中考?？嫉男D(zhuǎn)、折疊、翻轉(zhuǎn)等幾種經(jīng)典類型

1、中考?？碱}型16（一）正三角形類型在正A ABC中，P為A ABC內(nèi)一點(diǎn)，將 A ABP繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60，使得 AB與AC 重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個(gè)AP'CP中，此時(shí)AP'AP也為正三角形。圖（Lia）圖（14）例 1.如圖：（1-1）:設(shè) P是等邊 AABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3, PB=4, PC=5, Z APB 的 度數(shù)是.簡(jiǎn)解二在小甌 的外偏.作上BA尸七NCAP.且小戶二出,連結(jié)尸Bn / 則ABAP絲CAP.易證CAP戶為正三角形，為取+ZAPBZAPP' + Z PPB=

2、6（T +90150、（二）正方形類型在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將AAB嚼B點(diǎn)按順時(shí)針方向 旋轉(zhuǎn)900,使得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC 三條線段集中于圖（2-1-b）中的ACPP'中，此時(shí)ABPP為等腰直角三角形。圖(2-1-b) /圖(2-1-a)例2 .如圖（2-1） : P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C的距離分別為PA=1, PB=2, PC=3。求此正方形ABCD面積。圖(2-2) +簡(jiǎn)解作AED 使二 DAE=，BAP, AE=AP連結(jié) EP, MIJAaDEAaBP. 同樣方法，作AD

3、FC且有ADFC組BPC ，易證EAP為等腰直角三角形,又二史上二眸6 同理，眸30 小上EDM/PBA, ZFDC=ZPBC #又：NPBA+/PBC=90二 Z EDF=Z EDAFZFDC+Z ADC= 901+90,=18tf-二點(diǎn)E. D.F在一條直線上* >AEF=ED+DF=2+2=4, 一在AEPF中，EF=4. 眸拒, 眸3也,由句股定理的逆定理，可知AEPF為5/工S形皿 令m近t§g瞅=3+:+?=8, d "S'（三）等腰直角三角形類型在等腰直角三角形AABC中，/C=Rt/ , P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，將AAPCgg C點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

4、900,使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b） 中的一個(gè)A P' CP為等腰直角三角形。圖(3-1-a)例 3.如圖，在 AABC, / ACB =900, BC=AC , P 為 AABCft一點(diǎn)，且 PA=3,PB=1, PC=2。求 / BPC 的度數(shù)。C簡(jiǎn)解：在R3ABe的外貿(mào)，作/BC產(chǎn)二/ACP,且C產(chǎn)二CW2,連結(jié)FPw 則ABC9名AACP。易證RJ A加尸'為等腰直角三角形，.在APB尸中，BP=3, BP=1, PP，=2上一由勾股定理的逆定理可知，&PPB為RtA為RtA, 上尸陽(yáng)仁 ，/BPO/CP尸T/ 9PB=45,90-1

5、35#平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對(duì)給定的圖形（或其一部分）施行某種位置變化，然后在 新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系.這類實(shí)體的特點(diǎn)是：結(jié)論開放， 注重考查學(xué)生的猜想、探索能力；便于與其它知識(shí)相聯(lián)系，解題靈活多 變，能夠考察學(xué)生分析問題和解決問題的能力.在這一理念的引導(dǎo)下， 近幾年中考加大了這方面的考察力度，特別是2006年中考，這一部分的分值比前兩年大幅度提高。為幫助廣大考生把握好平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的特征，巧妙利用平移, 旋轉(zhuǎn)和翻折的知識(shí)來(lái)解決相關(guān)的問題， 下面以近幾年中考題為例說明其 解法，供大家參考。一.平移、旋轉(zhuǎn)平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形

6、沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的 圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移. J定的方向”稱為平移方向， J定的距離”稱為平移 距離。平移特征：圖形平移時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)的平移方向都相同，平移 距離都相等。旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度 成為與原來(lái)相等的圖形，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫 做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于 圖形的旋轉(zhuǎn)角。例1. (2006年綿陽(yáng)市中考試題)如圖，將 AABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o后得到AAB'C"且C'為BC的中點(diǎn)，則CD:DB =()A. 1:2 B .

