胡廣書(shū)《現(xiàn)代信號(hào)處理教程》第二章

1、2.1 連續(xù)信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換2.2 短時(shí)傅立葉反變換2.3 離散信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換2.4 Gabor變換的基本概念2.5 臨界抽樣時(shí)連續(xù)信號(hào)展開(kāi)系數(shù)的計(jì)算2.6 過(guò)抽樣情況下連續(xù)信號(hào)展開(kāi)系數(shù)的計(jì)算*,STFT ( , )( )( )( ),( )xtttxgdxg )()(2RLtx其STFT定義為: 式中 1|)(|g窗函數(shù)應(yīng)取對(duì)稱(chēng)函數(shù)。*STFT ( , )( )()( ), ()jxjtxgt edxgt e ,( )()jtggt e)()(3tgxx()0)()(1tgx)()(2tgx1t2t3tFTFTFT01t2t3tt的頻譜的形狀取決于 ，接近于有限支撐的。而頻率中心由

2、 來(lái)決定， 這樣，利用STFT可實(shí)現(xiàn)對(duì) 時(shí)頻定位的功能。由于 是窗函數(shù)，因此它在時(shí)域應(yīng)是有限支撐的;同理， 在時(shí)域也是有限支撐的;由于 在頻域是線(xiàn)譜，所以STFT的基函數(shù)( )g( )x t,()()()( )()( )()jjtjtjtjtGgt eedeg t edtGe,( )()jtggt ejeje,( )()( )jttggt eGv( )G v,*()1( ),( )( ),( )21( )()2ttjtx tgXGXGed由于*1STFT ( ,)( )()2j tj txteXGed 所以：STFT的頻域表達(dá)式對(duì) 在時(shí)域加窗對(duì) 在頻域加窗 ( )x()gt( )X v()G

3、v 等效有了時(shí)頻定位功能，下面再關(guān)心其時(shí)頻分辨率。時(shí)時(shí)頻分辨率頻分辨率時(shí)間中心時(shí)間中心 由由 的中心位置所決定的中心位置所決定 ，即0( )g12,nt tt頻率中心頻率中心 由由G(v)的中心決定，即的中心決定，即0v12,n dg222| )(|時(shí)寬：與時(shí)移 無(wú)關(guān)tdG22212| )(|帶寬：與頻移 無(wú)關(guān)思考：各與什么有關(guān) 時(shí)間中心在 處 頻率中心在 處分辨“細(xì)胞”為21)(,vGt )(,vGt vv1t2t,( )tg,( )tgv ktlSTFT的基函數(shù)分辨“細(xì)胞”和 無(wú)關(guān)，即不論 和 處在何處，分辨細(xì)胞的形狀都保持不變。這是STFT的特點(diǎn)。 ktlktl,( )()lkljtkg

4、gt e該例說(shuō)明，STFT的時(shí)間分辨率由窗函數(shù) 的寬度而決定。 令 ，可以求出其 )()(0 x000STFT ( ,)() ()()jxjtgt edgt e )(g例1STFT的頻率分辨率由 頻譜的寬度來(lái)決定。 若 ，則 0)(jex00()0STFT ( ,)()()jjxjttegt edGe )(g例2 若 ，則 ， 這時(shí)，STFT減為簡(jiǎn)單的FT，這將給不出任何的時(shí)間定位信息。其實(shí)，由于 為無(wú)限寬的矩形窗，故等于沒(méi)有對(duì)信號(hào)作截短。 1)(g)()(GSTFT ( ,)( )xtX )(g-0.500.5Real partSignal in time084168Linear scale

5、Energy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz例3高斯Chirp調(diào)制信號(hào)令 ，則 )()(gSTFT ( ,)( )jtxtx t e 例4-0.500.5Real partSignal in time084167Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=0, Nf=64, lin. scale, c

6、ontour, Thld=5%Time sFrequency Hz可準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)時(shí)域定位，但無(wú)法實(shí)現(xiàn)頻域定位。例5設(shè) 由兩個(gè)時(shí)頻“原子”構(gòu)成, 一個(gè)時(shí)間中心在 處，時(shí)寬是32，另一個(gè)時(shí)間中心在 處時(shí)寬也是32，調(diào)制信號(hào)的歸一化頻率都是0.25 。選擇 為Hanning窗)(g-0.500.51Real partSignal in time020454091Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFre

7、quency Hz-0.500.51Real partSignal in time020454091Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz窗函數(shù)的寬度為13 窗函數(shù)的寬度為55( )x t150t 290t 22STFT ( ,)( ) ()( ,)jxxtxgt edS t 譜圖是恒正的，且是實(shí)的。 1|)(|gxxEdtdtS),(“譜圖（spectrogram）”由于所

