分式培優(yōu)講義

1、講義分式姓名：分式知識點一：分式的定義A一般地，如果 A，B表示兩個整數，并且 B中含有字母，那么式子 -叫做分式，A為分子，B為分母。B知識點二：與分式有關的條件 分式有意義：分母不為 0 （ B豐0） 分式無意義：分母為 0 （ B=0） 分式值為0:分子為0且分母不為0 （A=0且B豐0）U<0B0或L*犬0 ）p>o u<o 分式值為負或小于0 :分子分母異號（ 或1>0） 分式值為1 :分子分母值相等（A=B ） 分式值為-1 :分子分母值互為相反數（A+B=0 ）知識點三：分式的基本性質分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。A A*

2、C A A*C字母表示：B°,其中A、B、C是整式，C= 0。拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即A -A -A A注意：在應用分式的基本性質時，要注意C式0這個限制條件和隱含條件 B式0。知識點四：分式的約分定義：根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。注意：分式的分子與分母為單項式時可直接約分，約去分子、分母系數的最大公約數，然后約去分子分母相同因式的最低次幕。分子分母若為多項式，約分時先對分子分母進行因式分解，再約分。最簡分式的定義：一個

3、分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。知識點五：分式的通分分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次幕的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。確定最簡公分母的一般步驟：I取各分母系數的最小公倍數；n單獨出現的字母（或含有字母的式子）的幕的因式連同它的指數作為一個因式；川 相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指數最大的。w保證凡出現的字母（或含有字母的式子）為底的幕的因式都要取。注意：分式的分母為多項式時，一般應先因式分解。知識點六：分式

4、的四則運算與分式的乘方分式的乘除法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：a g _ a*c分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為a c a dbd.bc b分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子分式的加減法則：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為a _ & aid=異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為a cbl= M1的分式，再通分。整式與分式加減法：可以把整式當作一個整數，整式前面是負號，要加括號，看作是分母為 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運算的運算順序先乘方、再乘除

5、、后加減，同級運算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號里面的，也要注意靈活，提高解題質量。注意：在運算過程中，要明確每一步變形的目的和依據，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便跳步，以便查對有無錯誤或分析出錯的原因。知識點七：整數指數幕 引入負整數、零指數幕后，指數的取值范圍就推廣到了全體實數，并且正正整數幕的法則對對負整數指數幕一樣適用。（口疋°）3.=v）（任何不等于零的數的零次幕都等于1） m, n均為整數?？茖W記數法若一個數式，n的確定:x是0<x<1的數，則可以表示為 a 10-n （1 a<10，即a的整數部分只有一位，n為整數）的形n=從左邊第一個0起到第一個

6、不為 0的數為止所有的0的個數的相反數。如0.000000125=1.25 10若一個數x是x>10的數則可以表示為 a 10n （ 1a <10，即a的整數部分只有一位,n為整數）的形式,的確定：n=比整數部分的數位的個數少1。如120 000 000=1.2 108知識點七分式方程的解的步驟去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產生增根的過程）解整式方程，得到整式方程的解。檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：0,則是原方程的解。如果最簡公分母為 0,則原方程無解，這個未知數的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為產生增根的條件是：是得到的整式方程的解；代入最簡公分

7、母后值為0。知識點八：列分式方程基本步驟審：仔細審題，找出等量關系。設：合理設未知數。列：根據等量關系列出方程（組）。解：解出方程（組）。注意檢驗驗：檢驗并答題。宜昌市邁克學習能力培訓學校計算專練態(tài)度決定一切11 X1、化簡（門 廠）2X2，然后從21, 1中選取一個你認為合適的數作為X的值代入求值.化簡求值:1a(4 -)a化簡:2 2x y x y22x 3y x 6xy 9yx y2 2學囁(亍x?h 12 2I)2y(x2xyyx)2(1 11_x 1 x2 1 1 x11 x2x 6 3 x Nx2 9)2x 6x2 4x 4(x 3)2x x 612 4xa2 2a a 1a2 4