7、1: C . 1: D . 1:3分析：由于AAB'C'是AABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o后得到的, 所以，旋轉(zhuǎn)角/ CAC' =60 AAB'C'WAABC,，AC=AC, / CAC' =60，AACC 是等邊三角形 ，AC=AC'.又C為BC的中點(diǎn)，BC =CC',易得AAB'C、AABC是含30o角的直角三角形，從而AAC'D也是含30o角的直角三角形ACD=-AC , AC =-B C ACD=-B C ,故 CD:DB =13 771點(diǎn)評(píng)：本例考查靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)、等邊三角形的判斷和

8、含30 o角的直角三角形的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)MC C是等邊三角形.二、翻折翻折：翻折是指把一個(gè)圖形按某一直線翻折180o后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個(gè)圖形，將其中一個(gè)圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱， 這條直線就是對(duì)稱軸解這類題抓住翻折前后兩個(gè)圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。翻折在三大圖形運(yùn)動(dòng)中是比較重要的，考查得較多.另外，從運(yùn)動(dòng)變化得圖形得特殊位置探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對(duì)我們解決運(yùn)動(dòng)變化問題是極為重要的，值得大家 留意。例2. （2006年江蘇省宿遷市）如圖，將矩形

9、ABCD沿AE折疊，若/BAD'= 30°,則/ AED 等于(A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°分析：由已知條件/BAD = 30°,易得/ DAD' =60o又= D、D關(guān)于AE對(duì)稱,EAD=/EAD' =30AED=/AED' =60故選C點(diǎn)評(píng)：本例考查靈活運(yùn)用翻折前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)/ EAD = /EAD； /AED=/AED'例3. Q00所南京市）己知矩形紙片ABCD, AB=2, AD=1,將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合.如果折

10、痕FG分別與AD. AB交與點(diǎn)F、G加圖1）, .疝求DE的長(zhǎng)一，解：在矩形ABCD中，AB=2, .AD=L AF=- , Z D=90% / 根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得 EF=AF=-3在 ADEF 中 DE二= DF=AD AF二 L點(diǎn)評(píng)：圖形沿某條線折疊，這條線就是對(duì)稱軸，利用軸對(duì)稱的性質(zhì) 并借助方程的的知識(shí)就能較快得到計(jì)算結(jié)果。由此看出，近幾年中考，重點(diǎn)突出，試題貼近考生，貼近初中數(shù)學(xué)教學(xué)，圖形運(yùn)動(dòng)的思想（圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折、平移三大運(yùn)動(dòng)）都一一考查到了.因此在平時(shí)抓住這三種運(yùn)動(dòng)的特征和基本解題思路來(lái)指導(dǎo)我們的復(fù)習(xí)，將是一種事半功倍的好方法。平移與旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是一種全等變換，由于具有可操作性，

11、因而是考查同學(xué)們 動(dòng)手能力、觀察能力的好素材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的內(nèi)容。題型多以填空題、計(jì)算題呈現(xiàn)。在解答此類問題時(shí)，我們通常將其轉(zhuǎn)換成全等求解。 根據(jù)變換的特征，找到對(duì)應(yīng)的全等形，通過線段、角的轉(zhuǎn)換達(dá)到求解的目的。例 1:如圖，直角梯形 ABCD 中，AD/BC, AB ±BC, AD=2 , BC=3,將 腰CD以D為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED,連結(jié)AE、CE,則 ADE的面積 是（）A，）B+jA 1 B 2 C 3 D 不能確定分析：解題的關(guān)鍵是求 ADE的邊AD上的高?？上惹笞髦苯翘菪蔚母?DF, 想到將 CDF繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900至AEDG,由E

12、G=GF,只要CF的長(zhǎng)，就可 以求出 ADE的面積。解：過D做DFLBC于F,過E做EGX,交AD的延長(zhǎng)線于G/ B=90° , AD / BC一四邊形ABFD為矩形.FC=BC-AD=3 -2=1, /EDC=/FDC =90° ./FDC =/EDG,又./ DFC =/G =90° , ED=CD .-.EDGACDF, . EG=CF=1ADE的面積22因此，選擇A點(diǎn)評(píng)：明確 ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫成 DE,作梯形高是常見 的解題方法之一。變式題1:如圖，已知 ABC中AB=AC , / BAC =90 ° ,直角/ EPF的頂 點(diǎn)P

13、是BC中點(diǎn)，兩邊PE, PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,給出以下五個(gè)結(jié)論：2(1) AE=CF (2) /APE=/CPF (3) 4EPF是等腰直角三角形(4) EF=AP(5) S四邊形aepf= Sabo 2,當(dāng)/EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、 B重合)上述結(jié)論中始終正確的序號(hào)有例2D、E為AB的中點(diǎn)，將 ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處。若/B=50° ,則/ BDF=分析：通過折紙實(shí)驗(yàn)，多次嘗試，得出結(jié)論。解：: D、E為AB的中點(diǎn)，DE/ BC, / ADE=/B=50°由折紙實(shí)驗(yàn)得：/ ADE=/FDE ./BDF=180° /

