘米，任意 兩邊之和大于第三邊，可組成三角形；

20、當時，三邊長為厘米，厘米，厘米，任意兩邊之和不大于第三邊， 不可組成三角形，舍去。所以長12.8厘米。注意：在初中數(shù)學的幾何中，三角形是最?？疾榈膱D形，例4和 例5都是對三角形進行分類討論，但例5需要用到由邊長變化所引起 的分類討論，即有一邊邊長是另一邊邊長的兩倍，在解題時就會有兩 種情況，或需分類討論，體現(xiàn)了分類討論思想的完整性原則。本題還 需要注意的是最后的檢驗步臊，三角形兩邊之和要大于第三邊。據(jù)此 來檢驗答案是否相符。同理的角度問題，三角形內(nèi)角和等于一百八十 度，這也是最終檢驗的標準之一。在例5的分類討論過程中運用并列 格式“當， 時，當時，；”，完善了作答過程，使分類情況一目了然，便于

21、理解。3.4 分類討論思想在函數(shù)的應用初中數(shù)學中函數(shù)知識起著啟蒙 的作用，在中考中所占比重也是很大的，在客觀題和主觀題上均有考 查。其中導數(shù)在研究函數(shù)問題上起著重大作用，分類討論的思想也在 其中得到廣泛的應用。例如，求解函數(shù)的最值、函數(shù)的解析式、函數(shù) 的性質(zhì)以及與其它函數(shù)或幾何有關的綜合問題等等。通過分析典型例 題，提高學生的分類能力和思維能力，增強學生在函數(shù)題目中運用分 類討論的意識。下面，通過列舉求解函數(shù)的值、函數(shù)與幾何相結(jié)合的 情況來具體說明。例6求函數(shù)的圖像與x軸的交點。解析：此函數(shù)的二次項系數(shù)含有參數(shù)，所以無法確定它是二次函 數(shù)還是一次函數(shù)，需要對進行分類討論。再根據(jù)題意解題，與x軸

22、的 交點其y值等于零，分類后即可解析。解：因為二次項系數(shù)含有參數(shù)，所以當時，即時，此時函數(shù)為 的一次函數(shù)，故將代入得，即函數(shù)與x軸的交點只有一個為當時， 即，此時函數(shù)為二次函數(shù)，當時，二次函數(shù)與x軸的交點只有 一個，將代入函數(shù)得，解得，從而交點的坐標為當時，二次函數(shù) 與x軸的交點有兩個，將代入得，從而解得，即兩個交點的坐標分別 為：，綜上所述，當或時，函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點；當且時，函數(shù)圖像與x軸有兩個不同的交點：，。注意：函數(shù)的表達式含參數(shù)，所以需要對其進行分類討論，這是 根據(jù)函數(shù)自身的性質(zhì)引起的分類討論。例題中首先對二次項系數(shù)的分 類討論，是否為零考慮是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，及使二次

23、函數(shù)的是 否為零體現(xiàn)了分類討論思想的完整性原則。根據(jù)參數(shù)的討論情況，可 以符合題意情況整合在一起，使答案層次更加清晰。例7直線與x軸、y軸分別交于點M,點N,如果點P在坐標軸 上，以點P為圓心，為半徑的圓與直線相切，求點P的坐標。解析：本題是一次函數(shù)與圓的相切問題，圓心可動，需要分類討 論，可分類兩大類：在x軸上或在y軸上；四小類：x軸上在直線左側(cè)或右側(cè)，y軸上在直線上方或下方。解：當點在y軸上，并且在N點的下方時，設圓與直線相切于點 A,連接，則。所以，因為，所以，所以。在中，所以；又因為，所以所以點的坐標為。當點在X軸上，并且在M點左側(cè)時，同理可得點的坐標為。當點在x軸上，并且在M點右側(cè)時

24、，設圓與直線相切于點B,連 接，則；所以又因為所以所以所以點坐標為；當點在y軸上，并且在N點的上方時，同理可得，所以所以點 坐標為綜上P點坐標為，。注意：函數(shù)與圓的綜合題，首先對于函數(shù)與圓的基本性質(zhì)需認真 把握，常涉及的是位置關系問題，相交、相切、相離等，找到分類的 依據(jù)后需細致且勿遺漏。解決此類問題重要的是把握標準，正確分類。 本題除了是在x軸上或y軸上進行討論，在后續(xù)更具體分為左右側(cè)、 上下方，這滿足分類討論思想的逐級性原則。在作答過程中，做到不 重復不遺漏、條理清晰、層次清楚。在逐級分類討論結(jié)束后，根據(jù)討 論情況，將整合在一起，使其更加簡潔明了。在分類討論過程中采用 了并列格式進行作答，

