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1、高等數(shù)學(xué)教研室高等數(shù)學(xué)教研室 物理樓物理樓E1223主主 講講宋宋 枚枚 枚枚一、三重積分的概念 二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算三重積分 熟練掌握直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法。熟練掌握直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法。 熟練掌握交換積分次序確定積分限的方法與步驟。熟練掌握交換積分次序確定積分限的方法與步驟。 熟練掌握柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分。熟練掌握柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分。一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類(lèi)似二重積分解決問(wèn)題的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻

2、的內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為定義定義. 設(shè)設(shè),),(,),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(稱(chēng)為體積元素, vd.dddzyx若對(duì) 作任意分割: 任意取點(diǎn)任意取點(diǎn)則稱(chēng)此極限為函數(shù)在 上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv以下“乘中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得vzyxf

3、d),(Vf),(V 為 的體積, 積和式” 極限記作記作二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過(guò)計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 的密度函數(shù) , 方法:zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),

4、(),(),(21該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz 微元線(xiàn)密度記作記作yxddOab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為zD以該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(bazDyxzyxfdd),(zDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作記作xyzO投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域

5、:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí), 因?yàn)?,(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均為為非負(fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.2),(),(zyxfzyxf小結(jié)小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法三重積分的計(jì)算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”

6、方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(zDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇. z =0y = 0 x =00y xx0z y1121Dxy121 yxxzyxx21021 010ddd481 .x + 2y + z =1Dxy yxDzxyxxy210dddI =x+2y =1其中 為三個(gè)坐標(biāo)例例1. 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分,ddd

7、zyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .解解: :yxz210)1(021xy10 x面及平面y2=xxyzo.例例2. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。與與平平面面拋拋物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)算計(jì)算 zx2 2 2 y2=xxyzo.例例2. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。與與平平面面拋拋物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)算計(jì)算z = 0y=0 2 2 xyzo zzyxfyxIxxd),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy y2=x.D例例

8、2. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。與與平平面面拋拋物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計(jì)算計(jì)算xyz2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,),(3RzyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱(chēng)為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面z),(zyxM)0 ,(yxOxz y0 d ddz平面z 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為及及 +d 的園柱面；的園柱面； 平面平面 z及及 z+dz；柱面坐標(biāo)下的

9、體積元素柱面坐標(biāo)下的體積元素xz y0 drrrddz底面積底面積 ：r drdr drddz平面平面z+dz. 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為及及 +d 的園柱面；的園柱面； 平面平面 z及及 z+dz；柱面坐標(biāo)下的體積元素柱面坐標(biāo)下的體積元素xz y0 d ddz底面積底面積 ：dddddz ),sin,cos(zf dddzdxdydzdV =dddz .zyxzyxfddd ),( dV 柱面坐標(biāo)下的體積元素柱面坐標(biāo)下的體積元素將三重積分化為三次積分將三重積分化為三次積分zyxzIddd 0 , 1 :222 zzyx1z

10、zyxIxyDyxddd 4 . Dxy:221yxz ：下下底底122 yx：上上頂頂z = 0用哪種坐標(biāo)？用哪種坐標(biāo)？.柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)0 xz yDxyzzrrrddd2101020 I =1例例3.計(jì)算計(jì)算zyxyxIddd1122 所所圍圍錐錐面面1 , :222 zzyx0 xz y1DxyzrrrIDrd11dd1 2 zrrrrdd1d1 1 0 22 0 )222(ln . Dxy:rz 1 rz = 1錐面化為錐面化為: r = z1.：下下底底：上上頂頂 102)d111(2rrr.例例4.計(jì)算計(jì)算 當(dāng)被積函數(shù)是當(dāng)被積函數(shù)是),(),(),(22xyzfxyzfyxzf

11、積分域積分域由圓柱面由圓柱面 (或一部分或一部分)、錐面、拋物面、錐面、拋物面用用所圍成的所圍成的.柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo) 計(jì)算三重積分較方便計(jì)算三重積分較方便.,),(3RzyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱(chēng)為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系, zOM),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz , rOM 令 SrM yz x0r =常數(shù)常數(shù): =常數(shù)常數(shù):球面球面S動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r,) r =常數(shù)常數(shù): =常數(shù)常數(shù):S球面球面半平面半平面P動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r,)M yz x0 =常數(shù)常數(shù):錐面錐面C. r drdrsinxz y0圓錐面圓錐面rd球面r圓錐面圓錐面+d球面球

12、面r+d r元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：drsind球面坐標(biāo)下的體積元素球面坐標(biāo)下的體積元素半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d r drdxz y0 ,sinsin,cossin( rrf drd元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：rsind球面坐標(biāo)下的體積元素球面坐標(biāo)下的體積元素半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drddsin drddr 2rcos )dVdV =例例4.ddddvV

13、sin2解：積。的錐面所圍成的立體體角為與半頂求球面)0(222zazyx20)1(：投影找向 XOY0)2(：投影找向 YOZaaO0020:0)3(：找點(diǎn)引直線(xiàn)穿越區(qū)域從)cos1(32sin302020adddIa故：當(dāng)積分區(qū)域是球形域當(dāng)積分區(qū)域是球形域或上半部是球面下半部是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面或上半部是球面下半部是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面, ,被積函數(shù)具有被積函數(shù)具有的形式時(shí)的形式時(shí), , 用用球面坐標(biāo)球面坐標(biāo) 計(jì)算三重積分較簡(jiǎn)便計(jì)算三重積分較簡(jiǎn)便. .或是球的一部分或是球的一部分; ;)(222zyxf 2222,6),(yxzyxzdvzyxf：其中為三次積分，積分在三種坐標(biāo)系下化三重2222

14、2264422),(yxyxxxdzzyxfdydxI解：由圖知：直角系：226yxz22yxz262020),sin,cos(rrdzzrrfrdrdI柱標(biāo)系：的變化范圍與下面求球標(biāo)系：r,20:226yxz22yxz222222sin6cos)(6404sincosrryxzrryxz由由drrrrrfddIrrsin)cos,sinsin,cossin(), 0(sin2sin24coscos2sin2sin24coscos04020222222舍去)(),(2),(),(),(),()2(0),(),(),(),() 1 (12121自己總結(jié)！面對(duì)稱(chēng)時(shí)的結(jié)果面及關(guān)于同理，可寫(xiě)出則：，的

15、偶函數(shù)，即：是關(guān)于若則：，的奇函數(shù)，即：是關(guān)于若坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)：關(guān)于與，且設(shè)積分區(qū)域XOZYOZdxdydzzyxfdxdydzzyxfzyxfzyxfzzyxfdxdydzzyxfzyxfzyxfzzyxfXOY解解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱(chēng)，積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的奇函數(shù)的奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng), 0)(dvyzxy,zyxdddzrrddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* * 說(shuō)明說(shuō)明: :三重積分也有類(lèi)似二重積分的換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對(duì)應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42,1yxy