8、 a2 3a 22(be)3 ( a6x 2 x 122x 2x x 4x 4(2 x)2a a2a 2 a 1a2 1 a 1 a 1xyx y x y x 2yc1xa a2 a a a2 1 a 1 (a 1)a2 42a(a2-4)a2 4a 4a 2a2 a28a 163x xx2 1a44a2x 1 x 1xa+b+2b2a bx y y 2x y y x x y y x2 3x 1 3x 24 9x 2 3x 3x 2(x+1 x 22x 232233a 3b 2a b32005° 22113(x1 (x3)223o13.141 2212 1 0 (1)-5 (2004

9、)0(2)32014653x 2x 1124x 1 x 1 x2 1x 52x 5 5 2x3(x 1)(x2)分式典型題1、代數式1x2 ,x y a a b,0,4 2a2x2x11中，是整式的有1，是分式的有2、若M=(x4)區(qū)2則當xx 1時，M有意義；當x=時，M=0;當 x=時，M=4.3、當2x時，分式 的值為正數.5 x4、在正數范圍內定義一種運算*，其規(guī)則為5、不論x取何值時，下列分式總有意義的是（11口a*b=，貝V x*(x+1)=a b)x 1A. 2x2xB.-(x2)2xC.-x 2xD.p6、若x2- 9=0,則分式5xx 3的值為（C.1 或一5A.1B. 57

10、、若分式咽 1的值為零，則 m取值為（m mA.m=± 18每千克m元的糖果為（）B.m=- 1 Ix千克與每千克D.5D.m的值不存在C.m=1> n兀的糖果y千克混合成雜拌糖，這樣混合后的雜拌糖果每千克的價格c.3元x yD.1(公2 m9、如果把分式亠0-x 2y中的x、y的值都擴大2倍，那么分式的值（A.擴大2倍B.擴大6倍 C.擴大3倍10、甲、乙兩人加工某種機器零件，已知甲每天比乙多做 相等（其中mz n）,設甲每天做amA. -m n11、下列各式中，xA.-2anD.不變a個，甲做x個零件，則甲、乙兩人每天所做零件的個數分別是（anm n是分式的是B.m（1 2

11、B. x23am12、當a為任何實數時，下列分式中a 1A.pa1B.-a 1amC.-m n2x 1C.x定有意義的一個是2 a C.aanm個所用的天數與乙做 n個所用的天數）anamD.-n mxD.j2a 1D.?n13、當m時，關于x的方程2 2 旦有增根；x 3 x 3x- lx1 m m若關于x的方程x-5x-5=10-狂10-N丈無解，則 m 14、已知xy-(x0)，求分式2x 3y3z的值。2342x 3y3z15、已知113，求5xxy5y的值.xyxxyy16、若方程1的解是正數，求a的取值范圍x 2a+2a+2已知關于x的分式方程-=1的解是非正數，求 a的取值范圍1

12、7、已知 a2+3a+1=0,求（3）a4+4fa/八121（1） a+ ；（2） a2+2；aa18、已知 a、b、c均不為0，且a+2b53b c32c a c 2b7，求 2b 3a的值。219、已知 a 10a 2520、若 xy z 0,xyz21、已知-ab 3，求代數式0,求b),求ab(a b)b42a byz xa3的值a(a b)ab2 2a2b的值。b2 a2 ab b2的值43|2 2. 33. 2，“ a a b a b ab a ab22、化簡：3322 23a b ab 2a b a b b23、計算：(巧算)1 2 2 1x 2 x 1 x 1 x 2x2x3x

