高中數(shù)學(xué)課件精選--隨機(jī)變量的方差1

1、2.3.22.3.2離散性離散性隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的方差溫故而知新溫故而知新1、離散型隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量 X 的的均值均值（數(shù)學(xué)期望）（數(shù)學(xué)期望）1niiiEXx p2、均值的性質(zhì)、均值的性質(zhì)()E aXbaEXb3、兩種特殊分布的均值、兩種特殊分布的均值（1）若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則服從兩點(diǎn)分布，則EXp（2）若若 ，則，則( , )XB n pEXnp反映了離散型隨機(jī)變量取值的反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平平均水平.二、探究二、探究要從兩名同學(xué)中挑選出一名，代表班級(jí)參加射擊比賽要從兩名同學(xué)中挑選出一名，代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，第一名同學(xué)擊中目標(biāo)

2、靶的環(huán)數(shù)根據(jù)以往的成績(jī)記錄，第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù) 的分布列為的分布列為1X1XP56789100.030.090.200.310.270.10第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù) 的分布列為的分布列為2X2XP567890.010.050.200.410.33請(qǐng)問應(yīng)該派哪名同學(xué)參賽？請(qǐng)問應(yīng)該派哪名同學(xué)參賽？1,EX 2EX 88發(fā)現(xiàn)兩個(gè)均值相等發(fā)現(xiàn)兩個(gè)均值相等因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.（一）、隨機(jī)變量的方差（一）、隨機(jī)變量的方差（1）分別畫出分別畫出 的分布列圖的分布列圖.12,XXO5 6 71098P1X0.

3、10.20.30.40.5O5 6 798P2X0.10.20.30.40.5（2）比較兩個(gè)分布列圖形，哪一名同學(xué)比較兩個(gè)分布列圖形，哪一名同學(xué)的成績(jī)更穩(wěn)定？的成績(jī)更穩(wěn)定？ 除平均中靶環(huán)數(shù)以外，還有其他除平均中靶環(huán)數(shù)以外，還有其他刻畫兩名同學(xué)各自射擊特點(diǎn)的指標(biāo)嗎？刻畫兩名同學(xué)各自射擊特點(diǎn)的指標(biāo)嗎？1 1、定性分析、定性分析第二名同學(xué)的成績(jī)更穩(wěn)定第二名同學(xué)的成績(jī)更穩(wěn)定2 2、定量分析、定量分析怎樣定量刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)怎樣定量刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性？定性？樣本的穩(wěn)定性是用哪個(gè)量刻畫樣本的穩(wěn)定性是用哪個(gè)量刻畫的？的？方差方差方差反映了這組方差反映了這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況 在一組數(shù)：在一組數(shù)：

4、x1 1, ,x2 2 , , ,xn 中，各數(shù)據(jù)的中，各數(shù)據(jù)的平均數(shù)為平均數(shù)為 ，則這組數(shù)據(jù)的方差為：，則這組數(shù)據(jù)的方差為：x 222212211()()() 1nniiSxxxxxxnxxn 類似于這個(gè)概念類似于這個(gè)概念, ,我們可以定義隨機(jī)變量的方差我們可以定義隨機(jī)變量的方差 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 離散型離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差: :22211()()()iinnDxEpxEpxEp 則稱則稱為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 的方差的方差. .21()niiixEp 一般地一般地, ,若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量 的概率分布列為：的概率分布列為：P1xix2x1p2pipn

5、xnp 稱稱D 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差. . 定義定義 2()即DE 22()EE3 3、對(duì)方差的幾點(diǎn)說明、對(duì)方差的幾點(diǎn)說明（1 1）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值變量取值偏離于均值的平均程度偏離于均值的平均程度. .方差或標(biāo)準(zhǔn)差方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小. .（2 2）隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何聯(lián)系與隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何聯(lián)系與區(qū)別？區(qū)別？隨機(jī)變量的方差是常數(shù)隨機(jī)變量的方差是常數(shù)，而，而樣本的方差樣本的方差是隨是隨著樣本的不同而著樣本的不同而變化變化的，

