[高二數(shù)學(xué)]范文橋總結(jié)圓錐曲線的解題全面方法

1、.高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題解法面面觀匯編：范文橋圓錐曲線解答題中的十一題型：幾乎全面版題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題題型五：向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值、最值問題問題八：直線問題問題九：對(duì)稱問題問題十、存在性問題：（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（簡(jiǎn)單題型未總結(jié)）題型二：弦的垂直平分線問題例題1、過點(diǎn)T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是

2、否存在一點(diǎn)E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得即 由韋達(dá)定理，得：。則線段AB的中點(diǎn)為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。解得滿足式此時(shí)?！旧婕暗较业拇怪逼椒志€問題】 這種問題主要是需要用到弦AB的垂直平分線L的方程，往往是利用點(diǎn)差或者韋達(dá)定理產(chǎn)生弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M，結(jié)合弦AB與它的垂直平分線L的斜率互為負(fù)倒數(shù)，寫出弦的垂直平分線L的方程，然后解決相關(guān)問題，比如：求L在x軸y軸上的截距的取值范圍，求L過某定點(diǎn)等等。有時(shí)候題目的條件比

3、較隱蔽，要分析后才能判定是有關(guān)弦AB的中點(diǎn)問題，比如：弦與某定點(diǎn)D構(gòu)成以D為頂點(diǎn)的等腰三角形（即D在AB的垂直平分線上）、曲線上存在兩點(diǎn)AB關(guān)于直線m對(duì)稱等等。例題分析1：已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于解：設(shè)直線的方程為，由，進(jìn)而可求出的中點(diǎn)，又由在直線上可求出，由弦長(zhǎng)公式可求出題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題例題2、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？

4、并證明你的結(jié)論解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個(gè)根，則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為，即故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題例題4、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E： 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，求直線PQ的斜率。 解：(I) ，且

5、BC過橢圓的中心O又點(diǎn)C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點(diǎn)，則橢圓方程為：將點(diǎn)C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個(gè)根，即同理可得：則直線PQ的斜率為定值。題型五：共線向量問題1：如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E.I）求曲線E的方程；II）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足，求的取值范圍.解：（1）NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM|又動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（1，0），A（1，

6、0）為焦點(diǎn)的橢圓.且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2. 曲線E的方程為 （2）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH方程為得設(shè) ，又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為 2：已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C 的右焦點(diǎn)作直線交橢圓C于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若， ，求證：.解：設(shè)橢圓C的方程為 （）拋物線方程化為，其焦點(diǎn)為， 則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即 由，橢圓C的方程為 （2）證明：右焦點(diǎn)，設(shè)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ，代入方程 并整理，得， 又，而 ， ，即，所以 3、已知OFQ的面積S=2, 且。設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦

7、點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過Q， ，當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線方程。解：設(shè)雙曲線方程為， Q（x0, y0）。 ， SOFQ=，。=c(x0c)=。當(dāng)且僅當(dāng)，所以。類型1求待定字母的值例1設(shè)雙曲線C：與直線L：x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，直線L與y軸交于點(diǎn)P，且PA=，求的值思路：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)式，再利用韋達(dá)定理，通過解方程組求a的值。 解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)PA= x1=.聯(lián)立消去y并整理得，(1a2)x2+2a2x2a2=0(*)A、B是不同的兩點(diǎn)，0<a<且a1. 于是x1+x2= 且x1 x2=，即，消去x2得，=，

8、a=，0<a<且a1，a=。類型2求動(dòng)點(diǎn)的軌跡例2如圖2 ，動(dòng)直線與y軸交于點(diǎn)A，與拋物交于不同的兩點(diǎn)B和C, 且滿足BP=PC， AB=AC，其中。求POA的重心Q的軌跡。思路：將向量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)式，消去參數(shù)獲得重心Q的軌跡方程，再運(yùn)用判別式確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，從而確定軌跡的形狀。ABCOPxy解：由得，k2x2+(2k1)x+4=0.由設(shè)P(x,y)，B(x1，y1)，C(x2,y2)， （圖2）則x1+x2=, x1.x2=.由= = 由 =。 消去k得， x2 y6=0 (*) 設(shè)重心Q(x,y)，則，代入(*)式得，3x6y4=0。因?yàn)楣庶c(diǎn)Q的軌跡方程是3x6y