8、以譜圖是信號(hào)能量的分布。 若 ，則 tjetxty0)()(0STFT ( ,)STFT ( ,)yxtt ),(),(0tStSxy 若 ， 則 )()(0ttxty00STFT ( ,)STFT (,)j tyxttte ),(),(0ttStSxySTFT和譜圖的性質(zhì)和譜圖的性質(zhì) 短時(shí)傅里葉反變換有不同的表示形式：STFT ( , )( ) ()jxtxgt ed 取反變換1STFT ( ,)2jxted左邊()1( ) ()2jxgt ed d右邊( ) () ()( ) ()xgtdxgt lett1( )STFT ( ,)2(0)j txx ttedgSTFT的一維反變換表示 ST

9、FT的二維反變換來(lái)表示 ：1( )STFT ( ,) ()2jxxtgt edtd 用 的對(duì)偶函數(shù) 來(lái)表示 ( )g t( )h t1( )STFT ( ,) ()2jxxtht edtd 1)()(*dtthtg1( )STFT ( ,)2(0)j txx ttedg區(qū)別STFT ( , )( ) ()jxtxgt ed 2.3 2.3 離散信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換離散信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換 *STFT ( ,)( )()j nxnmx n g nmN eDTFT2*STFT ( ,)( )()Mjnkxknmx n g nmN eDFT*2,( )()( )kkletx n gnmNx nM21

10、0STFT ( , )( )MMjnkxnm kx n eNM 是在時(shí)間軸上窗函數(shù)移動(dòng)的步長(zhǎng)，是一個(gè)周期 的分點(diǎn)數(shù)。(2 ) ：窗函數(shù)移動(dòng)的序號(hào)m窗函數(shù)寬度2.4 Gabor變換的基本概念 ,2,( )( )()m nm nmnjmbtm nmnx tChtCh tna e 早在1946年，Gabor就提出：可用時(shí)頻平面上離散柵格上的點(diǎn)來(lái)表示一個(gè)連續(xù)的一維信號(hào)：banambt ：柵格的時(shí)間長(zhǎng)度：柵格的時(shí)間長(zhǎng)度 ：柵格的頻率長(zhǎng)度：柵格的頻率長(zhǎng)度 ab,( )( )m nm nmnx tCht ,m nCGabor展開(kāi)系數(shù)；( )h t母函數(shù)2,( )()jmbtm nhth tna e展開(kāi)的基函

11、數(shù)( )h t()h ta()h tna0anattt()exp( 2)h tajbt()exp( 2)h tajmbt移位調(diào)制 1.如何選擇 a 和b？ 2.如何選擇母函數(shù) 3.如何求Cm,n? 4. 是否任一能量有限信號(hào)都可作 Gabor 分解？ ( )h t5. 時(shí)頻平面離散柵格上的任一個(gè)二維函數(shù)是否都唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)一 維的信號(hào)？ 1abab ：臨界抽樣（Critical Sampling） ：欠抽樣（Undersampling）：過(guò)抽樣（Oversampling）1ab1ab欠抽樣將引起信息的丟失，因此很少被研究；1abGabor最早提出：,( )( )m nm nmnx tCht 使

12、用高斯窗取臨界抽樣臨界抽樣最簡(jiǎn)單；高斯窗滿(mǎn)足不定原理的下限；高斯窗的傅里葉變換仍然是高斯的。原因 但是，由于展開(kāi)系數(shù)計(jì)算的困難，Gabor展開(kāi)長(zhǎng)期沒(méi)有被重視； 從1946年1980年，人們也不斷地提出一些計(jì)算的方法，但都不理想。直到 Bastians于1980年提出了用“對(duì)偶”函數(shù)計(jì)算Gabor系數(shù)的方法，這一問(wèn)題才初步的被解決。 當(dāng)時(shí)，考慮的是 的臨界情況1ab ,2,( )( )()m nm nmnjmbtm nmnx tChtCh tna e 2.5 臨界抽樣情況下連續(xù)信號(hào) Gabor展開(kāi)系數(shù)的計(jì)算 如何計(jì)算2,( )()jmbtm ngtg tna e選擇一母函數(shù) ，移位加調(diào)制：( )