6、因此樣本的方差是的，因此樣本的方差是隨機(jī)變量隨機(jī)變量. .對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近總體方差，因此樣本方差越來越接近總體方差，因此常用樣常用樣本方差來估計(jì)總體方差本方差來估計(jì)總體方差. . 1. 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量x的分布列的分布列x01234P0.10.20.40.20.1求求D 和和 . 0 0.1 1 0.22 0.43 0.24 0.12E 解：解：22222(02)0.1 (12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.11.2D 1.21.095D2. 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x 滿足滿足P（xc）1，其中

7、，其中c為常數(shù)，為常數(shù)，求求Ex 和和 Dx.Exc1cDx（cc）210 練習(xí)練習(xí) 結(jié)論結(jié)論1： 則則 ; ;,ab 若若EaEb 結(jié)論結(jié)論2：若：若B(n，p)，則，則E= np.2()則 D aba D 2( ,)1若，則（)B n pDnpp 結(jié)論結(jié)論 1,若ab（3）若若 服從兩點(diǎn)分布，則服從兩點(diǎn)分布，則(1)Dpp結(jié)論結(jié)論3：若若 服從兩點(diǎn)分布，則服從兩點(diǎn)分布，則Ep1.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量x的分布列，則的分布列，則Ex與與Dx的值為的值為( ) (A) 0.6和和0.7 (B)1.7和和0.3 (C) 0.3和和0.7 (D)1.7和和0.212.已知已知xB(100,0.5

8、),則則Ex=_,Dx=_, x=_. E(2x-1)=_, D(2x-1)=_, (2x-1)=_ 12P0.30.7D5025599100103、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占1，現(xiàn)，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其次品數(shù)為件商品，設(shè)其次品數(shù)為X，求，求EX和和DX.2，1.98 練習(xí)練習(xí) 4.若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布，且服從二項(xiàng)分布，且E =6， D =4,則此二項(xiàng)分布則此二項(xiàng)分布是是 。設(shè)設(shè)二項(xiàng)分布為二項(xiàng)分布為 B(n,p) ,則則E =np=6D =np(1-p)=4n=18p=1/3 試比較兩名射手的射擊水平試比

9、較兩名射手的射擊水平.如果其他對(duì)手的如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在射擊成績(jī)都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，應(yīng)派哪環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？一名選手參賽？ 例例1 1、已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，、已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)所得環(huán)數(shù)x x1 1、x x2 2的分布列如下：的分布列如下：x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4 如果對(duì)手如果對(duì)手在在8環(huán)左右環(huán)左右,派派甲甲. 如果對(duì)手如果對(duì)手在在9 9環(huán)左右環(huán)左右, ,派派乙乙. .例例2 2隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均

10、勻的骰子隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子, ,求求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差. .解：拋擲散子所得點(diǎn)數(shù)解：拋擲散子所得點(diǎn)數(shù)X X 的分布列為的分布列為161616161616P6 65 54 43 32 21 1X1111111234563.5666666EX 2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5)2.9266DX 從而從而;1.71XDX.還還有有解解法法不？不？例例3:3:有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你, ,而你能而你能獲得如下信息：獲得如下信息：甲單位不

11、同職位月工資甲單位不同職位月工資X1/元元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資乙單位不同職位月工資X2/元元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解：解：1400,140021 EXEX112000,4000021 DXDX 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以兩家單位的工資均，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對(duì)集中，乙單位不同值相等，但甲單位不同職位的工資相對(duì)集中，乙單

12、位不同職位的工資相對(duì)分散這樣，如果你希望不同職位的工資職位的工資相對(duì)分散這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位差距大一些，就選擇乙單位1212,EXEXDXDX小結(jié)小結(jié)2、求離散型隨機(jī)變量、求離散型隨機(jī)變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的一般的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的一般步驟：步驟： X根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出 DX理解理解X 的意義，寫出的意義，寫出X 可能取的全部值；可能取的全部值；求求X X取各個(gè)值的概率，寫出分布列；取各個(gè)值的概率，寫出分布列；根據(jù)分布列，由期望的定義

