中考專題：幾何作圖

1、.基本作圖:3.利用基本作圖作三角形:(2)已知兩邊及其夾角作三角形.(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形.4.與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖: (1)過不在同一直線上的三點作圓(即三角形的外接圓).作三角形的內(nèi)切圓.(3)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形題型一 應(yīng)用角平分線、線段中垂線的性質(zhì)作圖【例 1】(2016 衢州)如圖，已知 BD 是矩形 ABCD 的對角線.(1)用直尺和圓規(guī)作線段 BD 的垂直平分線，分別交 AD, BC 于點 E, F(保留作幾何作圖作一條線段等于已知線段，以及線段的和、差1已知線段 a,畫一條線段 CD 等于 a(2)作一個角等于已知角，以

2、及角的和、差.2已知/a,求作/ AOB=/a(3)作一個角的平分線3已知/ AOB,求作/ AOB 的 C平分線 OC.過點 C 作直線 AB 的垂線(4)作一條線段的垂直平分線.(5)過一點作已知直線的垂線.4已知線段 AB,求作線段 AB5已知直線 AB 和直線外一點的中垂線ABAB(1)已知三邊作三角形.(3)已知兩角及其夾邊作三角形.圖痕跡，不寫作法和證明）連結(jié) BE, DF,問：四邊形 BEDF 是什么四邊形請說明理由.題型二作三角形【例 2（2014 無錫）（1）如圖，在 RtAABC 中，/ B= 90, AB= 2BC,現(xiàn)以點 C 為圓心，CB 長為半徑畫弧交邊 AC 于點

3、D,再以點 A 為圓心，AD 長為半徑畫弧交邊 AB 于點 E.求證：竿=（這AB 22）如果一個等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形請你 以圖中的線段 AB 為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個黃金三角形ABC.（注：作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對作圖中涉及的點用字母進(jìn)行標(biāo)注.（2）用直尺和圓規(guī)在 AD 上作出一點卩，使厶 BP3ACDR 保留作圖痕跡，不寫作法）.題型四 利用基本作圖進(jìn)行方案設(shè)計【例 4某小區(qū)現(xiàn)有一塊等腰直角三角形形狀的綠地， 腰長為100 m，直角頂點為 A.小區(qū)物業(yè)管委會準(zhǔn)備把它分割成面積相等的兩塊，有如下的分割方法： 方法一：在底邊

4、 BC 上找一點 D,連結(jié) AD 作為分割線； 方個比值；1叫做黃金比）題型三通過畫圖確定圓心【例3】F,使/（2016 南京）如圖，在 ABCD 中，E 是 AD 上一點，延長 CE 到點FBC=ZDCE（1）求證:方法叫法二：在腰 AC 上找一點 D,連結(jié) BD 作為分割線； 方法三：在腰 AB 上找一點 D,作 DE/ BC,交 AC 于點 E,DE 作為分割線;方法四：以頂點 A 為圓心，方法中分割線最短的是（AD 為半徑作弧，交 AB 于點 D,交 AC 于點 E, DEf 乍為分割線.這些分割）A.方法一B.方法二C.方法三D.方法四題型五利用網(wǎng)格進(jìn)行作圖的頂點上.基礎(chǔ)鞏固題組一、

5、選擇題1 . （2015 福州）如圖，C, D 分別是線段 AB, AC 的中點，分別以點 C, D 為圓心，BC 長為半徑畫弧， 兩弧交于點 M，測量/ AMB 的度數(shù)，結(jié)果為（）UCBA.80 B. 90 C. 100 D. 105 （2）在圖 2 中畫出一個以線段 AC 為對角線、面積為6 的矩形 ABCD,且點B 和點 D 均在小正方形QC CP、PA 并直接寫出四邊形 AQCP 的周長;2. （2015 深圳）如圖，已知 ABC, AB AB.（1）實踐與操作：作/ BAD 的平分線交 BC 于點 E,在 AD 接EF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;（2）猜想并證明：猜想

6、四邊形 ABE F 的形狀，并給予證明.12 .已知 ABC 中，/ A= 25 / B= 40 13、(2014 江西，第 17 題 6 分)已知梯形 ABCD 請使用無刻度直尺畫圖。(1)在圖 1 中畫一個與梯形 ABCD 面積相等，且以 CD 為邊的三角形；(2)在圖 2 中畫一個與梯形 ABCD 面積相等，且以 AB 為邊的平行四 邊形。14. (2016 福建龍巖42 分)圖 1 是某公交公司 1 路車從起點站 A 站途經(jīng) B 站和 C 站，最終到達(dá)終點 站 D 站的格點站路線圖.(8X8勺格點圖是由邊長為 1 的小正方形組成)(1) 求 1 路車從 A 站到 D 站所走的路程；(2

