第二講判別式-二次方程根的檢測器

1、新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)第二講判別式一一二次方程根的檢測器為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗(yàn)儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使用驗(yàn)鈔機(jī)，類似地，在解一元二次方程有關(guān)問題時，最好能知道根的特性：如是否有實(shí)數(shù)根， 有幾個實(shí)數(shù)根， 根的符號特點(diǎn)等.我們形象地說， 判別式是一元二次方程根 的“檢測器”，在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：利用判別式，判定方程實(shí)根的個數(shù)、根的特性；運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題；借助判別式，運(yùn)用一元二次方

2、程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題.【例題求解】【例1】 已知關(guān)于 x 的一元二次方程(1 _2k)x2-2,k1x-1 =0 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是_ .(廣西中考題)思路點(diǎn)撥 利用判別式建立關(guān)于k的不等式組，注意12k、k 1的隱含制約.注：運(yùn)用判別式解題，需要注意的是：(1) 解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項系數(shù)不為0 的隱含制約；(2) 在解涉及多個二次方程的問題時，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導(dǎo)下, 綜合運(yùn)用方程、不等式的知識.【例2已知三個關(guān)于 y 的方程：y2_y + a=0 , (a-1)y2+2y+1 =0 和(a 2)y2+2y-1

3、 =0 ,若其中至少有兩個方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是()11A . a _2B. a 或 1_x_2 C. a _1D . a _144(山東省競賽題)思路點(diǎn)撥 “至少有兩個方程有實(shí)根” 有多種情形，從分類討論人手，解關(guān)于 a 的不等式組, 綜合判斷選擇.【例3已知關(guān)于 x 的方程 x2- (k - 2)x 2k =0 ,(1) 求證：無論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2) 若等腰三角形 ABC 的一邊長 a = 1，另兩邊長b、c 恰好是這個方程的兩個根，求ABC 的周長.(湖北省荊門市中考題)思路點(diǎn)撥 對于(1)只需證明 0;對于由于未指明底與腰，須分b二c或b、c 中有一個

4、與 c 相等兩種情況討論，運(yùn)用判別式、根的定義求出b、c 的值.注：(1)涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設(shè)計的一個熱點(diǎn)，但不一定每個 這類題均有新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)多解，還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍.新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)(2)運(yùn)用根的判別式討論方程根的個數(shù)為人所熟悉，而組合多個判別式討論方程多個根(三個以上)是近年中考，競賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問題常用到換元、分類討論等 思

5、想方法.【例 4】 設(shè)方程 x24ax =4，只有 3 個不相等的實(shí)數(shù)根，求a 的值和相應(yīng)的 3 個根.(重慶市競賽題)思路點(diǎn)撥 去掉絕對值符號，原方程可化為兩個一元二次方程.原方程只有 3 個不相等的實(shí)數(shù)根，則其中一個判別式大于零，另一個判別式等于零.【例 5】已知：如圖，矩形 ABCD 中，AD = a , DC =b，在 AB 上找一點(diǎn) E,使 E 點(diǎn)與 C、D 的連線將此矩形分成的三個三角形相似， 設(shè) AE = x，問：這樣的點(diǎn) E 是否存在？若存在，這樣的點(diǎn) E 有幾個？請說明理由.(云南省中考題)思路點(diǎn)撥 要使 Rt ADE、Rt BEC、Rt ECD 彼此相似，點(diǎn) E 必須滿足/

6、 AED+ / BEC=90 ，為此，可設(shè)在 AE 上存在滿足條件的點(diǎn) E 使得 Rt ADEsRt BEC，建立一元二 次方程的數(shù)學(xué)模型，通過判別式討論點(diǎn)E 的存在與否及存在的個數(shù).注：有些與一元二次方程表面無關(guān)的問題，可通過構(gòu)造方程為判別式的運(yùn)用鋪平道路，常見的構(gòu)造方法有:(1) 利用根的定義構(gòu)造；(2) 利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造;(3) 確定主元構(gòu)造.學(xué)力訓(xùn)練1.已知.a 4 b V =0,若方程kx2ax b =0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則k=_ .2若關(guān)于 x 的方程 x22. kx -0 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 _(遼寧省中考題)3.已知關(guān)于x方程 x2、 2k+4x+k=