13、g t,*2,( ),( )( )()m njmbtm nx tgtx t g tna edtC假定內(nèi)積結(jié)果就是,( )( )m nm nmnx tCht 目標(biāo)：找到 的關(guān)系：( ), ( )g th t,( ),( )m nm nCx tgt,*,*,( )( ),( )( )( )( )( )( )( )( )m nm nmnm nm nmnm nm nmnx tx tgthtx t gt dt htx tgt ht dt *,( )( )()m nm nmngt httt( )ifx tthen*,( )( )()m nm nmngt httt滿(mǎn)足該條件的 被認(rèn)為是完備的，從而可實(shí)現(xiàn)對(duì)

14、的準(zhǔn)確重建。,( )m nht( )x t2( )()jmbtmng t h tna edt 雙正交關(guān)系( )( )1g t h t dt0ifmn求解Gabor系數(shù)的方法：（1）選擇一個(gè)母函數(shù) ；（2）求其對(duì)偶函數(shù) ，使之滿(mǎn)足雙正交關(guān)系；（3）做內(nèi)積 ，從而得到 。( )h t( )g t,m nC,( ),( )m nx tgt可以證明，若矩形窗函數(shù)的寬度等于Gabor展開(kāi)中移位的步長(zhǎng)，那么該矩形窗的移位之間是正交的，其對(duì)偶函數(shù)仍是同樣的矩形窗。對(duì)高斯窗1 222( )expth tTT可求出1 23 22021 21( )exp211exp2nnt TKtg tTTn01.8540746

15、8K 式中( )g t( )h t 可以看出，在臨界抽樣的情況下，盡管 是高斯的，但 卻是非高斯的，而且完全不具備能量集中的性能?？梢栽O(shè)想，用這樣的對(duì)偶函數(shù)來(lái)重建原信號(hào)，重建結(jié)果將是不穩(wěn)定的。( )g t( )h t*STFT ( , )( )()jxtxgt ed ,STFT ( , )m nxCm nGabor展開(kāi)和STFT的關(guān)系即：Gabor系數(shù)是在離散柵格上求出的STFT 1990年，Welex 和 Ras 將對(duì)偶函數(shù)的概念擴(kuò)展到過(guò)抽樣的情況，即1ab02000( )()jmb tmna bg t h tna edt 時(shí)，用 表示 將會(huì)產(chǎn)生冗余。這說(shuō)明 不是正交的基函數(shù)，那么， 將不唯

16、一。為了討論該問(wèn)題，需要標(biāo)架理論。用來(lái)研究構(gòu)成標(biāo)架的條件、邊界A和B的計(jì)算、對(duì)偶標(biāo)架 的求解，直至導(dǎo)出的有效計(jì)算方法。1ab,m nC( )x t,m nh,m nC,m ng2.6 過(guò)抽樣情況下連續(xù)信號(hào) Gabor展開(kāi)系數(shù)的計(jì)算 臨界抽樣， 線(xiàn)性獨(dú)立，對(duì)偶函數(shù) 存在，且唯一。 有好的時(shí)頻定位， 卻不一定；1ab,( )m nht( )g t( )h t,( )m ngt1ab 欠抽樣，基函數(shù) 不完備，構(gòu)不成標(biāo)架；,( )m nht簡(jiǎn)單的結(jié)論：1ab,( )m ngt過(guò)抽樣，存在表示的冗余，但可求出 ，它可形成一個(gè)標(biāo)架。222,( )( ),( )( )m nmnA x tx tgtB x t

17、222,( )( )m nmnA x tCB x t將標(biāo)架理論推廣到二維：若 構(gòu)成標(biāo)架，則,( )m ngt成立0AB 下述定理說(shuō)明，在 時(shí)， 不能構(gòu)成標(biāo)架：1ab,( )m ngtBalianLaw定理：選擇 如果 構(gòu)成一個(gè)標(biāo)架，那么，必有2( )( ), ,0,1g tL Ra bab,( )m ngt22( ) ( )( ),( )( )x t g tL Rorg tL R過(guò)抽樣情況下過(guò)抽樣情況下GaborGabor展開(kāi)系數(shù)的計(jì)算展開(kāi)系數(shù)的計(jì)算: 選定一個(gè)窗函數(shù) ； 選定時(shí)頻平面上的步長(zhǎng) 和 ，要求 ,即 取 為大于1 的整數(shù)； 計(jì)算 的Zak變換 ； 計(jì)算 的Zak變換 ； 計(jì)算 ( )h tab11abqq( ,)hZ t ( )x t( ,)xZ t 120( ,)( ,)(/ ,hgqhlZ tZtZ tl q 可得( )g t( )h t 做Zak反變換 計(jì)算展開(kāi)系數(shù),m