9、4=0（），其軌跡是直線3x6y4=0上且不包括點(diǎn)的線段AB。類型3證明定值問題例3已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線。設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，其中證明：為定值。思路：設(shè)A、B、M三點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量間的共線關(guān)系、和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，再利用方程組、韋達(dá)定理、點(diǎn)在橢圓上滿足方程等證明定值。解：設(shè)橢圓方程為 則直線AB的方程為代入橢圓方程中，化簡(jiǎn)得，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由 與共線，得，。又而于是。因此橢圓方程為設(shè)M(x, y), 由得，因M為橢圓上一點(diǎn)，所以 即 又，則 而代入得，=1，為定值。類型4探索點(diǎn)、線

10、的存在性例4在ABC中，已知B(2, 0), C(2, 0), ADBC于D，ABC的垂心H分有向線段AD 設(shè)P(1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在點(diǎn)H，使成等差數(shù)列，為什么？思路：先將ACBH轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，由此獲得動(dòng)點(diǎn)H的軌跡方程；再將向量的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)（坐標(biāo)）關(guān)系，通過解代數(shù)方程組獲解。解： 設(shè)H(x, y), 由分點(diǎn)坐標(biāo)公式知H為垂心 ACBH，整理得，動(dòng)點(diǎn)H的軌跡方程為 。 ， ， 。假設(shè)成等差數(shù)列，則 即 H在橢圓上 a=2, b=, c=1，P、Q是焦點(diǎn)，即 由得， 聯(lián)立、可得，顯然滿足H點(diǎn)的軌跡方程，故存在點(diǎn)H（0，±），使成等差數(shù)列。類型5求相關(guān)量的

11、取值范圍 例5給定拋物線C：，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，且，求l在軸上截距的變化范圍。思路：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量間的共線關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，再求出l在軸上的截距，利用函數(shù)的單調(diào)性求其變化范圍。解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得，即 由得， 。 聯(lián)立、得，。而當(dāng)直線l垂直于軸時(shí)，不符合題意。因此直線l的方程為或直線l在軸上的截距為或由知，在上遞減的，所以 于是直線l在軸上截距的變化范圍是存在、向量例6、雙曲線，若上存在一點(diǎn)。解：方程為，即。由，消去y得，定值問題例7：是拋物線上的兩點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：（1）兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別是定值

12、；（2）直線經(jīng)過一定點(diǎn)。分析：（1）設(shè)，則又由 （2）直線的方程為，故直線過定點(diǎn)。題型六：面積問題例題1、已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（）設(shè)，。（1）當(dāng)軸時(shí)，。（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)時(shí)，綜上所述。當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值。2、已知橢圓C:=1(ab0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.()求橢圓C的方程;()設(shè)直線l與橢圓

13、C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值.解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為（）設(shè)，（1）當(dāng)軸時(shí)，（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，綜上所述當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值3、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，垂足為（）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；（）求四邊形的面積的最小值解：（）橢圓的半焦距，由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，故，所以，（）（）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r(shí)，的方程為，代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得設(shè)，則，；因?yàn)榕c相交于點(diǎn)，且的斜率為，所以，四邊形的面積當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)（）當(dāng)

14、的斜率或斜率不存在時(shí)，四邊形的面積綜上，四邊形的面積的最小值為題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值、最值問題1、已知的面積為，（1）設(shè)，求正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q（如圖）， 當(dāng) 取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程。解析：（1）設(shè) （2）設(shè)所求的雙曲線方程為，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的坐標(biāo)是或 ，所求方程為2、已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn).（）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（）求證直線AB的斜率為定值；（）求PAB面積的最大值.解：（）由題可得，設(shè)則，點(diǎn)在曲線上，則，從而，得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（

15、）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，則BP的直線方程為：.由得 ，設(shè)，則，同理可得，則，.所以：AB的斜率為定值.（）設(shè)AB的直線方程：.由，得，由，得P到AB的距離為，則。當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)三角形PAB面積的最大值為。3、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（I）求過點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；（II）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。解：（I）圓過點(diǎn)O、F，圓心M在直線上。設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根