7、) 在圖 2、圖 3 和圖 4 的網(wǎng)格中各畫出一種從 A 站到 D 站的路線圖.(要求：與圖 1 路線不同、 路程相同；途中必須經(jīng)過兩個格點站； 所畫路線圖不重復(fù))能力提升題組15.(2016 陜西)如圖，在菱形 ABCD 中，/ ABC= 60 AB= 2,點 P 是 這個菱形內(nèi)部或邊上的一點，若以點 P、B、C 為頂點的三角形是等腰三(1)求作：OO,使得OO 經(jīng)過 A、C 兩點，且圓心 必寫作法);(2)求證：BC 是中所作OO 的切線.O 落在 AB 邊上(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不mi圖 2圖 3圏乂D角形，則 P、D（P、D 兩點不重合）兩點間的最短距離為 _16.（2015

8、江西）0O為厶ABC 的外接圓，請僅用無刻 度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖1,圖 2 中畫出一條弦，使這條弦將 ABC 分成面積相等的兩部分（保 留作圖痕跡，不寫作法）.如圖 1 , AC= BC;（2）如圖 2，直線 I 與OO 相切與點 P,且 I / BC17.（2015 廣州）如圖，AC 是OO 的直徑，點 B 在OO 上，/ ACB= 30 （1）利用尺規(guī)作/ ABC 的平分線 BD,交 AC 于點 E,交OO 于點 D,連接 CD（保 留作圖痕跡，不寫作法）;在 所作的圖形中，求ABE 與厶 CDE 的面積之比.18.（2015 隨州）如圖，射線 PA 切OO 于點 A,連接 PO

9、.（1）在 PO 的上方作射線 PC,使/ OPC= / OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕 跡，不寫作法），并證明：PC 是OO 的切線；在（1）的條件下，若 PCBOO 于點 B, AB= AP= 4，求AB的長.19 . (2016 咸寧)如圖 1,在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點 A 的坐標(biāo)為(0,1)，取一點 B(b,0)，連接 AB,作線段 AB 的垂直平分線 11，過點 B 作 x 軸的垂線 12，記 11，12的交點為 P.(1)當(dāng) b= 3 時，在圖 1 中補(bǔ)全圖形(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡 );(2)小慧多次取不同數(shù)值b，得出相應(yīng)的點 P,并把這些點用平滑的曲線連接起來

10、，發(fā)現(xiàn)：這些點P竟然在一條曲線 L 上！1設(shè)點 P 的坐標(biāo)為(x, y)，試求 y 與 x 之間的關(guān)系式，并指出曲線L 是哪種曲線;2設(shè)點 P 到 x 軸，y 軸的距離分別為 d1, d2，求 d1+ d2的范圍；當(dāng) d1+ d2= 8 時，求點 P 的坐標(biāo);3將曲線 L 在直線 y= 2 下方的部分沿直線 y = 2 向上翻折，得到一條 W ”形狀的新曲線，若直線 y =kx+ 3與這條 W”形狀的新曲線有 4 個交點，直 接寫出 k 的取值范圍.根據(jù)直徑所對的圓周角是直角的性質(zhì)得/ AMB = 90 答案基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1. （2015 福州）如圖，C, D 分別是線段 AB, AC

11、 的中點，分別以點 C, D 為圓心, 兩弧交于點 M，測量/ AMB 的度數(shù)，結(jié)果為（）A. 80B. 90C. 100D. 105解析 由作圖可知，點 M 在以 AB 為直徑的OC 上,BC 長為半徑畫弧,答案 B2.（2015 深圳）如圖，已知ABC, AB AB.(1) 實踐與操作：作 / BAD 的平分線交 BC 于點 E,在 AD 上截取 AF= AB,連接 EF(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法 )；(2) 猜想并證明：猜想四邊形 ABE F 的形狀，并給予證明.解 (1)作圖如圖所示：四邊形 ABEF 是菱形，理由如下:四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD/ BC, /

12、 DAE= / AEB,/ AE 平分/ BAD,BAE=ZDAE,/ BAE=/ AEB, BE= AB,由得：AF= AB, BE= AF,/ BE/ AF,四邊形 ABEF 是平行四邊形， AF= AB, 四邊形 ABEF 是菱形.12 .已知 ABC 中，/ A= 25 / B= 40 (1) 求作：OO,使得OO 經(jīng)過 A、C 兩點，且圓心 0 落在 AB 邊上(要求尺規(guī)作圖, 不必寫作法 )；(2) 求證：BC 是中所作O0 的切線.解(1)作出線段 AC 的垂直平分線進(jìn)而得出 AC 的垂直平分線與線段 AB 的交點 0,進(jìn)而以 A0 為 半徑做圓即可.作圖如圖所示.保留作圖痕跡,