13、求出根據(jù)分布列，由期望的定義求出 EXEX； 1、熟記方差計(jì)算公式、熟記方差計(jì)算公式21()niiiDXxEXp2()E XEX22()EXEX5 5、對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量、對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量 和和 在在 與與 相等或等或很接近時(shí)，比較很接近時(shí)，比較 和和 ，可以確定哪個(gè)隨，可以確定哪個(gè)隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們的需要的需要.1X2X1EX2EX1D X2D X4 4、掌握方差的線性變化性質(zhì)、掌握方差的線性變化性質(zhì)2()D aXba DX3、能熟練地直接運(yùn)用兩個(gè)特殊分布的、能熟練地直接運(yùn)用兩個(gè)特殊分布的方差公式方差公式（1 1）若）若 X X

14、服從兩點(diǎn)分布，則服從兩點(diǎn)分布，則(1)DXpp（2）若若 ，則，則 ( , )XB n p(1)DXnpp課本第課本第68頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題2.3 A組第組第1，5題題課后作業(yè)課后作業(yè)補(bǔ)充作業(yè)：一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共補(bǔ)充作業(yè)：一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有件，其中有n件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收抽檢規(guī)件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查(取出的產(chǎn)品不放回箱子取出的產(chǎn)品不放回箱子)，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就

15、立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品箱產(chǎn)品(1)若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的條件下，記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為的條件下，記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為X，求，求X的分布列和的分布列和數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望機(jī)動(dòng)練習(xí)機(jī)動(dòng)練習(xí)117100.8 ppnBX,n1.6,DX8,EX),(1則則，、已知、已知 DD則則，且，且、已知、已知,138132 3. 3.有場(chǎng)賭博，規(guī)則如下：如擲一個(gè)骰子，有場(chǎng)賭博，規(guī)則如下：如擲一個(gè)骰子，出現(xiàn)出現(xiàn)1 1，你贏，你贏8 8元；出現(xiàn)元；出現(xiàn)2 2或或3 3或或4 4，你輸，

16、你輸3 3元；出元；出現(xiàn)現(xiàn)5 5或或6 6，不輸不贏這場(chǎng)賭博對(duì)你是否有利，不輸不贏這場(chǎng)賭博對(duì)你是否有利? ? 1111830 .6236E 對(duì)你不利對(duì)你不利! !勸君莫參加賭博勸君莫參加賭博. .830P161213解：輸贏金錢為隨機(jī)變量解：輸贏金錢為隨機(jī)變量 則有分布列為：則有分布列為：4隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布列如下：的分布列如下： 其中其中a，b，c成等差數(shù)列若成等差數(shù)列若E(X) ，則，則D(X)的值是的值是 _X101Pabc解析：解析：abc1.又又2bac，故故b由由E(X)故故aD(X)答案：答案：11,33ac , ,得得 對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X的均值的均值(期望期望)的理解

17、：的理解：(1)均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義上的平均；均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義上的平均；(2)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，也就是說隨的分布列唯一確定，也就是說隨 機(jī)變量機(jī)變量X可以取不同的值，而可以取不同的值，而E(X)是不變的，它描述的是是不變的，它描述的是 X取值的平均狀態(tài)；取值的平均狀態(tài)；(3)E(X)的公式直接給出了的公式直接給出了E(X)的求法的求法 (2010衡陽(yáng)模擬衡陽(yáng)模擬)一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有件，其中有n件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是

18、否接收抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查接收抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查(取出的產(chǎn)取出的產(chǎn)品不放回箱子品不放回箱子)，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品(1)若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的條件下，記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為的條件下，記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為X，求，求X的分布列和的分布列和數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（1）利用古典概型易求）利用古典概型易求.（2）X的

