湖北省黃岡市2020屆高三上學(xué)期第五屆高考測評活動元月調(diào)考(期末)數(shù)學(xué)(理)試題

1、2020年湖北省第五屆高考測評活動高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷（理科）2020.1.7本試題卷共4頁，22題。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1 . 已知集合 A=x|y=、：m,集合 B=x|xx2 <0,則 aC!b =A.B. x|x ：:1C. x|0 :二 x dD. x|x :二 0答案：D2 .復(fù)數(shù)z =4上出的虛部為1 2iA. iB. -iC.1D. -1答案：D3. 若直線x+y+a =0平分圓x2 +y2 _2x+4y+1 =0的面積，貝（J a的值為A. 1B.

2、-1C. 2D. -2答案：A4. 已知向量 AB =（1,2） , BC =（x,-5），若 AB BC =7 ,則 |AC |=A. 5B. 4.2C. 6D. 5.2答案：A5.圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”），它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計了一個圖形，它是由三個全等2所示，若AD=5, BD=3,則在整個的鈍角三角形與中間一個小正三角形拼成一個大正三角形，如圖圖形中隨機取點，此點來自中間一個小正三角形（陰影部分）的概率為6.7.A. _9_64C. -225答案:A. 5C. 13答案:將甲、D

3、圖2x 2y _1*CB. 449D.2y滿足約束條件2x +y 21 ,則z =3x -2y的最小值為x。y _ 0B. 5D.-3乙、丙、丁四人分配到 A, BC三所學(xué)校任教，每所學(xué)校至少安排1人，則甲不去 A學(xué)校的不同分配方法有A.18 種B.24 種C.32 種D.36 種答案：B8.已知實數(shù)x >0 , y A0 ,則“ xy <1 ”是 “ 2x+2y M4” 的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：BITIT9.將函數(shù)f (x) =2sin(2x -)的圖象向左平移 -個單位，再向上平移1個單位，得到g(x)的圖象.若g(xj

4、.66g%) =9,且xi，x2引-2元,2汨，則xi -x2的最大值為A.二B. 2二C. 3二D. 4二答案：C1210 .關(guān)于函數(shù)f (x) = (1 +)有下列結(jié)論： x e -1圖像關(guān)于y軸對稱；圖像關(guān)于原點對稱；在 (,0)上單調(diào)遞增；f(x)恒大于0.其中所有正確結(jié)論的編號是A.B.C.D.答案：D11 .已知拋物線C： x2 =2py的焦點為F ,定點M (2,3,0),若直線FM與拋物線C相交于A, B兩點(點B在F , M中間)，且與拋物線 C的準(zhǔn)線交于點 N ,若| BN |二7 | BF | ,則AF的長為A. 7B. 18C. 7D. 36答案：C1 1512 .如圖

5、，在 MBC中，cos/BAC=，點D在線段BC上，且BD=3DC, AD =，則&ABC的面積的 42最大值為B. 4A. 3, 2C. ,15D. 2. 3答案：C二、填空題(本大題共 4小題，每題5分，共20分)13 .在log2 0.2, 20.2, 0.20.3三個數(shù)中，則最大的數(shù)為 .答案：2。2214 .已知F是雙曲線C： x2匕=1的一個焦點，點 P在C上，O為坐標(biāo)原點，若|OP|=|OF |,則AOPF的面 3積為.答案：3215 .設(shè)數(shù)列a。滿足3 =a ,(，十1)(1 a。)=2a0(nN*),若數(shù)列，的前2019項的乘積為 3,則a =答案：216 .已知函數(shù)

6、 f (x) =(x+1) sinx+cosx ,若對于任意的 必 X2 w 0 衛(wèi)(用 #x2),均有 | f (xj - f (x2) |< a |ex1ex2 | ''2成立，則實數(shù)a的取值范圍為 .答案：a _1 三、解答題：本大題有 6小題，共60分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17 .(本小題滿分10分)已知函數(shù) f (x) =2sin xcos(x + ) +-.32(1)求f (現(xiàn))的值；12(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間./1)73【斛析】(I)因為 f(x) = 2sinx cos x -sin x + 1222 2= 1si n&