13、5x4x 1 x 2 x 4 x 31 1x x(x 1)1(x 1)(x 2)24、已知x為正整數，且(x2013)(x 2014)2x 18代也為正整數，求所有符合條件的x的值。分式培優(yōu)題、填空1、若a、b滿足b+a=2，則的值2、當x時,與x 3 x互為倒數.3、如果， :m則 K -r - -4、當 m=時，分式2m虹衛(wèi)的值為零.5、已知m3m 2丄丄4,則a ab La b 2a 2b 7aba6、若 a : b : c=1 : 3 : 5,貝U 2 .2a b2a7、已知：?一=5，則b 31.1=48 、已知0 _匚 '-二=9、如圖，第（1）個多邊形由正三角形“擴展”而

14、來，邊數記為-乙，第（2）個多邊形由正方形“擴展”而來，邊數記為心，依此類推，由正町邊形“擴展”而來的多邊形的邊數記為4 （n3）.則點:一的值是,當197的結果是匚匸時，n的值10、先觀察下列等式，然后用你發(fā)現的規(guī)律解答下列問題.1111 1111=1-ZZ 二- 1x222x32 33x434111 1 11十一+ +（1）計算 1二 二 4 二匚 1111 1十十十十（用含有嗆的式子表示）（2）探究 j ：_.-.1 ' "1 1 1 +十十(3 )若匚：-'-打二、選擇題11、如果m個人完成一項工作需要d天，則（m+n）個人完成這項工作需要的天數為（A. d+

15、nd- nmd12、若 x+ -=3,X2X2X-的值是（1).D.1013、如果 a=2,baba2 I14、如果二滿足-a2的值是（415A D17141 V . ' 1 :的值為二，求U的值.15、已知分式2a6a 18的值是正整數，求整數 a的值。916、已知:17、已知-bc3a 2b 3c占戸/苦0，求分式的值。345a b c4的值嗎?x1 2 1 318、已知x 3，求分式x 2的值，能求出xxx2 2 219、已知 3x 4y z 0,2x y 8z o，求-y的值。xy yz 2xz20、已知a b 尢'（a，b，c互不相等），求x y z的值。21、已知a

16、,b,c為實數,ab1 bc 1 ac3 b c 4 a c的值是多少?ab bc ca22、（ 1）請你任意寫出3個正的真分數： ，給每個分數的分子、分母同加一個相同正數得到三個新分數： ， ，（2）比較原來每個分數與對應新分數的大小，可以得出下面的結論:聯，得王，則兩個分數的大小關系是b m分式方程培優(yōu)題1、若關于x的方程m1x=0有增根，則m的值是（x1 x1A. 3B2C.1D. -12、已知方程x23有增根則這個增根一定是,有增根，則這丨增根定是（x33 xA. 2B3C.4D. 5|x|13、2若x 2x3的值為零，則x的值是（）A. ±B.1C.-1xa4、分式3x1中

17、，當x=-a 時，下列結論正確的是 （）A.分式的值為零B.分式無意義1C.若a A -時,分式的值為零35關于x的方程 廿=1的解是正數，則m的取值范圍是）D.不存在1D.若時,分式的值為零3）A、m>-1 B、m>-1 且 m 豐 0 C、mv -1 D、mv -1 且 m -26、 某工程，甲隊獨做所需天數是乙、丙兩隊合作所需天數的a倍，乙隊獨做所需天數是甲、丙兩隊合作所需1 1 1天數的b倍，丙隊獨做所需天數是甲、乙兩隊合作所需天數的c倍，則亠 + 亠 + 亠 的值是（a 1 b 1 c 1A、1 B、2 C、3D、47、若關于x的方程 竺-1=0無實數根，則a的值為.x

18、18若關于x的方程L=1-一巴 無解，則m x - 3 x 39、若分式方程 丄+旦=飛會產生增根，則 m x 1 1 x x 110、若關于x的分式方程2xa=-1,的解是正數，則 a的取值范圍是x211、計算x2 x 4 x6x812、解方程：1111x1 x 3 x5x7x5x6x8x913、已知a、b、c為實數，且滿足2 a 2 |3 b2| 花_4(b %;3) c 2110，求的值。a b b c14、已知 a2+ 2a 1 = 0,求語的值.a 2 a 1)a 請觀察上述方程與解的特征，比較關于X的方程 是什么，并利用“方程的解”的概念進行驗證. 由上述的觀察、比較、猜想、驗證，

