人教B版必修三第三章《概率》同步測(cè)試

1、概率(理科)高考試題中每年都會(huì)出現(xiàn)概率試題大多數(shù)試題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件的概率，簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的分布列，以及隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期與方差，這部分綜合性較強(qiáng)， 涉及排列、組合、二項(xiàng) 式定理和概率，主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用。而知識(shí)點(diǎn)將是今后每 年必考的內(nèi)容之一，也將是近幾年高考的一個(gè)新熱點(diǎn)。注意以下幾個(gè)方面：概率是頻率的近似值，兩者是不同概念等可能事件中概率 p(A)=m, P(A)C0, 1 n互斥事件A, B中有一個(gè)發(fā)生的概率：加法公式P(A+B尸P(A)+P(B)特例：B =A時(shí)，P(A)十P(A) =1 ,即對(duì)立事件的概率和為1相互獨(dú)立事件 A, B同時(shí)發(fā)生的概率 P(A B)

2、=P(A)P(B)事件A在n次獨(dú)立重.復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 k次的概率Pn(k尸CnkPk(1-P)n-k,其中P為事件A次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二項(xiàng)式(1-P)+Pn展開的第k+1項(xiàng)一、隨機(jī)事件的概率。例題1、設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax + b2=0.(I)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率.(n)若a是從區(qū)間0,3任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí) 根的概率.解：練習(xí)1、如圖，面積為 S的正方形 ABCD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形 M , 可按下面方法估計(jì) M的面積：在正方形 ABCD中隨機(jī)投擲

3、n個(gè)點(diǎn)，若 n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落入M中，則M的面積的估計(jì)值為 “S,假設(shè)正 n方形ABCD的邊長為2, M的面積為1,并向正方形 ABCD中隨機(jī)投 擲10000個(gè)點(diǎn)，以X表示落入M中的點(diǎn)的數(shù)目.求X的均值EX ;(II)求用以上方法估計(jì) M的面積時(shí)，M的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間(-0.03,0.03)內(nèi)的概率.k附表：P(k) = C；0000 0.25t 0.7510000t =0k2424242525742575P(k)0.04030.04230.95700.9590解:二、互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率。例題2、如圖，用 A、R C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N、當(dāng)元件 A R C都正

4、常工作時(shí)，系統(tǒng) N正常工作；當(dāng)元件 A正常工作且元件 B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)， 系統(tǒng)N2正常工作.已知元件 A B C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90,分別求系統(tǒng)N, N2正常工作的概率 Pi、P2.伊1 . IA1I - I匚 此】 國T u .解：練習(xí)2、某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè).問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則 43 2 即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、 二、三、四輪的問題的概率分別為55 51-,且各輪問題能否正確回答互不影響.5(I)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；(n)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率(注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)解：練

5、習(xí)3、設(shè)一射手平均每射擊10次中靶4次，求在5次射擊中.：(1)恰擊中1次的I率;(2)第二次擊中的概率；(3)恰擊中2次的概率；(4)第二、三兩次擊中的概率；(5)至少擊解:三、求離散型隨機(jī)變量分布列、期望、方差。例題3、已知甲盒內(nèi)有大小相同的 1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的 2個(gè)紅球和4個(gè)黑球.現(xiàn) 從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取 2個(gè)球.(I )求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；(n)求取出的 4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；(出)設(shè)£為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求 £的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：例題4、設(shè)b和C分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量之表示方程2x +bx+c

6、 =0實(shí)根的個(gè)數(shù)(重根按一個(gè)甘).(I)求方程x2 +bx +c =0有實(shí)根的概率；(n)求自的分布列和數(shù)學(xué)期望；(出)求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2+bx+c = 0有實(shí)根的概率.解：1練習(xí)4、袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙7兩人從袋中輪流摸取 1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中 有一人取到白球時(shí)即終止， 每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用之表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù)。(I)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(n)甲取到白球的概率。(III )求隨機(jī)變量 :的概率分布列及期望。解：概率(理科)答案高考試題中每年都會(huì)出現(xiàn)概