13、（2）證明：如圖，連接 0C,/ 0A= 0C, / A = 25 / BOC= 50.又/ B = 40, / BOC+/ B= 90/OCB= 90 OCXBC, BC 是OO 的切線.能力提升題組13.（2016 陜西）如圖，在菱形 ABCD 中，/ ABC= 60, AB= 2,點 P 是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點， 若以點 P、B、C 為頂點的三角形是等腰三角形，貝 UP、D（P、D 兩點不重合）兩點間的最短距離為_ .解析 如圖，連接 AC BD 交于點 0,以 B 為圓心 BC 為半徑畫圓交 BD 于 P,此時 PBC 是等腰 三角形，線段 PD 最短，/四邊形 ABCD 是菱形，

14、/ ABC= 60 AB=BO CD=AD, /ABC= ZADC=60；ABC, ADC 是等邊三角形，B0=D0=x2=羽, BD=2B0=2 電, PD 最小值=BD BP= 2 3 2.答案 2 3214. （2015 江西）0O為厶ABC 的外接圓，請僅用無刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖1，圖 2 中畫出一條弦，使這條弦將 ABC 分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法 ）.（1）如圖 1 , AC= BC;（2）如圖 2，直線 I 與OO 相切與點 P,且 I / BC解（1）如答圖 1,連接 CO 并延長交OO 于點 D,交 AB 于點 E,則弦 CD 即為所求.AC=B

15、C, AC?C=BC,點C是AB的中點，由垂徑定理得， AE= BE, CE AB,SAACE=SA BCE CD 為所求作的弦.答圖 1(2)如答圖 2,連接 PO 并延長交OO 于點 D,交 BC 于點 E,連接 AE 并延長交OO 于點 F,則弦AF 即為所求./ l 切OO 于點 P,且 I / BC, PD 丄 BC,由垂徑定理知，BE= CE -SAABE=SAACE, AF 為所求作的弦答圖 215.(2015 廣州)如圖，AC 是OO 的直徑，點 B 在OO 上, / ACB= 30 (1)利用尺規(guī)作/ ABC 的平分線 BD,交 AC 于點 E,交OO 于點 D,連接 CD(

16、保留作圖痕跡，不寫 作法)；在所作的圖形中，求 ABE 與厶 CDE 的面積之比.解(1)作圖如圖所示:如答圖，連接 0D,設(shè)OO 的半徑為 r,/ / BAE= / CDE / AEB= / DEC,ABEADCE,在 RtAACB 中，/ ABC= 90 / ACB= 301 - AB= ?AC= r,/ 0D= OC,/ ABD=/ ACD= 45 / DOC= 90 在 RtA ODC 中，DC= OD2+ OC?= 2r,SAABEAB2r2 1SA CDEDC 2r2.16.(2015 隨州)如圖，射線PA 切OO 于點 A,連接 PO.(1)在 PO 的上方作射線 PC,使/ O

17、PC= / OPA(用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法 明：PC 是OO 的切線；)，并證在(1)的條件下，若 PC 切OO 于點 B, AB= AP= 4，求AB的長.解 (1) 如圖所示，即為所求作的圖，連接 0A,過 O 作 OB 丄 PC,/ PA 切OO 于點 A, OA 丄PA又/OPC=ZOPA, OB 丄 PC,OA= OB,即卩 d = r, PC 是OO 的切線.(2)TPA PC 是OO 的切線， PA= PB, 又/ AB= AP= 4, PAB 是等邊三角形， ZAPB=60 ZAOB=120； ZPOA=60亠 人亠。AP 4廠在 Rg AOP 中，tan60 =

18、気= 3,120 n433AB的長=180=17. (2016 咸寧)如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點 A 的坐標(biāo)為(0,1)，取一點 B(b,0)，連接 AB,作 線段 AB的垂直平分線 11，過點 B 作 x 軸的垂線 12，記 11， 12的交點為 P.(1) 當(dāng) b = 3 時，在圖 1 中補(bǔ)全圖形(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡);(2) 小慧多次取不同數(shù)值 b，得出相應(yīng)的點 P，并把這些點用平滑的曲線連接起來，發(fā)現(xiàn)：這些點P 竟然在一條曲線 L 上！1設(shè)點 P 的坐標(biāo)為(x，y)，試求 y 與 x 之間的關(guān)系式，并指出曲線L 是哪種曲線；2設(shè)點 P 到 x 軸，y 軸的距離分別為 d1，d2，求 d1+ d2的范圍；當(dāng) d1+ d2= 8 時，求點 P 的坐 標(biāo)；3將曲線 L 在直線 y=2 下方的部分沿直線 y=2 向上翻折，得到一條W”形狀的新曲線，若直線 y= kx+ 3 與這條 W”形狀的新曲線有 4 個交點，直接寫出 k 的取值范圍.解(1)作圖如答圖所示.0A=4；38 ,39當(dāng) x 0 時，如答圖 2,連接 AP,過點 P 作PEL y 軸于點 E/ 11垂直平分 AB, PA= PB= y,在 RtAAPE 中，EP= OB= x, AE= O