16、。記中點(diǎn)則的垂直平分線NG的方程為令得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為4、已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為（1）求點(diǎn)M軌跡的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與（1）中的軌跡交于不同的兩點(diǎn)、（在、之間），試求與面積之比的取值范圍（為坐標(biāo)原點(diǎn)）解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 整理，得（）， （2）如圖，由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為將代入，整理，得，由，解得設(shè)，則令，且且，解得且 ，且故OBE與OBF面積之比的取值范圍是5、已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為 （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值解析：（I

17、）由題意得所求的橢圓方程為， （II）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則， 設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1題型八：直線問題例題1、設(shè)橢圓過點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則

18、且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得即點(diǎn)總在定直線上方法二設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即點(diǎn)總在定直線上2、已知曲線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之和為4（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為橢圓， 其中，則 所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 （2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意當(dāng)直線

19、的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)， 由方程組得則，代入，得即，解得，或所以，直線的方程是或 3、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最大值和最小值；（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。解：（）解法一：易知 所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又 又，即 故由、得或題型九：軌跡問題軌跡法：1直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些

20、條件簡(jiǎn)單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法；例1、已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q（2，0），圓C的方程為，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與的比等于常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。【解析】設(shè)MN切圓C于N，則。設(shè),則 化簡(jiǎn)得（1） 當(dāng)時(shí)，方程為，表示一條直線。（2） 當(dāng)時(shí)，方程化為表示一個(gè)圓。如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線（分別為切點(diǎn)），使得. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【解析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，.由已知，得.因?yàn)閮蓤A半徑均為1，所以.設(shè)，則，即.(或)評(píng)析：1、用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡一般有建

21、系,設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，證明五個(gè)步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補(bǔ)”。2、求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。2定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。例2、已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；【解析】如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為； 已知圓O的方程為 x2+y2=100,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6

22、，0），M為圓O上任一點(diǎn)，AM的垂直平分線交OM于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的方程。【解析】由中垂線知，故，即P點(diǎn)的軌跡為以A、O為焦點(diǎn)的橢圓，中心為（-3，0），故P點(diǎn)的方程為已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，O切直線l于點(diǎn)A，又過B、C作O異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程. 【解析】設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點(diǎn)， 兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|

23、BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓， 以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系， 可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：l O ' PE D C B A 評(píng)析：定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件。 三、相關(guān)點(diǎn)法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x,y表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識(shí)分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然而得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡

24、方程。例3、如圖，從雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N。求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程?！窘馕觥吭O(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x1,y1）則N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2又PQ垂直于直線x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0由解方程組得, 代入雙曲線方程即可得P點(diǎn)的軌跡方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足求點(diǎn)T的軌跡C的方程；【解析】解法一：（相關(guān)點(diǎn)法）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)

25、時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則因此 由得 將代入，可得綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是解法二：（幾何法）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在QF1F2中，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是評(píng)析：一般地：定比分點(diǎn)問題，對(duì)稱問題或能轉(zhuǎn)化為這兩類的軌跡問題，都可用相關(guān)點(diǎn)法。四、參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。例4、在平面直角坐標(biāo)系

26、xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足AOBO（如圖4所示）.求AOB的重心G（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；【解析】解法一：以O(shè)A的斜率k為參數(shù)由解得A（k，k2）OAOB，OB：由解得B設(shè)AOB的重心G（x，y），則消去參數(shù)k得重心G的軌跡方程為解法二：設(shè)AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則 （1）OAOB ,即，(2)又點(diǎn)A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡(jiǎn)得所以重心為G的軌跡方程為。如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).求APB的重心G的軌跡方程.【

27、解析】設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為：五、交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程。可以說是參數(shù)法的一種變種。例5 、拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線AB上的射影M的軌跡。解1（交軌法）：點(diǎn)A、B在拋物線上，設(shè)A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直O(jiān)B得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得

28、，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 又OM的方程為 由消去得yA+yB即得， 即得。所以點(diǎn)M的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓,除去點(diǎn)（0，0）。評(píng)析：用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間的關(guān)系即可。交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。解2（幾何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 可得AB過定點(diǎn)（4p,0）而OM垂直AB，所以由圓的幾法性質(zhì)可知：M點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓。所以方程為，除去點(diǎn)（0，0）。1、已知