7、率試題大多數(shù)試題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件的概率，簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的分布列，以及隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期與方差，這部分綜合性較強(qiáng)，涉及排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率，主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用。而知識(shí)點(diǎn)將是今后每年 必考的內(nèi)容之一，也將是近幾年高考的一個(gè)新熱點(diǎn)。注意以下幾個(gè)方面：概率是頻率的近似值，兩者是不同概念等可能事件中概率 p(A)=m, P(A)C0, 1 n互斥事件A, B中有一個(gè)發(fā)生的概率：加法公式P(A+B尸P(A)+P(B)特例：B =A時(shí)，P(A)十P(A) =1 ,即對(duì)立事件的概率和為1相互獨(dú)立事件 A, B同時(shí)發(fā)生的概率 P(A B尸P(A)P(B)事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

8、中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k尸CnkPk(1-P)n-k,其中P為事件A次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二項(xiàng)式(1-P)+Pn展開的第k+1項(xiàng)一、隨機(jī)事件的概率。例題1、設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax + b2=0.(I)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率.(n)若a是從區(qū)間0,3任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率.解:設(shè)事件A為“方程a2 +2ax+b2 =0有實(shí)根”.當(dāng)a>0, b >0時(shí)，方程x2+2ax+b2 =0有實(shí)根的充要條件為 a>b. (I)基本事件共12個(gè)：

9、A發(fā)生的概率為(0,0) (01),(0 2) (10)(1,1),(1,2) (2 0) (21),(2 2) (3 0),(31),(3,2) .其中第一個(gè)數(shù)表示a 的取值，第二個(gè)數(shù)表示 b的取值.事件 A中包含 9個(gè)基本事件，事件9 P(A)=- 12(n )4試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a, b) |0< a< 3,0W b< 2上構(gòu)成事件 A 的區(qū)域?yàn)?a, b) |0< a< 3,0< b < 2, a > b.所以所求的概率為3 2 - 1 222二3 2一 3練習(xí)1、如圖，面積為 S的正方形 ABCD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形 M ,

10、可按下面方法估計(jì)M的面積：在正方形 ABCD中隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn)，若ABCD的邊長為n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落入M中，則M的面積的估計(jì)值為 mS,假設(shè)正方形n2, M的面積為1,并向正方形 ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，以X表示落入M中的點(diǎn) 的數(shù)目.求X的均值EX ;(II )求用以上方法估計(jì)M的面積時(shí)，M的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū).間 (-0.03,0.03)內(nèi)的概率.kt- tt10000 t-附表：P(k) =C10000 0.25 0.75t =0k2424242525742575P(k)0.04030.04230.95700.95901 1解：每個(gè)點(diǎn)洛入M 中的概率均為p = .依題意知

11、X B .10000, -. ( I )4.41 EX =10000 M =2500 .4(n )依題意所求概率為P -0,03 < X=<4-1 <0.03 (,10000X2574P -0.03； 41； 0.03 = P(2425 ：二 X ：二 2575) = " C；。 0.25t 0.7510°°"10000t=242625742425=£ C；0000 M0.25 M0.7510000上一£ C；0000 M0.25t M0.7500004=0.95700.0423=0.9147. t :2426t &

12、#163;二、互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率。例題2、如圖，用 A R C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N、當(dāng)元件 A R C都正常工作時(shí)，系統(tǒng) N正常工作；當(dāng)元件 A正常工作且元件 B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)， 系統(tǒng)N2正常工作.已知元件 A B C正常工作的概率依次為 0.80,0.90,0.90,分別求系統(tǒng)N,2正常工作的概率 Pi、P2.Qf J固一回回一伊 1)1|解：記元件 A B、C正常工作的事件分別為A B C,由已知條件 P(A)=0. 80,RB)=0.90, P( 0=0.90.(1)因?yàn)槭录?A B C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng) N正常工作的概率 R=P(A- B- C)=

13、P(A) R場(chǎng)R C)=0.648,故系統(tǒng) N正常工作的概率為 0.648(2)系統(tǒng)N2 正常工作的概率P2=RA)：1-P(BC)=P(A)- ： 1 - P(B) P(C )=0.80 X 1 (1 0.90)(1 - 0.90) =0.792 故系統(tǒng) Na正常工作的概率為 0.792練習(xí)2、某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核， 否則 43 2即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為55 51-,且各輪問題能否正確回答互不影響.5(I)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；(n)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.(注：本小題結(jié)果可用

