分類(lèi)轉(zhuǎn)化分散難點(diǎn)各個(gè)擊破(特級(jí)教師佘維平8

1、分類(lèi)轉(zhuǎn)化 分散難點(diǎn) 各個(gè)擊破分類(lèi)討論的思想方法一、方法整合在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類(lèi)，并逐類(lèi)求解，然后綜合得解，這就是分類(lèi)討論法。分類(lèi)討論是一種邏輯的方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想和解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法。有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試卷中占有重要的位置。1. 需要分類(lèi)討論的情形主要有以下幾個(gè)方面：?jiǎn)栴}所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類(lèi)進(jìn)行定義的。如 |a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。 問(wèn)題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件

2、限制，或者是分類(lèi)給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q = 1和qw 1兩種情況。解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a= 0和 a<0 三種情況討論。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過(guò)分類(lèi)討論，分類(lèi)解決，以保證其完整性，使之具有確定性。2. 分類(lèi)討論要遵循的原則是：分類(lèi)的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。3. 分類(lèi)討論問(wèn)題的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正

3、確進(jìn)行合理分類(lèi)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類(lèi)互斥(沒(méi)有重復(fù))；再對(duì)所分類(lèi)逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。二 . 典例精析例 1.設(shè) 0<x<1, a>0 且 awl,比較 |log a (1 -x)| 與 110g a (1 +x)| 的大小。(一道經(jīng)典高考題)思維啟動(dòng)點(diǎn)： 此題中含有絕對(duì)值，去絕對(duì)值可能需要分類(lèi)處理，對(duì)數(shù)的底數(shù)是字母，比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a 有關(guān)，所以對(duì)底數(shù)a 分兩類(lèi)情況進(jìn)行討論，如果既要對(duì)絕對(duì)值、又要對(duì)底數(shù)a 進(jìn)行雙重分類(lèi)討論，勢(shì)必麻煩，考慮到 x 的范圍已經(jīng)確定，我們可以在對(duì)a 的范圍進(jìn)

4、行分類(lèi)時(shí)同時(shí)就考慮去絕對(duì)值。解：-,1 0<x<10<1 x<1 , 1+x>1當(dāng) 0<a<1 時(shí)，log a (1 - x)>0 , log a (1 +x)<0 ,所以 110g a(1x)| |10g a (1 + x)| = 10g a (1 x)一10g a (1 + x) = 10g a(1 x2 )>0。當(dāng) a>1 時(shí)，log a (1 x)<0 , log a (1 + x)>0 ,所以 110g a (1 X)| 一 |log a (1 + X)| = log a (1 X)-10g a (1 +X

5、)=- log a(1 -X2)>0 ；由、可知，|log a(1X)|>|log a (1 +x)| 。反思提高：1 .本題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù) y=log aX的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng) a>1時(shí)其是增函數(shù)，當(dāng) 0<a<1 時(shí)其是減函數(shù)。去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號(hào)判斷，也用到函數(shù)的單 調(diào)性；2 .我們既要善于分類(lèi)(有時(shí)還必須會(huì)主動(dòng)地去進(jìn)行分類(lèi))，又要在不少問(wèn)題上學(xué)會(huì)避免分類(lèi)，在此題 上我們就巧妙避開(kāi)了對(duì)絕對(duì)值去除的分類(lèi)討論。例2.已知a >0,函數(shù)F (x) = aX - x a .若F (x)在(0,-hc)上有最大值，求

6、a的取值范圍.分析與簡(jiǎn)解：去掉絕對(duì)值得(a-1)x + a xwa，)F(x)= 一一，a 1)x-a x (0,a)由a >0, a +1 >0知F (x)在(0,a)上單增。a -1有正有負(fù)，因此應(yīng) 以1為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)a > 1時(shí)，F(xiàn) (x)在(0, F 上單增，無(wú)最大值。a =1時(shí)，F(xiàn) (x)的最大值=F (a) = 1。0va<1時(shí)，F(xiàn)(x)在(0,a)單調(diào)遞增，在(a,)上單調(diào)遞減.1- F (x)的最大值=F (a) = a2.綜上可知，當(dāng)aw (0,1時(shí)，F(xiàn)(x)在(0,+“)上有最大值.反思提煉：確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵，不重不漏是要點(diǎn)！例3.設(shè)函數(shù)f(x) =a

