三角函數重心移向函數ppt課件

1、三角函數的重心移向函數三角函數的重心移向函數一種經典的說法是：三角函數存在的理由是加法定理一種經典的說法是：三角函數存在的理由是加法定理. .三角函數的重心何在？三角函數的重心何在？所謂加法定理，所指的是：和差角公式、倍半角公所謂加法定理，所指的是：和差角公式、倍半角公式、和差化積公式與積化和差公式等式、和差化積公式與積化和差公式等. .一切這些，講的都是三角函數式的恒等變形一切這些，講的都是三角函數式的恒等變形. . 所謂重心的挪動，難道三角的重心曾經不在這里嗎？所謂重心的挪動，難道三角的重心曾經不在這里嗎？請看請看20192019年的三角函數的考試年的三角函數的考試. .前臺后庫前臺后庫1

2、 120192019年高考數學大綱，要求堅持平穩(wěn)年高考數學大綱，要求堅持平穩(wěn). .2019年年中的三角函數中的三角函數2 2試題設計的創(chuàng)新程度，要符合中學教學實踐與學生實踐試題設計的創(chuàng)新程度，要符合中學教學實踐與學生實踐. .3 3三角函數、立體幾何兩個模塊的詳細要求降低三角函數、立體幾何兩個模塊的詳細要求降低4 4易、中、難三種題型設計的比例，容易題和中檔題為主易、中、難三種題型設計的比例，容易題和中檔題為主體，較難題不超越體，較難題不超越30%30%，中檔題和容易題不低于，中檔題和容易題不低于70%.70%.修訂后的修訂后的20192019年考綱有如下引人關注的幾點：年考綱有如下引人關注的

3、幾點：這里，明白無誤地聲明，三角函數的這里，明白無誤地聲明，三角函數的“詳細要求降低詳細要求降低. .當年的考卷兌現了諾言，三角函數的要求確實降低了當年的考卷兌現了諾言，三角函數的要求確實降低了. .【例【例1】 (2019年全國甲卷年全國甲卷 理理1) sin210=(A) (B) (C) ( D )23232121【例【例2】 (2019年全國甲卷年全國甲卷 文文1) cos330=(A) (B) ( C ) (D)23232121【點評】【點評】 此題調查函數，是函數求值問題此題調查函數，是函數求值問題. 函數式為函數式為 y = f (x) = sin x ( 或或cos x )求求

4、x =210( 或或 x = 330)【例【例1】 (2019年全國甲卷年全國甲卷 理理1) sin210=(A) (B) (C) ( D )23232121【例【例2】 (2019年全國甲卷年全國甲卷 文文1) cos330=(A) (B) ( C ) (D)23232121【闡明】【闡明】 此題對此題對“恣意角降低要求作了解釋：恣意角的實踐恣意角降低要求作了解釋：恣意角的實踐意義是將三角形的內角擴展到意義是將三角形的內角擴展到0到到360之間之間.這就是考題對考綱的兌現這就是考題對考綱的兌現.關于考點要求的四個層次：了解、了解、掌握和運用，人們對關于考點要求的四個層次：了解、了解、掌握和運

5、用，人們對于于“了解和了解和“了解，從來就很模糊，由于它們在命題中不具了解，從來就很模糊，由于它們在命題中不具備操作性備操作性. . “了解降成了解降成“了解了解“恣意角的概念和弧度的意義降低要求之后，三角函數的大恣意角的概念和弧度的意義降低要求之后，三角函數的大題也就隨之降低了要求題也就隨之降低了要求. .有的試卷，單一的三角函數的試題有有的試卷，單一的三角函數的試題有能夠不出如今大題中能夠不出如今大題中. .新大綱提出這種變動，只在通知人們，對此考點降低了要求新大綱提出這種變動，只在通知人們，對此考點降低了要求. .對對“弧度意義降低要求后，人們至少不會在如下問題上大做弧度意義降低要求后，

6、人們至少不會在如下問題上大做文章了：文章了： 設設x x為銳角，求證：為銳角，求證：sinx x tanxsinx x tanx【分析】【分析】 求單調區(qū)間，是在研討函數的通性求單調區(qū)間，是在研討函數的通性. 這里只不過把三角這里只不過把三角函數當成了一個詳細的函數而已函數當成了一個詳細的函數而已. 【例【例3】 2019年年 全國乙卷全國乙卷 理理12 函數函數 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調增區(qū)間是的一個單調增區(qū)間是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B) (C) (D)欲求欲求 y = f (x)的一個單調增區(qū)間，易想到先一致的一個單調增區(qū)間，易想到