19、可以得出結論：+ 2a a2+ 4a + 4)【應用與探究】15、先閱讀下列一段文字，然后解答問題. 已知：、 1 1 1方程x- =1 的解是X1=2, X2=- -x 22131方程 x- =3 的解是 X1=4, X2=-；x 44問題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程1 2 1方程x- =2 的解是X1=3, X2=- 一 ；x33141方程 x- =4 的解是 X1=5, X2=- 一 .x55110x-丄=1。20的解，并寫出檢驗.X11X-1=c-1的妥是1X1=c, X2=- _XccX+3=c+的解是3X1=c, X2=Xcc16、閱讀理解題:閱讀下列材料，關于 x的方程:1

20、11X+=c+ 的解是 X1=c, X2=；Xcc222X+ =C+ 的解是 X1=C, X2=；Xccm x+?猜想它的解m(0)與它們的關系,c?如果方程的左邊是未知數與其倒數的倍數，方程右邊的形式與左邊完全相同，只把其中未知數換成了某個常數，那么這樣的方程可以直接得解，請用這個結論解關于X的方程:x+亠17、福興商場文具專柜以每枝 a (a為整數)元的價格購進一批英雄”牌鋼筆，決定每枝加價 2元銷售由于這種品牌的鋼筆價格優(yōu)、質量好、外表美，很快就銷售一空結賬時，售貨員發(fā)現這批鋼筆的銷售總額為399a+805(元)你能根據上面的信息求出文具專柜共購進多少枝鋼筆及每枝鋼筆的進價a是多少元嗎？

21、218、求方程2X -xy-3x+y+2006=0的正整數解。19、甲、乙兩人同時從 A地到B地，甲前一半路程用速度 a,后一半路用速度 b;乙前一半時間用速度 a,后 一半時間用速度 b，問哪個先到達 B地？分式方程應用題1、抗震救災搶修損壞的橋梁工程必須在規(guī)定日期內完成，保證救災物質順利通過。如果甲工程隊單獨做正好如期完成；若乙工程隊單獨做需要超過4天才能完成?，F由甲、乙兩隊合作 3天，余下的工程由乙隊單獨做正好按期完成，問規(guī)定日期是多少天？2、南寧市2006年的污水處理量為 10萬噸/天，2007年的污水處理量為 34萬噸/天，2007年平均每天的污水 排放量是2006年平均每天污水排放

22、量的1.05倍，若2007年每天的污水處理率比 2006年每天的污水處理率污水處理量提高40% (污水處理率；量).污水排放量(1 )求南寧市2006年、2007年平均每天的污水排放量分別是多少萬噸？(結果保留整數)(2)預計我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%,按照國家要求“2010年省會城市的污水處理率不低.于.70%”，那么我市2010年每天污水處理量在 2007年每天污水處理量的基 礎上至少還需要增加多少萬噸，才能符合國家規(guī)定的要求？3、岳陽王家河流域綜合治理工程已正式啟動，其中某項工程，若由甲、乙兩建筑隊合做，6個月可以完成，若由甲、乙兩隊獨做，

23、甲隊比乙隊少用5個月的時間完成.（1 ）甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需幾個月的時間？（2）已知甲隊每月施工費用為 15萬元，比乙隊多6萬元，按要求該工程總費用不超過 141萬元，工程必須 在一年內竣工（包括 12個月）為了確保經費和工期，采取甲隊做 a個月，乙隊做b個月（a、b均為整數） 分工合作的方式施工，問有哪幾種施工方案？4、小明到一家批發(fā)兼零售的文具店給九年級學生購買考試用售貨員一次購買鉛筆300支以上（不包括300支）, 可以按批發(fā)價付款； 購買300支以下（包括 300支），只能按零售價付款。2B鉛筆，請根據下列情景解決問題。若給九年級學生每人購買1支，只能按零售價付款，需要120

