二次函數(shù)與幾何綜合壓軸題題型歸納(下)

1、PB+PC的和最小，求PB-PC的差最大，求一基礎(chǔ)構(gòu)圖：y= x2 -2x-3 （以下幾種分類(lèi)的函數(shù)解析式就是這個(gè)）和最小，差最大在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn) P,使得出P點(diǎn)坐標(biāo)在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn) P,使得 出P點(diǎn)坐標(biāo)求面積最大連接AC,在第四象限找一點(diǎn) P,使彳# AACP面積最大，求出P坐標(biāo) 討論直角三角 連接AC,在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn) P,使得AACP為直角三角形,求出P坐標(biāo)或者在拋物線(xiàn)上求點(diǎn) P,使 ACP是以AC為直角邊的直角三角形. 討論等腰三角 連接AC,在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn) P,使得AACP為等腰三角形, 求出P坐標(biāo) 討論平行四邊形1、點(diǎn)E在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn) F在拋物線(xiàn)上,且以B, A, F,

2、E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn) F的坐標(biāo)綜合題型例1(中考變式)如圖，拋物線(xiàn) y = x2+bx + c與x軸交與A(i,0),B(-3 , 0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為 d交Y軸于C(1)求該拋物線(xiàn)的解析式與ABC的面積。(2)在拋物線(xiàn)第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)M,使AMBC是以/ BCM為直角的直角三角形，若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由J't若E為拋物線(xiàn)B、C兩點(diǎn)間圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，過(guò)E作EF與X軸垂直，交BC 于F,設(shè)E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x.EF的長(zhǎng)度為L(zhǎng),求L關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫(xiě)出 X的取值范圍？當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線(xiàn)段EF的值最大，并求此時(shí) E點(diǎn)的坐

3、標(biāo)？(4)在(5)的情況下直線(xiàn) BC與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)H。當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以點(diǎn)E、F、H、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？(5)在(5)的情況下點(diǎn) E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使三角形BCE的面積最大?(3)在直線(xiàn)BC上是否存在一點(diǎn) 說(shuō)明理由.例2 考點(diǎn):關(guān)于面積最值如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(1,0)、(0, V3),點(diǎn)B在x軸上.已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) A、B、C三點(diǎn)，且它的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = 1,點(diǎn)P為直線(xiàn)BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) P與B、C不重合)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交 BC于點(diǎn)F.(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,試用含

4、m的代數(shù)式表示線(xiàn)段(3)求 PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).例3 考點(diǎn):討論等腰如圖，已知拋物線(xiàn) y=2x2+bx+c與y軸相交于C,與x軸相交于A(yíng)、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 0), 2點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, 1).(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)E是線(xiàn)段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作DE，x軸于點(diǎn)D,連結(jié)DC,當(dāng) DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo);例4考點(diǎn)：討論直角三角如圖，已知點(diǎn) A (一 1, 0)和點(diǎn)B (1, 2),在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P,使得 ABP為直角三角形，則滿(mǎn)足這樣條件的點(diǎn)P共有()(A) 2個(gè)(B) 4個(gè)(C)6個(gè)(D) 7個(gè) 已知：如圖一次函數(shù) y= -1x+ 1的圖象與x軸

5、交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B;二次函數(shù)y=1x2 +221bx+c的圖象與一次函數(shù) y= -x+ 1的圖象父于B、C兩點(diǎn)，與x軸父于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊形BDEC的面積S;(3)在x軸上是否存在點(diǎn) P,使得 PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P,若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例5考點(diǎn):討論四邊形已知：如圖所示，關(guān)于 x的拋物線(xiàn)y=ax2+x+ c (aw0)與x軸交于點(diǎn)A ( 2, 0),點(diǎn)B 與y軸交于點(diǎn)C.(1)求出此拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在拋物線(xiàn)上有一點(diǎn) D,使四邊形ABDC為等腰梯形，寫(xiě)出點(diǎn) D的坐標(biāo)，并求出直

6、線(xiàn)(6, 0),AD的解析式；(3)在(2)中的直線(xiàn)AD交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn) M,拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn) P, x軸上有一動(dòng)點(diǎn) Q.是否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.Q的坐標(biāo)；如果不綜合練習(xí)：平面直角坐標(biāo)系2xOy中，拋物線(xiàn)y=ax 4ax + 4a + c與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1, 0), OB=OC,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為 D。(1) 求此拋物線(xiàn)的解析式；(2) 若此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)P滿(mǎn)足/ APB = Z ACB ,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) Q為線(xiàn)段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于/ AQB的平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 A ,若QAQ