7、先一致 y = f (x)中的角，中的角，這在函數式的變換中稱作這在函數式的變換中稱作“自變量的集元自變量的集元.【分析】【分析】 為了為了“集元，可將集元，可將 向向 x 一致一致. 這可經過將這可經過將cos2 降冪來實現降冪來實現. 然后將然后將y = f (x)化成二次函數型，化成二次函數型，再根據復合函數的單調性求解再根據復合函數的單調性求解.2x【例【例3】 2019年年 全國乙卷全國乙卷 理理12 函數函數 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調增區(qū)間是的一個單調增區(qū)間是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B) (C) (D)2x在這里，把三角函數的

8、單調性化為復合二次函數的單調性求解在這里，把三角函數的單調性化為復合二次函數的單調性求解.【解析】【解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos22x2cos12cos2xx.45)21(cos1coscos22xxx【例【例3】 2019年年 全國乙卷全國乙卷 理理12 函數函數 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調增區(qū)間是的一個單調增區(qū)間是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B) (C) (D)【解析】【解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos22x2cos12cos2xx.45)21(cos1coscos22xxx( 1 t 1

9、).xxtcos)(45)21()(2ttfy【插話】【插話】 于是三角函數的問題轉化為二次函數求解于是三角函數的問題轉化為二次函數求解.45)21()(2ttfy只需探求使得只需探求使得 和和 ( 1 t 1)單調性一致單調性一致的的x的范圍即可的范圍即可.xxtcos)()(tfy 而當而當 時，時， 單調遞減，單調遞減，323 xxxtcos)(此時此時 ，并且存在，并且存在 上上 單調遞減單調遞減. 21)(21tf21 ,21)(tfy 因此時因此時y = f (x)的一個單調區(qū)間為的一個單調區(qū)間為 ，應選，應選A.32 ,3【續(xù)解】【續(xù)解】 對二次函數對二次函數 ( 1 t 1).

10、【點評】【點評】 此題以三角為載體，重點調查了函數的單調性、此題以三角為載體，重點調查了函數的單調性、二次函數的性質、復合函數的單調性二次函數的性質、復合函數的單調性.三角函數的值域等，在這里只作為復合函數的一員三角函數的值域等，在這里只作為復合函數的一員. 而三角函數的二倍角的余弦公式，在這里只充任了恒等而三角函數的二倍角的余弦公式，在這里只充任了恒等變換中的一個工具變換中的一個工具.雖然此題是一個選擇題，但涉及到的內涵非常豐富，特雖然此題是一個選擇題，但涉及到的內涵非常豐富，特別是函數思想在解題中的運用別是函數思想在解題中的運用.【 例例4】 全國甲卷全國甲卷 理理2文文3函數函數 y =

11、 |sin x|的一個單調增區(qū)間是的一個單調增區(qū)間是 (A) (B) ( C ) (D)4 ,443 ,423 ,2 ,23【解【解1】 籠統(tǒng)思想變式：籠統(tǒng)思想變式： 【點評】【點評】 此題考函數，正弦函數與絕對值函數的復合此題考函數，正弦函數與絕對值函數的復合22cos1sin |sin| 2xxxy按復合函數的單調性易知，此題答案為按復合函數的單調性易知，此題答案為C.【 例例4】 全國甲卷全國甲卷 理理2文文3函數函數 y = |sin x|的一個單調增區(qū)間是的一個單調增區(qū)間是 (A) (B) ( C ) (D)4 ,443 ,423 ,2 ,23【解【解2】 直覺思想看圖：直覺思想看圖