7、x22x+2,對(duì)于滿(mǎn)足1<x<4的一切x值都有f(x)>0 ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。思維啟動(dòng)點(diǎn)：含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、 最小值等值域問(wèn)題，需要先對(duì)開(kāi)口方向討論，再對(duì)其拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸 的位置與閉區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，最后綜合得解。解：當(dāng) a>0 時(shí)，f(x) = a (x ) 2 + 2aa-1 11f (-)=2 - >0 aa1 af (1) = a -2 +2>01- >4或a、f(4) = 16a -8+2>0a > 1 或 1<a<1 或() 2ff (1) = a 2 +2> 0當(dāng)a<

8、0時(shí)，«,解得。；J(4)=16a -8 +2>0當(dāng) a=0 時(shí)，f(x) =2x+2, f(1)=0, f(4) =-6,.不合題意1由上而得，實(shí)數(shù) a的取值范圍是a>1 。2反思提煉：本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開(kāi)口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a>0、a<0、a=0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a>0時(shí)將對(duì)稱(chēng)軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。(x 4a)(x -6a)1例4.解不等式()>0 (a為常數(shù)，aw)2a 12思維啟動(dòng)點(diǎn)：含參數(shù)的不等式

9、，參數(shù) a決定了 2a+1的符號(hào)和兩根4a、6a的大小，故對(duì)參數(shù) a分四種情況a>0、a=0、 <a<0> a<1分別加以討論。22解：= 2a+1>0 時(shí)，a> ; 一 4a<6a 時(shí)，a>0 。2所以分以下四種情況討論：當(dāng) a>0 時(shí)，(x+4a)(x 6a)>0 ,解得：x<4a或 x>6a;當(dāng)a=0時(shí)，x 2>0,解得：xw0；1當(dāng)一一<a<0 時(shí)，(x + 4a)(x 6a)>0 ,解得：x<6a 或 x>4a;2當(dāng) a>；時(shí)，(x +4a)(x 6a)<0

10、,解得：6a<x< 4a。綜上所述，當(dāng) a>0時(shí)，x< 4a或x>6a;當(dāng)a= 0時(shí)，xw0；當(dāng)<a<0時(shí)，x<6a或x> 4a;當(dāng)a>21 時(shí)，6a<x<-4a 。2反思提煉：一道簡(jiǎn)單不等式一旦將一個(gè)數(shù)字系數(shù)改為字母參數(shù)，可能就會(huì)變得很復(fù)雜，這也是高考中參考不衰的問(wèn)題。本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問(wèn)題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類(lèi)討論。一些問(wèn)題必須對(duì)它們進(jìn)行分類(lèi)才能得到解決，而一些問(wèn)題的解決本無(wú)須對(duì)它們分類(lèi)，但這樣處理起 來(lái)卻比較困難，此時(shí)我們可以人

11、為地將它劃分類(lèi)別，把整體分為若干局部，分散難點(diǎn)，然后各個(gè)擊破 最終求得問(wèn)題的整體解決。這是一種具有哲學(xué)意義的策略思想。從以下例子可看出，對(duì)分類(lèi)思想的這一 種主動(dòng)應(yīng)用是必要的且是行之有效的。例5對(duì)實(shí)函數(shù)f(x) = x 6- x5 + x4- x3+ x2 x +1 ,求證：f(x)的值恒為正數(shù)。x在實(shí)數(shù)范思維啟動(dòng)點(diǎn)：將f(x)的表達(dá)式分解因式，雖可證得結(jié)論但較難，分析可發(fā)現(xiàn)，若將變量圍內(nèi)適當(dāng)分類(lèi)，則問(wèn)題容易解決。證明：當(dāng)x W 0時(shí)x5 - x3- x > 0，.= f(x) > 1 恒成立;當(dāng)0 < x <1時(shí)f(x) = x 6 + ( x4 水5 ) + ( x2