29、定點(diǎn)F（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MP到點(diǎn)N，且（1）動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；（2）線l與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的斜率k的取值范圍.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x,y），則 ，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 （2）設(shè)l與拋物線交于點(diǎn)A（x1,y1）,B(x2,y2)，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，則由， 不合題意，故與l與x軸不垂直，可設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k0),則由由點(diǎn)A，B在拋物線又y2=4x, y=kx+b得ky24y+4b=0,所以因?yàn)榻獾弥本€l的斜率的取值范圍是. 題型九：對(duì)稱問題1、例：若橢圓上存在兩點(diǎn)A,B 關(guān)于：對(duì)稱，求的取值范圍解法（1）設(shè)直

30、線AB的方程為由消去得由題意知該方程有兩個(gè)不等式跟 故即設(shè)A,B則 設(shè)AB中點(diǎn)M則，又點(diǎn)M在直線上 即解得解法（2）：設(shè)A,B，AB中點(diǎn)M 又A,B在橢圓上，兩式相減得即也即中點(diǎn)M在上 由求得又必在橢圓內(nèi)部 即解得2、已知實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b的雙曲線S的焦點(diǎn)在x軸上，直線是雙曲線S的一條漸近線，而且原點(diǎn)O，點(diǎn)A（a，0）和點(diǎn)B（0，-b）使等式·成立.（I）求雙曲線S的方程；（II）若雙曲線S上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（I）根據(jù)題意設(shè)雙曲線S的方程為且解方程組得所求雙曲線的方程為解法一（設(shè)而不求法）：（II）當(dāng)k=0時(shí)，雙曲線S上顯然不存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線

31、當(dāng)時(shí)，設(shè)又曲線S上的兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線對(duì)稱，由直線MN的方程為則M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y得顯然即設(shè)線段MN中點(diǎn)為則在直線即即的取值范圍是解法二（點(diǎn)差法）：當(dāng)k=0時(shí)，雙曲線S上顯然不存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線當(dāng)時(shí)，設(shè) 兩式相減整理得 的取值范圍是問題十、存在性問題：（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）1、設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|

32、AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.

33、當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 2、在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和（I）求的取值范圍；（II）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說明理由解：（）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得整理得直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于，解得或即的取值范圍為（）設(shè)，則，由方程，又而所以與共線等價(jià)于，將代入上式，解得由（）知或，故沒有符合題意的常數(shù)3、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值； （）是否存在過點(diǎn)

34、A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解：易知，設(shè)P（x，y），則， ，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值3；當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值4 （）假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k，直線l的方程為 由方程組依題意 當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)C，CD的中點(diǎn)為R，則又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直線，使得|F2C|=|F2D|綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2

35、D| 4、橢圓G：的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，短軸兩端點(diǎn)B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為（1）求此時(shí)橢圓G的方程；（2）設(shè)斜率為k（k0）的直線m與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)E、F，Q為EF的中點(diǎn)，問E、F兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)P（0，）、Q的直線對(duì)稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由解：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，線段F1F2與線段B1B2互相垂直平分，故橢圓中心即為該四點(diǎn)外接圓的圓心故該橢圓中即橢圓方程可為，H（x,y）為橢圓上一點(diǎn)，則，則有最大值，（舍去），所求橢圓方程為（2）設(shè)，則由 兩式相減得又直線PQ直線m 直線PQ方程為將點(diǎn)Q（）代

36、入上式得，由得Q（），Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部，由此得故當(dāng)時(shí)，E、F兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱5、已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 （I）求，的值；（II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由。解：（）設(shè) 當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，其方程為到的距離為 ，故 ， ， 由 ，得 ，=（）C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立。由 （）知橢圓C的方程為+=6. 設(shè) () 假設(shè)上存在點(diǎn)P，且有成立，則，整理得 故 將 于是 , =, ， 代入解得，此時(shí)于是=， 即 因此， 當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)， 。（）當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立。綜上，C上存在點(diǎn)使成立，此時(shí)的方程為.6、已知直線經(jīng)過橢圓 的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)。 （I）求橢圓的方程； （）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值； （）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為（）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 即又，由得 故又 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立