7、gt;2一一 U1下2 -3 six 235 二5 二 二 1l 八所以 f j=sin + 1=5分.12632(2) f(x)的最小正周期 T=2=m7分令 2k 兀W2x + 蕓2k + 解得 k冗Ex Ek ：+ 2321212_ .5冗, 冗_(dá) .所以f (x )的單調(diào)增區(qū)間為ku- -,k什而(YZ) 10分dO (本小題滿分12分)18.已知數(shù)列an滿足 a1 =1 , an+an+=4n1, n=1,2,3 ,(1)求數(shù)列%的通項;(2)設(shè) Sn =a1a2 -a2a3 a3a4 a4a5*a2na2n -a2na2n+，求 Sn .【解析】(1)an +an+ =4n1,n

8、=1,2,3 二 an+an =4(n1)1,n =2,3,4 一 得 an + an.=4, n =2,3 2分n 1當(dāng)n為奇數(shù)，為=1*4一一1n2n T,當(dāng)n為偶數(shù)，為=2十4口一1戶”212n -1,n為奇數(shù) 所以an =12n 2,n為偶數(shù)(2)Sn=a2(a1- a3)'a4(a3一 a5)' 'a2n(a2n一a2n1)2 4n-2 n 212分= (Y)(a2 a4 %：a2n) = 4 = -8n19.(本小題滿分12分)已知 f (x) =kxsin 2x+asin x (k, a 為實數(shù)).1320.(1)當(dāng)k=0, a =2時，求f(x)在0m上

9、的最大值；(2)當(dāng)k=4時，若f(x)在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng) k=0, a =2時，f (x) =_sin2x+2sin x'2f (x) = -2cos2x 2cosx - -4cos x 2cos x 2 =2(2cosx 1)(1 - cosx)x吟2冗T,2冗 (-,h)3f (x)+0f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)6分(2) f (x)在 R 上單調(diào)遞增，貝U f'(x) =4 2(cos2x sin2 x)+acosx 20對 VxW R恒成立.得 4cos2 x -a cosx -6 <0 ,設(shè) t =cosx w 1-1,1 則g(t

10、) <0在1,1上恒成立，由二次函數(shù)圖象g(t)=4t2at6,Ig(-1)<0/日r ,得一2WaW2.g(1)£012分(本小題滿分12分)22已知橢圓r：二十與=1(a Ab >0)的離心率為，點A為該橢圓的左頂點，過右焦點F(c,0)的直線l與橢a b2圓交于B, C兩點，當(dāng)BC_Lx軸時，三角形 ABC的面積為18.(1)求橢圓F的方程；(2)如圖，當(dāng)動直線 BC斜率存在且不為0時，直線x = c分別交直線 AB, AC于點M、N,問x軸上是否存在點P,使得PM _LPN ,若存在求出點 P的坐標(biāo)；若不存在說明理由.'c 1a -22【解析】（1）

11、由已知條件得W1Mja+cXtnlg,解得a=4,b=2732，a2.2,2a =b +c2所以橢圓r的方程為：十162y12=1.(2)設(shè)動直線BC的方程為y = k(x2), B(x1,y1)|、C(x2,y2),則直線 AB、AC的方程分別為y = -y （x +4 ）和 y =x1 4y2x2 4(x+4 ),所以點M、N的坐標(biāo)分別為 6y1'6y2M 2,y-、N 2,】x#4J、 X2+4Jy =k x -2聯(lián)立x2 y2得（3+4k2 ）x2 -16k2x+16k2 48 = 0 ,二116 12所以16k2x1 x2 =37"1'216k2-4823

12、4k于是yM Ln =6y1x1 4 x2436k2 x1 -2 x2 -2X 4 x> 436k22216k2-48 16k2,：-22+4v 3 + 4k 3 + 4k16k2 -48 ， 16k2423 4k 3 4k-91610分2.假設(shè)存在點P（t,0 ）滿足PM _LPN ,則（t2） +yMyN=0,所以t=1或5,12分所以當(dāng)點P為（_1,0.（5,0 ）時，有PM _LPN .21.（本小題滿分12分）黃岡“一票通”景區(qū)旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程，持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市19家簽約景區(qū).為了解市民每年旅游消費支出情況