12、：【點評】【點評】 此題考函數的圖象變換此題考函數的圖象變換. 是數形結合的代表作是數形結合的代表作.看圖易知，此題答案為看圖易知，此題答案為C.三角函數三角函數 轉向轉向“函數函數【例【例5】 (全國甲卷全國甲卷 理理17) 在在 ABC 中，知內角中，知內角A= ，邊，邊 BC=2 . 設內角設內角B = x, 周長周長為為y.求函數求函數 y = f (x)的解析式和定義域；的解析式和定義域；求求 y 的最大值的最大值.33【評說】【評說】 此題考函數此題考函數函數建模函數建模. 三角函數只充任了一個三角函數只充任了一個“載體載體將三角函數納入普通函數之將三角函數納入普通函數之 列，調查

13、的是函數的共性：函數的定義域、對應法那么、值域、列，調查的是函數的共性：函數的定義域、對應法那么、值域、函數運用等函數運用等. 此題預示：三角此題預示：三角“專題，已從大題中淡出專題，已從大題中淡出. 【分析】【分析】 此題此題“大中含小，小到什么程度呢？連初中生都可大中含小，小到什么程度呢？連初中生都可拿到不少的分數拿到不少的分數 . 【題【題5】 (甲卷甲卷 理理17 題題10分文分文18 題題12分分) 在在 ABC 中，知內角中，知內角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設內角設內角B = x, 周長為周長為 y.求函數求函數 y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 求求

14、y 的最大值的最大值.33大中含小的“大題 【分割】【分割】 對題對題，求函數的解析式和定義域，而定義域是獨立，求函數的解析式和定義域，而定義域是獨立的，即三角形的，即三角形B角的取值范圍為角的取值范圍為 0 B ，假設，假設()的總分值的總分值是是4分，那么這位初中生曾經拿到了分，那么這位初中生曾經拿到了2分分.32 【分割【分割 】 由正弦定理由正弦定理 . 42332sinsinsinABCBCACAB 那么三角形周長那么三角形周長 AB+BC+ C ACBsin4sin432)sin(sin432CB【點評】【點評】 那位初中生假設能寫到此步，那么至少再添那位初中生假設能寫到此步，那么

15、至少再添1分分.【題【題5】 (甲卷甲卷 理理17 題題10分文分文18 題題12分分) 在在 ABC 中，知內角中，知內角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設內角設內角B = x, 周長為周長為 y.求函數求函數 y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 求求 y 的最大值的最大值.33大中含小的“大題又又 B + C =- A =32故有故有.32,32BCCB令令 y = AB + BC + CA，B = x)3cos(3432xy)32 , 0(x那么由那么由1得函數得函數 y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域2cos2sin832CBCB1周長周長留給高中生

16、的留給高中生的 僅剩下面僅剩下面1 1分分【題【題5】 (甲卷甲卷 理理17 題題10分文分文18 題題12分分) 在在 ABC 中，知內角中，知內角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設內角設內角B = x, 周長為周長為y.求函數求函數 y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 求求 y 的最大值的最大值.33大中含小 頭重腳輕 實踐上，沒有實踐上，沒有()的結果，題的結果，題()是照樣可解的是照樣可解的這是解梯式這是解梯式大題的一種迂回戰(zhàn)略大題的一種迂回戰(zhàn)略. 【分析】【分析】 用解析式用解析式 求其最大值曾經求其最大值曾經不是難事了不是難事了. 命題人將命題人將()、()兩小

17、題進展捆綁，看來有兩小題進展捆綁，看來有“頭重頭重腳輕之嫌，由于相比之下，第腳輕之嫌，由于相比之下，第()小題偏重小題偏重. )3cos(3432xy【單解【單解】 與題與題()分別分別 用平面幾何法求解用平面幾何法求解 設設 y 的最大值對應的最大點為的最大值對應的最大點為 B = x0 .【題【題5】 (甲卷甲卷 理理17 題題10分文分文18 題題12分分) 在在 ABC 中，知內角中，知內角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設內角設內角B = x, 周長為周長為y.求函數求函數 y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 求求 y 的最大值的最大值.33迂回解 另番天地 內角內角 C 與與 B 是對稱關系，設是對稱關系，設 y 的最大值對應的點的最大值對應的點 C = x0 那么也有那么也有B=x0. 又又 A= , 故故 C =B = ， 從而從而 ABC 為為 正三角形正三角形. 所以所以 y 的最大值為的最大值為3BC = 6 .333三角函數的重心移向函數三角函數的重心移向函數過去的經典說法是：三角函數存在的理由是加法定理過去的經典說法是：三角函數存在的理