12、-x3 ) + ( x -1)- x4 > x5 , x2 > x3 , 1> x1- f(x) > 0 成立；當(dāng)x = 1時(shí)，f(x) = 1 > 0成立;當(dāng)x >1時(shí)f(x) = ( x 6 - x5 ) + ( x 4 - x3 ) + ( x 2 - x ) + 1x6 > x5 , x4 > x3x2 > x1. f(x) > 1 成立綜上可知，f(x) > 0成立。反思提煉：此題通過(guò)主動(dòng)分類(lèi)，分散了難點(diǎn)，在各類(lèi)下問(wèn)題的解決變得很簡(jiǎn)單，是很值得我們學(xué)習(xí) 的一種好方法。例6 一個(gè)定義在有理數(shù)集合Q上的函數(shù)f(x),對(duì)一切

13、x , y C Q都有f(x+y尸f(x)+f(y). 求證：對(duì)任 意 x C Q , f(x) = x f(x).(此題適合高二年級(jí)以上同學(xué)學(xué)習(xí))思維啟動(dòng)點(diǎn)；直接求證很難，考慮到當(dāng)m ,n為互質(zhì)整數(shù)(m豐0 )時(shí)，n/m C Q ,故可將x試分為n ( n CN )、0與-n 、1/n ( m CN )及n/m幾類(lèi)，從而分散難點(diǎn)、降低難度，分別求解。證明：第一步，證明結(jié)論對(duì)一切x N成立當(dāng)x = 1時(shí)，f(x) =1f(1)成立；設(shè)x = k ( k C N )時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng) x = k+1 時(shí)，f(k+1)=f(k)+f(1)=kf(1)+f(1)結(jié)論也成立；第二步，證明結(jié)論對(duì)零和負(fù)整數(shù)

14、成立. f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) ,f(0)=0f(1)又 f(n)+f(-n)=fn+(-n)=f(0)=0 ,1. f(-n)=-f(n)=-nf(1),結(jié)論成立；第三步，證明當(dāng) x =1/n (n C N )時(shí)結(jié)論成立f(1)=f( + +- + )=f( )+f(工)+f( - )=n f(-)n n n n nn nn 個(gè)yf( 1 ) = ( 1 ) fn n同時(shí)由 f(1) + f( -1) = f(0)有 f(- 1 )=(- - ) f n nn n結(jié)論成立；第四步，證明結(jié)論對(duì)一切有理數(shù)成立n設(shè)m CN n CZ,且nw0,對(duì)任意有理數(shù) 一mf( )=f(

15、1 +- + -)=mf( 1)= f(1)mn n n n m即結(jié)論對(duì)一切有理數(shù)成立。反思提煉此題的求解從對(duì)變量的巧妙劃分到各個(gè)局部的解決充滿(mǎn)了數(shù)學(xué)的策略和美。尤其是在這樣4 / 8的劃分下，一個(gè)變量是非自然數(shù)的命題居然主要由數(shù)學(xué)歸納法獲得解決！這是通過(guò)解決此問(wèn)題而得到的另一收獲。例7平面內(nèi)k個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）兩兩相連得若干條線(xiàn)段，若要保證其中至少一條線(xiàn) 段的中點(diǎn)也是整點(diǎn)，k的最小值是多少？解由中點(diǎn)坐標(biāo)公式 X =x1-x2知：只有當(dāng)Xi、X2同奇偶性時(shí)，x才會(huì)是整數(shù)。于是可對(duì)整點(diǎn)進(jìn)行2以下分類(lèi)：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶），由抽屜原理知，當(dāng)有五個(gè)或五個(gè)以上整點(diǎn)

16、時(shí)，至少應(yīng)有兩個(gè)點(diǎn)屬于上述四類(lèi)中的一類(lèi)，即此兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)同是奇數(shù)或偶數(shù)。于是結(jié)論成立。所以，k的最小值是5 。三.歸納總結(jié)1 分類(lèi)討論思想是指依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同的種類(lèi) ，并對(duì)劃分的每一類(lèi)分別進(jìn)行研究和求解的思想2 分類(lèi)討論思想體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想和歸類(lèi)整理的方法3 與分類(lèi)討論思想有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人思維的條理性和概括性 .4 .分類(lèi)處理時(shí)要注意：明確分類(lèi)討論的對(duì)象及其全體范圍。 確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類(lèi)，即標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不重不漏，分類(lèi)互斥。再對(duì)每一類(lèi)逐級(jí)討論 ，獲取階段性 結(jié)果。歸納小結(jié)，得出綜合結(jié)論.四