13、（單位：百元）相關(guān)部門對已游覽某簽約景區(qū)的游客進(jìn)行隨機問卷調(diào)查，并把得到的數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別0,20)2030)40,電網(wǎng)他）80,100)105M4001S812（1）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為市民的旅游費用支出服從正態(tài)分布N/45 152若該市總?cè)丝跒?5n萬N （45,15 ）人，試估計有多少市民每年旅游費用支出在7500元以上；（3）若年旅游消費支出在 40 （百元）以上的游客一年內(nèi)會繼續(xù)來該景點游玩現(xiàn)從游客中隨機抽取3人，一年內(nèi)繼續(xù)來該景點游玩記 2分，不來該景點游玩記 1分，將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，且游客之間 的選擇意愿

14、相互獨立，記總得分為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)士 尸（一（T+三0一6827 ； F-2仃+ 宅 0_9545g久注一3。XjU +3口 胃 0.9973.）|【解析】（1）設(shè)樣本的中位數(shù)為x ,則 工+空 +生040_）= 0 5,1000 1000 100020解得x=45 ,所得樣本中位數(shù)為 45 （百元）.2分（2） N =45,仃=15, N +2。=75,旅游費用支出在7500元以上的概率為 P(x>k +2d 1 = 1-P("-2.<x< "*2)21 -0.9544=0.0228 ,20.0228父750=17.1,估計

15、有17.1萬市民旅游費用支出在 7500元以上.(3)由表格知一年內(nèi)游客繼續(xù)來該景點游玩的概率為3 , X可能取值為3, 4, 5, 65P(X =3 )= I-=15)1253651251/3 丫2用=4 )= C3 I '3 15人5 JP(X=5k 32 Gb 1255427125836542724E X =3-45一6一 二一125125125125 5故其分布列為X3456P812536125541252712512分22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x) =aln x -(x-1)ex,其中a為非零常數(shù).(1)討論f(x)的極值點個數(shù)，并說明理由；為 f (x)(2)

16、若ae, (i)證明：f (x)在區(qū)間(1,土叼內(nèi)有且僅有1個零點；(ii )設(shè)A為f (x)的極值點，x的零點且x >1 ,求證：Xo +2ln % >x1._2 x【解析】(1)解：由已知，f(x)的定義域為(0,y),且f'(x)=axex = a-x e xx2 x因此當(dāng)a<0時，axe <0 ,從而f (x)<0,所以f(x)在(0,十力)內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點當(dāng)a>0時，令g(x)=a -x2ex,則由于g(x )在h+°° )上單調(diào)遞減，g( 0 )=a > 0 ,g(，a )=a ae"a =a(1

17、e"a )<0,所以存在唯一的 x0 w(0,+笛),使得 g(x0 )=0 ,所以當(dāng) x w (0, x0 )時，g (x )>0 ,即 f (x )>0 ；當(dāng) xw (x0,+m )時，g(x)< 0 ,即 f (x )<0所以當(dāng)a>0時，f (x/(0,也)上有且僅有一個極值點. 5分2 x a -x e(2)證明：(i )由(1)知 f (x) =.令 g(x) = ax2ex，由 ae得 g(1)=a e>0,所以xg (x )=0在(1,+8 )內(nèi)有唯一解，從而 f (x)=0在(0,+8 )內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為 x0,則f (x )在(1,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,+笛)上單調(diào)遞減，所以x0是f (x)的唯一極值點.1令h(x) =lnxx+1 ,則當(dāng)x>1時，h (x) =- -1 <0,故h(x)在(1,十厘)內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng) x>1時, xh(x)<h(1) = 0，所以 lnx<x1.從而當(dāng) ae時，lna>1,且f ln a = aln In a) In a 7 elna : a In a -1) In a 7 a = 0又因為f(1)=0,故f(x心(1,+g )內(nèi)有唯