7、0 有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，化簡_k2b；k2一k+4=新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)4.若關(guān)于 x的一元二次方程(m-2)2x2(2m 1)x 0 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則m 的取值范圍是()A. m30,證明：在方程 x2. 2a bx ,cd =0 ；g x22b ex . ad = 0 ；1 x2 2c，dx rab =0；1x 2d a . bc =0中，至少有兩個方程有兩個不相等22的實(shí)數(shù)根.（湖北省黃岡市競賽題）317 .已知三個實(shí)數(shù) a、b、c 滿足a - b=0, abc= 1,求證：a、b

8、、c 中至少有一個大于 218 .關(guān)于 x 的方程 kx2-（k -1）x V =0 有有理根，求整數(shù)是的值.（山東省競賽題）2 219 .考慮方程（x -10 x a）二 b新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)（1）若 a=24，求一個實(shí)數(shù)b，使得恰有 3 個不同的實(shí)數(shù) x 滿足式.（2）若 a 25,是否存在實(shí)數(shù)b，使得恰有 3 個不同的實(shí)數(shù) x 滿足式？說明你的結(jié)論.新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國最大型、最專業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)（國家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題

9、）a 的正方形 ABCD 內(nèi)接于邊長為b的正方形 EFGH，試求b的取值范a參考答案國判別式一二次方程的根的檢測器【例題求解】例L由0+H企工.例2選R仝L= L一.i, *4 J） I當(dāng)水+ 時心0fi；0,Ai0 +當(dāng)寺CciVl時+ih0,ia2時|入紋半口戰(zhàn)+或耳2時.至少傅牛片捏右賓ftl.i H） i- tk-20.故原貯風(fēng)思冇實(shí)戒報】R叫時得 n7 = 4.且苻合三埔形三邊的栄系點(diǎn)AA眈屈長為缶乩*屮有一 個與衛(wèi)栩絳時+不姑設(shè)杠=1.則P-c曽盾.故* 不權(quán)曲赧，別4方桎等桝F如下兩個方桎：h+為一4=0+-0旖方W tftl同的根*由于原方程理百3傘車榕零的實(shí)眼，故譽(yù)有且只有方

10、程我右審根.乩=護(hù)丄托亠0,弘=一托3*山于乩：吐，故妃町能定血=5 即臼=土4,相應(yīng)求須方程IR為一胃一迄士2湮沱f士2擁，聃5由y =x5=0= -4:=（*+Ea,t+2a0門）當(dāng)i-2d0,HP h2a時心0.62時：6 庁裡有兩牛不軸等實(shí)根旦密三莎都符合題意.叩存在兩1點(diǎn)礙足條杵一【學(xué)力訓(xùn)練】I. -42.總0 3. 44. C 5. A 6. C 7+沖fit的周艷為普或79.(1)赧方程即為戸+2亠由=士沢比：=/一4卜卜取窗=護(hù)一冊一氐因?yàn)殂狗匠逃腥齻€不等的實(shí)莪所凱Ai ,Ai中必冇20.如圖，已知邊長為圍.新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國最大型、最專

11、業(yè)的中小學(xué)教育資源門戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)-仆大于 g 另一牛等于0”擔(dān)燃山W即小一枯一 E m(2)設(shè)方程J-1+iij+A-2的根為工；、耳,方程工十工十心-=一2的 1H 為丁，則.n + .Tj H-xj - S.J,十孔=一,孔= *+】4嚀昭a(bǔ)110-?r0, -4L(1 -fl)= +0時，有”一5才一對=嗆山一訂+尸0氐| =2 卄顯 4-2544宀則Ai Q且加 511.1曲前一十方程dUO得MA柿號旳-5時后牛方程為-醫(yī)方思當(dāng)且時.氏Ah14. A 15. CL6-1 -ifl + 6 2 -/riti Ztf+c -2 -/aiiic+ii 2= 2J d 2-i.3 = (-/aJb)* + (Vf+a + cAD/a十啟(-/a -fd)1+ -0117. h 咅有一牛為正.不妨i fDPJS a + fr c+fib可榨方程JJ+cF_- = 0曲實(shí)fft.a = i-I-W=*1-+i磁為足全平方數(shù)即存在非負(fù)樂融卅,施護(hù)一施中I=曲.駅方得即一3+閘4*3-簡=趴而4-3十m與Ji一3耐前僭性相冋川一3十皿二J i 3 4 m&4 J A 34 m 2一3執(zhí)劇或解得點(diǎn)=&奴卻乂仇舍去li 3 m = 2“3 wi= 4攸若右實(shí)數(shù)工満足點(diǎn)M非fil pj 1S寫為MF