19、取值為的取值為1、2、3，求出分布列代入期望，求出分布列代入期望 公式公式.【解【解】(1)設(shè)設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件為事件A，n2.(2)X的可能取值為的可能取值為1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=X的概率分布列為：的概率分布列為：X123P1828109()123.5454545E X 1(2010河南六市聯(lián)考河南六市聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的招聘面試公司規(guī)定面試合格者可簽約甲、乙面試合格招聘面試公司規(guī)定面試合格者可簽約甲、乙面試合格 就就簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽簽約；

20、丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽約設(shè)每人面試合格的概率都是約設(shè)每人面試合格的概率都是 ，且面試是否合格互不，且面試是否合格互不影響求：影響求： (1)至少有三人面試合格的概率；至少有三人面試合格的概率； (2)恰有兩人簽約的概率；恰有兩人簽約的概率； (3)簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望解：解：(1)設(shè)設(shè)“至少有至少有3人面試合格人面試合格”為事件為事件A，則則P(A)(2)設(shè)設(shè)“恰有恰有2人簽約人簽約”為事件為事件B，“甲、乙兩人簽約，丙、丁兩人都不簽約甲、乙兩人簽約，丙、丁兩人都不簽約”為事件為事件B1；“甲、乙兩人都不簽約，丙、丁兩人簽約甲、乙兩人都不簽約，丙、丁兩人簽約

21、”為事件為事件B2；則：則：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)(3)設(shè)設(shè)X為簽約人數(shù)為簽約人數(shù)X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P52024161620()01234.81848181819E X (2010貴陽(yáng)模擬貴陽(yáng)模擬)有甲、乙兩個(gè)建材廠，都想投標(biāo)有甲、乙兩個(gè)建材廠，都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè)，為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩建材參加某重點(diǎn)建設(shè)，為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)，其分布列如下：拉強(qiáng)度指標(biāo)，其分布

22、列如下：舉一反三舉一反三1. 某有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)設(shè)有A、B兩組相互獨(dú)立的問題，答對(duì)問題A可贏得獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，答對(duì)問題B可贏得獎(jiǎng)金6萬(wàn)元.規(guī)定答題順序可任選，但只有一個(gè)問題答對(duì)后才能解答下一個(gè)問題，否則中止答題.假設(shè)你答對(duì)問題A、B的概率依次為 、 .若你按先A后B的次序答題，寫出你獲得獎(jiǎng)金的數(shù)額的分布列及期望值E.1213039p解析： 若按先A后B的次序答題，獲得獎(jiǎng)金數(shù)額的可取值為0,3(萬(wàn)元)，9（萬(wàn)元）.P（=0）= , P（=3）= ,P（=9）= . 的分布列為111221111233111236121316題型二題型二 求隨機(jī)變量的方差求隨機(jī)變量的方差【例2】編號(hào)1，2，3的三位學(xué)生隨意

23、入座編號(hào)1，2，3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生人數(shù)是X.（1）求隨機(jī)變量X的概率分布列；（2）求隨機(jī)變量X的期望與方差.的數(shù)學(xué)期望為E（）= 1110392.5236 分析 （1）隨機(jī)變量X的意義是對(duì)號(hào)入座的學(xué)生個(gè)數(shù)，所有取值為0,1,3.若有兩人對(duì)號(hào)入座，則第三人必對(duì)號(hào)入座.由排列與等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用數(shù)學(xué)期望與方差公式求解.X013P解 （1）P（X=0）= ,P（X=1）= ,P（X=3）= ,故X的概率分布列為 (2)E(X)= D(X)= 33213A133312CA33116A1312161110131326 2221110 11 13 11326舉一反三舉一反三2. 設(shè)在15個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品，每次任取1個(gè)，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的個(gè)數(shù).（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).學(xué)后反思 求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟：（1）寫出X的所有取值；（2）計(jì)算P（X=xi）; (3)寫出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定義求出D(X).解析： (1)P(X=0)= , P(X=1)= ,P(X=2)= .故X的分布列為 (2)X的均值E(X)和方差D(