7、B = J2 ,求點(diǎn)Q的 坐 標(biāo)和此時(shí) QAA'的面積。2在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知二次函數(shù) y = ax2+2ax+c的圖像與y軸交于點(diǎn)0(0,3),與x 軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)。(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn) OM把四邊形ACDB分成面積為1 : 2的兩部分，求出此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上白一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)P在何處時(shí)CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)?？诳趫D，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線(xiàn)y = 2x2 -2x與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn) A ,頂點(diǎn)為B, m且對(duì)稱(chēng)軸

8、與x軸交于點(diǎn)C。(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含 m的代數(shù)式表示)；(2) D為OB中點(diǎn)，直線(xiàn)AD交y軸于E ,若E (0, 2),求拋物線(xiàn)的解析式；(3)在(2)的條件下，點(diǎn) M在直線(xiàn)OB上，且使得AAMC的周長(zhǎng)最小，P在拋物線(xiàn)上，Q在直線(xiàn)BC上，若以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn) P的坐標(biāo)。4B知關(guān)于 x的方程(1m)x2+(4m)x+3 = 0。(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若正整數(shù)m滿(mǎn)足82m >2 ,設(shè)二次函數(shù)y = (1 m)x2+(4m)x + 3的圖象與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，將此圖象在 x軸下方的部分沿 x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得

9、到一個(gè)新的圖象；請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答: 求出k的值(只需要求出兩個(gè)滿(mǎn)足題意的當(dāng)直線(xiàn)y=kx+3與此圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí), k值即可)。T -2 ()-25如圖，拋物線(xiàn) y=ax2+2ax+c (awQ與y軸交于點(diǎn)C (0, 4),與x軸交于點(diǎn)A ( 4, 0)和 B.(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)Q是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) Q作QE / AC ,交BC于點(diǎn)E, 連接CQ.當(dāng)4CEQ的面積最大時(shí)，求點(diǎn) Q的坐標(biāo)；(3)平行于x軸的動(dòng)直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)交于點(diǎn) P,與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2, 0).問(wèn)是否有直線(xiàn)l, >AODF若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明

10、理由.是等腰三角形?CD Q 0*5三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線(xiàn)與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于某定點(diǎn)的兩側(cè)例1.已知二次函數(shù) y=x2+(m- 1)x+m-2的圖象與x軸相交于 A (xi, 0), B (x2, 0)兩點(diǎn),x1< x2.(1)若x1x2<0,且m為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若 xiv 1, x2> 1,(3)是否存在實(shí)數(shù)m1 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；一，1(4)右過(guò)點(diǎn) D (0, "2")求m的取值范圍；使得過(guò)A B兩點(diǎn)的圓與y軸相切于點(diǎn)C (0, 2),若存在，求出 m的值;MD 1 一一的直線(xiàn)與(1)中的二次函數(shù)圖象相

11、交于 M N兩點(diǎn)，且示=W，求該直DN X3線(xiàn)的表達(dá)式.題型二、拋物線(xiàn)與例2已知二次函數(shù)x軸兩交點(diǎn)之間的距離問(wèn)題y= x +mx+m-5 ,(1)求證：不論 m取何值時(shí)，拋物線(xiàn)總與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)求當(dāng)m取何值時(shí)，拋物線(xiàn)與 x軸兩交點(diǎn)之間的距離最短.題型三、拋物線(xiàn)方程的整數(shù)解問(wèn)題例1.已知拋物線(xiàn)y =x2 _2(m+ 1)x+ m2 = 0與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且 m< 5,則整數(shù)m的值為例2.已知二次函數(shù) y=x22mx+4m 8.(1)當(dāng)xW2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求 m的取值范圍；(2)以?huà)佄锞€(xiàn)y=x2 2mx+4m8的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線(xiàn)的內(nèi)接正