24、元；若多購買60支，則可 按批發(fā)價付款，同樣需要 120元。（1）這個學校九年級學生總數在什么范圍內？（2）若按批發(fā)價購買6支與按零售價購買 5支的所付款相同，那么這個學校九年級學生5、甲、乙兩同學玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線 I起跑，繞過P點跑回到起跑線（如圖所示）；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑，用時少者勝結果：甲同學由于心急，掉了球，50秒”，乙同學說：“撿浪費了 6秒鐘，乙同學則順利跑完. 事后，甲同學說：“我倆所用的全部時間的和為 球過程不算在內時，甲的速度是我的 1.2倍” 根據圖文信息，請問哪位同學獲勝？6、金泉街道改建工程指揮部，要對某路段工程

25、進行招標，接到了甲、乙兩個工程隊的投標書從投標書中得2知：甲隊單獨完成這項工程所需天數是乙隊單獨完成這項工程所需天數的2;若由甲隊先做 10天，剩下的3工程再由甲、乙兩隊合作30天可以完成（1）求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？（2）已知甲隊每天的施工費用為0.84萬元，乙隊每天的施工費用為0.56萬元工程預算的施工費用為50萬元為縮短工期以減少對住戶的影響，擬安排甲、乙兩隊合作完成這項工程，則工程預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需追加預算多少萬元？請給出你的判斷并說明理由7、某市在道路改造過程中，需要鋪設一條長為1000米的管道，決定由甲、乙兩個工程隊來完成這一工程已知甲工程隊比乙工

26、程隊每天能多鋪設20米，且甲工程隊鋪設 350米所用的天數與乙工程隊 鋪設250米所用的天數相同.（1 ）甲、乙工程隊每天各能鋪設多少米？（2）如果要求完成該項工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊分配工程量（以百米為單位）的方案有幾種？請你幫助設計出來.&某校原有600張舊課桌急需維修，經過 A B、C三個工程隊的競標得知，A、B的工作效率相同，且都為 C隊的2倍，若由一個工程隊單獨完成，C隊比A隊要多用10天.（1 ）求工程隊A平均每天維修課桌的張數；（2）學校決定由三個工程隊一齊施工，要求至多6天完成維修任務.三個工程隊都按原來的工作效率施工2天時，學校又清理出需要維修的課桌36

27、0張，為了不超過 6天時限，工程隊決定從第 3天開始，各自都提高工作效率，提高后， A、B的工作效率仍然相同，且都為 C隊的2倍.這樣他們至少還需要 3天才能完成整個 維修任務求工程隊 A提高工作效率后平均每天多維修課桌張數的取值范圍.9、某工廠有100名工人在A型生產線上工作經工廠多方考察，發(fā)現其生產受到限制，于是決定引入B型生產線.B型生產線上每人每日生產量比 A型生產線多30件.一工人在 B型生產線上生產100件產品的時 間與原來在A型生產線上生產 40件產品的時間相同.(1 ) A型生產線上每人每日可生產多少件產品？(2)工廠決定從這100名工人中分派一部分工人到 B型生產線工作.分工

28、后，繼續(xù)在A型生產線上工作的工人的日均產量可增加 25%，若要保證工廠分工后，A型生產線每日的總產量不少于分工前的每日總產量，而B型生產線每日的總產量不低于分工前A型生產線每日總產量的 40% ,則有多少種分派方案？(不寫出具體方案)(3 )設工廠每日的總產量為 P，在(2 )題條件下，當多少人分派到B型生產線時，P有最大值？請寫出此時的分派方案，并求出 P的最大值.10、“玉樹地震”的災情牽動著千萬人的心，匯川中學的同學們踴躍為災區(qū)捐款，小易同學對1班和2班捐款情況進行了統(tǒng)計，1班的捐款人數比2班多3人，其中1班共捐款2400元，2班共捐款1800元，2班平均4每人的捐款錢數是1班平均每人捐