14、ADE / FDE=180° 2X50° =80°點(diǎn)評(píng)：幾何變換沒有可套用的模式，關(guān)鍵是同學(xué)們要善于多角度、多層次、 多側(cè)面地思考問題，觀察問題、分析問題。變式題2:如圖，矩形紙片ABCD, AB=2, / ADB=30 ° ,將它沿對(duì)角線 BD折疊(使4ABD和4EBD落在同一平面內(nèi))則A、E兩點(diǎn)間的距離為旋轉(zhuǎn)具有以下特征:(1)圖形中的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(3)對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段相等；(4)圖形的形狀和大小都不變。利用旋轉(zhuǎn)的特征，可巧妙解決很多數(shù)學(xué)問題，如1 .求線段長(zhǎng).例：如圖，已知長(zhǎng)方形 AB

15、CD的周長(zhǎng)為20, AB=4,點(diǎn)E在BC上，且AE1EF, AE=EF,求 CF 的長(zhǎng)?！窘馕觥浚簩?ABE以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° ,此時(shí)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B'處，AE與EF重合，由旋轉(zhuǎn)特征知：B'E 1BC ,四邊形B'ECF為長(zhǎng)萬(wàn)形，CE=BF=AB; CF+CE=BE+CE=BE+EC=BC=6，CF=BC-CE=6-4=22 .求角的大小例：如圖，在等邊 ABC中，點(diǎn)E、D分別為AB BC上的兩點(diǎn)，且BE=CD AD與CE交于點(diǎn)M求/ AME的大小。因?yàn)?BC=AC, ZABC=ZACD=60 ,BE=CD,所以以AABC的中心（等邊三角形三條

16、中線的交點(diǎn)）0為旋轉(zhuǎn)中心，將ADd頓時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°就得到了 CEB/. Z AME=180 - ZAMC=180 -120 =60°,進(jìn)行幾何推理例：如圖，點(diǎn)F在正方形ABC由勺邊BC上,AE平分/DAF,請(qǐng)說明DE=AF-BF 成立的理由數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的精髓和重要的指導(dǎo)方法，在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng) 用也相當(dāng)?shù)膹V泛，一般可以歸結(jié)為兩種思想一一對(duì)稱的思想和旋轉(zhuǎn)的思 想，具體的分析如下：1、對(duì)稱的思想：在平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱這些概念中，對(duì)稱這一概念非 常重要.它包括軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、中心對(duì)稱.對(duì)稱是一種種要的思想方 法，在解題的應(yīng)用非常廣泛.例： 觀察圖中所給的圖案，它可以看成由

17、哪個(gè)較基本的圖形經(jīng)過 哪些運(yùn)動(dòng)變換產(chǎn)生的？它是不是軸對(duì)稱圖形？旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形？中心對(duì) 稱圖形？ooorooo分析：這是一個(gè)涉及軸對(duì)稱平移、旋轉(zhuǎn)的綜合性例子。解題思路 主要通過直觀觀察取得。這個(gè)圖案較基本的圖形是正方形， 一個(gè)小正方形沿對(duì)角線方向平移 一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)、兩個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)后得一正方形串，然后在串的軸線上找一 點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三個(gè)90。后得到題目中給出的圖案，整個(gè)過程如 圖所示。3 :生-/生<X>這個(gè)圖形是軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱.中心對(duì)稱圖形。方法探究：這里的較基本圖形也可以看成線段。一線段經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)后 得一正方形，然后重復(fù)上面的過程。2、旋轉(zhuǎn)的思想：旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種基本變換，

18、通過圖形旋轉(zhuǎn)變換， 從而將一些簡(jiǎn)單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢茫箚栴}獲得簡(jiǎn)單的解決，它是一種要的解題方法。例：如圖，正方形 ABCD3一點(diǎn)P, /PA氏Z PDA= 15° ,連結(jié)PB PC,請(qǐng)問：APBC是等邊三角形嗎？為什么？分析：本題關(guān)鍵是說明/ PC&/ PBA= 30° ,利用條件可以設(shè)想將 APD繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90° ,而使A與C重合，此時(shí)問題得到解決.解：將AAPD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° ,得ADP C,再作 DP C 關(guān)于DC的軸對(duì)稱圖形ADQC得ACDQAAD喳過對(duì)折后能夠重合。v PD=QDPDQ=90 -15 ° -15° =60