12、AAMN (M, N兩點(diǎn) 在拋物線(xiàn)上)，請(qǐng)問(wèn)： AMN勺面積是與m無(wú)關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；2(3)右拋物線(xiàn)y= x 2mx+4m8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù), 求整數(shù)m的值.題型四、拋物線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)，包括：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性、數(shù)形結(jié)合 例1.已知拋物線(xiàn)y=x2 +bx+c (其中b>0, cw0)與y軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 B(m,n),且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)位于 x軸的下方，且BO=J20。求拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(友情提醒：請(qǐng)畫(huà)圖思考)題型五、拋物線(xiàn)中韋達(dá)定理的廣泛應(yīng)用(線(xiàn)段長(zhǎng)、定點(diǎn)兩側(cè)

13、、點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、等等)例1.已知：二次函數(shù)y= x2 4x + m的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A(x1,0)、B( x2,0)( x1Vx2),其頂點(diǎn)是點(diǎn) C,對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交于點(diǎn)D.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)如果(x1+1) (x2+1) =8,求二次函數(shù)的解析式；(3)把(2)中所得的二次函數(shù)的圖象沿 y軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A、B1,頂點(diǎn)為點(diǎn)C1,且 AB1G是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式.綜合提升1 .已知二次函數(shù)的圖象與 x軸交于A(yíng), B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C (0, 4),且| AEB = 273,圖象的 對(duì)稱(chēng)軸為x=1.(1)求二次函數(shù)的表

14、達(dá)式；(2)若二次函數(shù)的圖象都在直線(xiàn) y = x+m的下方，求 m的取值范圍.乙，一 r，22 .已知二次函數(shù) y= x + mx-2.(1)若該二次函數(shù)圖象與(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象與= 27,求m的值.3.已知關(guān)于x的一元二次方程 x2 2(卜+1口+卜2=0有兩個(gè)整數(shù)根，k<5且k為整數(shù).(1)求k的值；(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y = x22(k+1)x+k2的圖象沿x軸向左平移4個(gè)單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；(3)根據(jù)直線(xiàn)y = x+ b與(2)中的兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求b的取值范圍.4.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (1, 0)和點(diǎn)B

15、 (2, 1),且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 m(1)若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；(2)若二次函數(shù)的圖象與 x軸還有異于點(diǎn) A的另一個(gè)交點(diǎn)，求 m的取值范圍；(3)若二次函數(shù)的圖象截直線(xiàn) y= -x+ 1所得線(xiàn)段的長(zhǎng)為2寸2,求m的值.四、中考二次函數(shù)定值問(wèn)題1. (2012江西南昌8分)如圖，已知二次函數(shù) L1： y=x (2012山東濰坊11分)如圖，已知拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸分別交于A(yíng)(-2, O)、B(2, 0)、0(0, l)三點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O的直線(xiàn)y=kx與拋物線(xiàn)交于 M N兩點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn) C D(0, 2)作平行于x軸的-4x+3與x軸交于A(yíng). B兩點(diǎn)(點(diǎn) A在點(diǎn)B左邊)，與y軸交于點(diǎn)

16、C.(1)寫(xiě)出二次函數(shù) L1的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)研究二次函數(shù) L2： y=kx2- 4kx+3k (kw0). V寫(xiě)出二次函數(shù)兩點(diǎn)，問(wèn)線(xiàn)段L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；若直線(xiàn)y=8k與拋物線(xiàn)L2交于E、F1/ L.內(nèi)長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不會(huì)，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.直線(xiàn)11、l2 求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式;(2)求證以O(shè)N為直徑的圓與直線(xiàn)11相切;求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)(用k表示)，并證明M N兩點(diǎn)到直線(xiàn)12的距離之和等于線(xiàn)段 MN的長(zhǎng).4 o 223.(2012浙江義烏12分)如圖1,已知直線(xiàn)y=kx與拋物線(xiàn)y=_ ±x2 + 'x交于點(diǎn)A (3, 6).273(1)求直線(xiàn)y=kx的解析式和線(xiàn)段 OA的長(zhǎng)度;(2)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PM交x軸于點(diǎn)M (點(diǎn)M O不重合)，交直線(xiàn)OA于點(diǎn)Q,再過(guò)點(diǎn)Q作直線(xiàn)PM的垂線(xiàn)，交y軸于點(diǎn)N.試探究：線(xiàn)段 QMJ線(xiàn)段QN的長(zhǎng)度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說(shuō)明理由;(3)如圖2,若點(diǎn)B為拋物線(xiàn)上對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上(與點(diǎn)Q A不重合)，點(diǎn)D (m0)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足/ BAE=/ BEDW AOD繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的 E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)?EBy=ax2