29、款錢數的 4倍。5(1 )求1班、2班各有多少人捐款？(2) 慈善總會欲將此善款全部用于購買帳篷和礦泉水對口支援結古縣官貝村，該村至少需要40頂帳篷和160件礦泉水，一頂帳篷的價格為48元，一件礦泉水的價格為12元。因道路毀壞，只能用一架直升飛機將所購物資運往目的地。該直升飛機的貨運空間為20.8立方米，而一頂包裝好的帳篷體積為0.16立方米，一件礦泉水的體積為0.08立方米。應當如何安排購買方案， 才能將所需物資一次性運往目的地？用必要的計算說明 理由。(3) 因直升飛機飛行一次所需燃料費用甚多，故應最大程度利用飛機貨運空間。在上述方案中，選用那種方 案使得它的利用程度最高，說明理由。11、

30、某工廠計劃將一批貨物從甲地運到乙地，有A,B,C三種方式可供選擇，選擇方式A的平均速度比選擇方式B每小時少30千米,但兩者所用的運輸時間相同選擇方式B的平均速度是方式 C的兩倍，但運輸時間是方式 C 的40% ,這三種運輸方式所需各項成本見下表經測算，總費用（含運輸費和裝卸費，其它費用忽略不計）最少的方式是A,最多的方式是 C.運輸方式ABC經過的路程（千米）500800a運輸費（兀/千米噸）2.521裝卸費用合計（元）390002500061000（1）求選擇方式B的平均速度；（2）求這批貨物的重量范圍；（3）若選擇方式C比選擇方式A平均每噸的總費用多 150元，求貨物的重量.12、十二五期

31、間，湖北省把宜昌市定位為省域副中心城市，全是人民倍受鼓舞，市委市政府實行了“東擴、西進、北連、南展”的決策，其中一項是大力實施基礎設施的完善，僅2010年公路建設總費用（含新修公路費用和改造公路費用，下同）共 5億元。據統(tǒng)計新修公路費用比改造公路費用多50%改造公路的里程比新修公路的里程多 500千米，市委市政府計劃再投資到 2011、2012年公路建設總費用 10億元。（1 ）求2010年新修公路的費用（2）據交通部門測算，每改造1千米公路的費用為每新修 1千米公路費用的一半， 而2011年和2012年每年 改造公路的里程比上一年減少 500千米，這兩年新修公路的里程比上一年平均增長20%

32、（假定2013年前每改造1千米公路的費用和每新修 1千米公路的費用都不發(fā)生變化），請問市委市政府 2011、2012投資的錢是 否夠用？節(jié)省或超支多少元13、某地現有耕地10 000公頃，規(guī)劃若干年后糧食單產比現在增加65%人均糧食占有量比現在提高20%人口總數比現在增加 10%耕地面積會減少（1）在下表三個空格中，填入適當的代數式：（2）求耕地最多只能減少多少公頃？若于年厲1I0OW-Z工_ -轉自甲產X10000y人均糧會占也（啤/人）Xy114、某條公路分作兩段由甲、乙兩隊同時開始分別施工修建，上級要求兩隊同時完成各自的任務施工開始后兩隊用30天時間共修了 1 500米，其中甲隊的施工進度比乙隊快了50% （施工進度指每天修路的長度，單位：米/天）由于兩隊繼續(xù)按這樣施工進度修路，將不能同時完成各自的任務，所以從第31天起，通過合理調配，降低甲隊的施工進度并提高兩隊的總施工進度（兩隊施工進度之和），其中甲隊的施工進度降低的百分數恰為總施工進度增加的百分數，這樣剛好使兩隊同時完成各自的任務如果一開