17、課后精練鞏固提高一.選擇與填空題1 .集合 A= x|x| <4,x CR, B=x|x -3| <a, xCR,若 A= B,那么 a 的范圍是。A. 0 <a<1 B. a < 1 C. a<1 D. 0<a<12 .若 a>0 且 awi, p= log a (a 3 + a+1) , q = log a (a 2 + a+1),則 p、q 的大小關(guān)系是 A. p = q B. p<q C. p>q D.當(dāng) a>1 時(shí)，p>q；當(dāng) 0<a<1 時(shí)，p<qsin xcosxtgx|ctgx| ,

18、3 .函數(shù)y = + + -g + 的值域是。|sin x|cosx|tgx|ctgxnn八冗.一.cos 0 -sin 0 3/士、,4 .右e e(0, )，則lim nn的值為。2 n-00 cos 8 + sin 0A. 1 或1 B. 0 或1 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或1一， 1 ,一一5.函數(shù)y = x+ 的值域是。x1 . 2,+ 8) B.(- oo,2 U2,+ 8) C.(- oo,+ oo)D. -2,26 .正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為2和4的矩形，則它的體積為 。A. 8 33B. 4 <3 C. £ 73D. 4 V3 或-V399

19、9997 .過(guò)點(diǎn)P（2,3）,且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)方程是5 / 8A. 3x -2y = 0 B. x+y-5=0 C. 3x 2y = 0 或 x+y 5 = 0 D. 不能確定簡(jiǎn)解1小題：對(duì)參數(shù) a分a>0、a=0、a<0三種情況討論，選 B;2小題：對(duì)底數(shù) a分a>1、0<a<1兩種情況討論，選 C;3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案 4,-2,0;4小題：分0= 、0< 0 < 、一 < 0 < 三種情況，選 D;5小題：分x>0、x<0兩種情況，選 B;6小題：分側(cè)面矩形長(zhǎng)、寬分別為 2和4、或

20、4和2兩種情況，選 D;7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選 G 二解答題1 .在xoy平面上給定曲線(xiàn)y 2 = 2x,設(shè)點(diǎn) A(a,0) , a R,曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值為f(a),求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。(本題適合高二年級(jí)以上學(xué)生)2 .已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，AA B含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)：.CUAU B且C中含有3個(gè)元素；.CHAW。3 .設(shè)a n是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和。 .證明： lg Sn ；g Sn也<lgS n41 ;.是否存在常數(shù)c>0,使得lg(Sn _c)；lg(Sn攵_c)_lg(S_

21、c)成立？并證明結(jié)論。(本題適合高 二年級(jí)以上學(xué)生)x>0下二解答：1 .分析：求兩點(diǎn)間距離的最小值問(wèn)題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件的最小值問(wèn)題，而引起對(duì)參數(shù)a的取值討論。解：設(shè)M(x,y)為曲線(xiàn)y2 = 2x上任意一點(diǎn)，則|MA| 2 = (x a) 2 + y2 = (x a) 2 + 2x = x2 2(a 1)x + a2 = x (a - 1) 2 + (2a 1)由于y2 = 2x限定x>0,所以分以下情況討論：當(dāng) a1>0 時(shí)，x=a1 取最小值，即 |MA 2 min =2a1;當(dāng)a1<0時(shí)，x=0取最小彳直，即|MA2min=a2;

22、綜上所述，有f(a)=Jal（a <1 時(shí)）反思：本題解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題我們十分熟悉，但含參數(shù)a,以及還有隱含條件x>0的限制，所以要從中找出正確的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，從而得到d=f(a)的函數(shù)2 .分析：由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類(lèi)：屬于 A元素；不屬于 A而屬于B的元素。并由含A中元素的個(gè)數(shù)1、2、3,而將取法分三種。解：C C2 + C2 - C； + C3, - C0 = 1084128128128反思：本題是排列組合中“包含與排除”的基本問(wèn)題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類(lèi)，達(dá)到分 類(lèi)完整及每類(lèi)互斥的要求，還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即 C；0c3 = 1084。3 .分析：要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列 前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分 q= 1和qw 1兩種情況。解：設(shè)a n的公比q,則a1 &g