25、規(guī)范作答過程，劃分了逐級分類的討論情況, 一目了然，有助于學生理解兩個分類的具體討論情況。4提高初中生分類討論思想應用能力的幾點建議 通過對初中 數(shù)學教材的簡要分析，得到在初中數(shù)學學習中需要經(jīng)常用到分類討論 思想，但初中生在解答數(shù)學題中的分類討論意識不足，即便有分類的 意識，仍然無法正確的進行討論，缺乏分類討論的準確性。這就需要 教師們在平常的教學工作中，對分類討論思想在初中課程安排中有更 加清晰的認識。為此提出以下幾點建議：4.1 課堂中加強數(shù)學思想的滲透 教師除了要把握好對基礎知識 和基本技能的教學，更應該注意數(shù)學思想在課堂中的滲透。例如，數(shù) 與式的知識板塊中，對絕對值問題、含參數(shù)問題需要

26、進行分類討論的 知識點進行點撥，讓學生在課堂上以及課后的學習上有分類討論思想 的意識，而不僅僅是強調(diào)課堂上知識內(nèi)容本身的學習，由于這塊知識 內(nèi)容在中考題中大多以選擇和填空的形式出現(xiàn)，教師們可以根據(jù)考查 形式更有針對性的對分類討論思想在集合內(nèi)容中進行滲透。教師在教 學中，應適當提醒學生在作答過程中考慮分類的情況，增強學生分類 討論的意識。因為數(shù)與式模塊是初中數(shù)學中首先用到分類討論思想的, 對后續(xù)的學習會產(chǎn)生影響，應得到教師的重視。另外，由于函數(shù)自身 的性質(zhì)引起分類討論，這就使得教師們在講解函數(shù)知識模塊中要加強 分類討論意識的點撥，提高學生的思維能力和解題能力。教師在講解 到這類題型時，可以引導學

27、生進行思考，通過學生間的討論情況以及 課堂上的交流，對此類問題及時進行總結(jié)歸納，在課堂中進行滲透， 從而提高學生分類討論能力，增強學生數(shù)學素養(yǎng)。4.2 加強學生基礎知識的學習對需要進行分類討論的題目開展 分類討論是無法一蹴而就的，學生在日常的學習中應當注意基礎知識 的學習，穩(wěn)扎穩(wěn)打，才能增強自身的數(shù)學知識能力。初中的數(shù)學越來 越注重抽象思維能力的培養(yǎng)，這就需要學生認真對待數(shù)學基礎知識的 學習，從最開始就學好數(shù)學的基本內(nèi)容。學生不僅要掌握數(shù)學思想在 題目中的具體運用，也要善于學習與鞏固基礎知識，在學習過程中， 學會歸納整理初中數(shù)學中重要的定義、定理和公式，利用課余時間消 化好這些數(shù)學的基礎知識，

28、以更好的狀態(tài)備戰(zhàn)中考數(shù)學。4.3 提高意識，增加練習量通過對分類討論思想在初中數(shù)學解 題中的若干應用的內(nèi)容討論，可以發(fā)現(xiàn)在初中數(shù)學中很多知識模塊都 要涉及到分類討論思想，學生在解題過程中，缺乏分類討論意識，容 易造成答案遺漏或錯誤。想要更好的應對分類討論的題目，就需要加 大對相關的例題的訓練，量變是質(zhì)變的前提，質(zhì)變是量變的結(jié)果。在 解題過程中發(fā)現(xiàn)自己的不足，提高自己的分析能力和解題能力。例如, 在函數(shù)的考查中，有一種很明顯的情況需要進行分類討論，遇到形如 的情況，對于二次項系數(shù)是參數(shù)，需要考慮參數(shù)是否為零的情形，這 時候就有一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種不同的函數(shù)需要進行討論，如果直 接忽略掉參數(shù)為零

29、的情形，這樣的分類則不滿足分類討論的完整性原 則，也無法得出最終正確的答案。所以，學生在日常學習中，遇到含 有參數(shù)的題目，在腦袋里應該考慮到該題是否需要進行分類討論，提 高分類討論思想在解答題目時具體運用的意識，并且適當?shù)脑黾釉擃?型題目的訓練量，做到對系數(shù)的參數(shù)可以層次分明的展開討論，熟練 的運用函數(shù)關于根的問題的求解方法。像這類的題目，學生起初無法 很熟練并正確的作答，但可以通過增加該類題目的訓練，慢慢熟悉這 類題目分類討論的技巧與步躲，做到熟能生巧，真正掌握分類討論思 想在這類數(shù)學題中的運用方法。4.4 端正學生學習態(tài)度在學習過程中，只有先有正確的學習態(tài) 度，才能夠更大的發(fā)揮學習的作用。對分類討論中的疑問應與同學積 極探討或向老師尋求幫助，及時對分類討論這類的題型進行歸納總結(jié), 收獲不同的心得體會。學生在學習過程中，學生可以對分類討論思想 在幾何、函數(shù)、解方程等方面的應用進行歸納總結(jié)，避免在下次遇到 該類題目時仍不知所措，或是再犯下相同的錯誤。由于初中數(shù)學知識 點較多，難度也有所提