14、分?jǐn)?shù)表示)解：(I)記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為 A(i =1,23,4)，則P(A) = 4 ,5、32、1、，-.，、，P(A2)=一, P(A3)=一 , P(A4)=一,，該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率5554 3 2 49 6口 = R A A A A= (P A (P 2A (P 3A (PrPl，'匚二:一5 5 5 5625(n)該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率F3=P(A +AA2+AA2A3) =P(A) + P(A)P(A2) + P(A)P(A2)P(A3).42.4331015 5 5 5 5 5 125練習(xí)3、設(shè)一射手平均每射擊 10次中靶4次，

15、求在5次射擊中:(1)恰擊中1次的概率；(2)第 二次擊中的概率;(3)恰擊中2次的概率；(4)第二、三兩次擊中的概率;(5)至少擊中1次的概 率.解：由題設(shè)，此射手射擊1次，中靶的概率為0.4，此射手射擊5次，是一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可用公J(k)=CkPk(1_P)n(1)由 n=5,k=1,得 F5(1) = C5P(1 -P)4 =0.2592(2)事件“第二次擊中”表示第一、三、四、五次擊中或擊不中都可，它不同于“擊中一次”， 也不同于“第二次擊中，其他各次都不中"，不能用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式 ，其實(shí)，“第二次 擊中”的概率，就是此射手“射擊一次擊中”的概率為 0.4.(3)

16、.由 n=5,k=2,得 P5(2) =C：P2(1P)3 =0.3456,所以概率為0.4 X(4) “第二、三兩次擊中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中0.4=0.16設(shè)“至少擊中一次”為事件 B,則B包括“擊中一次”，“擊中兩次”，“擊中三次”，“擊 中四次”，“擊中五次”，所以概率為P(B) -P5(1) P5(2) P5(3) P5 (4) P5(5)=0.2592 0.3456 0.2304 0.0768 0.01024 =0.92224事件B是用“至少”表述的，可以考慮它的對(duì)立事件.B的對(duì)立事件是“一次也沒有擊中” 所以B事件的概率可以這樣計(jì)算：0_5P(B) =1-P(B)

17、 =1-P5(0) =1 -C5(1 -0.4) =0.92224三、求離散型隨機(jī)變量分布列、期望、方差。例題3、已知甲盒內(nèi)有大小相同的 1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的個(gè)黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.(I )求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；(n)求取出的 4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；(出)設(shè)自為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求 自的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(I )設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的 2個(gè)球均為黑球”為事件 A，“從乙盒內(nèi)取出的C2 1C2球”為事件B .由于事件A, B相互獨(dú)立，且P(A) = W=，P(B)=NC2 2C；2個(gè)紅球和42個(gè)球均為黑2=.5故取出的4個(gè)球均為黑球的概率為

18、 P(AB) = P(A)P(B)=(n)設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的 2個(gè)球均為黑球；從乙盒 內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件 C，“從甲盒內(nèi)取出的 2個(gè)球中，1個(gè)是紅球,1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件D .由于事件C, D互斥，且P(C)=C3C1C2 C624一, 15小 C3 C421P(D) =CT C =5417故取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為 P(C +D) =P(C) + P(D) = += 15 5 151(出)解：之可能的取值為0,1,2,3 .由(I) , (n)得p =0) =, pd=1) =5715一一C1 11.3P(-=3)=22=.

19、從而 P(-=2)=1-P(-=0)-P(-=1)-P(_=3)=C4 C63010上的分布列為012317317£的數(shù)學(xué)期望E-=0父_+1父一+2父一+3 乂一 = _ . 5151030 6例題4、設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量已表示方程2x +bx+c =0實(shí)根的個(gè)數(shù)(重根按一個(gè)計(jì)).(I)求方程x2+bx+c =0有實(shí)根的概率；(n)求2的分布列和數(shù)學(xué)期望；(出)求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2+bx+c = 0有實(shí)根的概率.解：(I)基本事件總數(shù)為 6X6 =36 ,若使方程有實(shí)根，則 =b24c之0,即b之2而。當(dāng) c=1 時(shí)，b=2,3,4,5,6； 當(dāng) c=2 時(shí), 當(dāng) c = 4 時(shí)，b=4,5,6；當(dāng) c=5 時(shí),目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為 5 4