Matlab筆記層次分析法(共16頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上20. 層次分析法一、概述層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHD）是將要決策的問題及其有關(guān)因素分解成目標、準則、方案等層次，進而進行定性和定量分析的決策方法。它的特征是合理地將定性與定量決策結(jié)合起來，按照思維、心理的規(guī)律把決策過程細致化（層次化、數(shù)量化）。層次分析法廣泛地應(yīng)用到處理復(fù)雜的決策問題，而決策是基于該方法計算出的權(quán)重，所以也常用來確定指標的權(quán)重。 層次分析法的基本思路與人們對一個決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。例如，選購一臺筆記本電腦，假設(shè)有三種不同品牌款式的筆記本電腦A、B、C供選擇。我們一般會根據(jù)價格、外觀、重

2、量、用途、功耗、品牌等一些準則去反復(fù)比較這個三個候選。首先，會確定這些準則在自己心目中各占多大比重，不同的人這種比重會有很大差異（喜歡玩游戲的人看重硬件性能和散熱、預(yù)算有限的人看重價格等）。其次，還會就每一個準則將A、B、C進行對比，比如A最便宜，B次之；C性能最好，B次之；C的品牌最知名等。最后，將這兩個層次的比較判斷進行綜合，在A、B、C中確定一臺作為最符合自己需求的電腦。二、算法步驟1. 將問題條理化、層次化，建立層次結(jié)構(gòu)模型1）最高層（目標層）只有一個元素：決策目標；2）中間層（準則層）考慮的因素，決策的準則、子準則；3）最底層（方案層）決策時的備選方案、措施。層次分析法要解決的問題是

3、，求出最底層對最高層的相對權(quán)重，以此對最底層的方案、措施進行排序，選擇最優(yōu)方案。注1：為了避免兩兩比較判斷過于復(fù)雜，每層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個，否則應(yīng)劃分為若干子層；注2：層次分析法只考慮相鄰兩個層次間自上向下的支配作用，認為同一層次的元素間相互獨立，若考慮進來需要網(wǎng)絡(luò)分析法（ANP）。例如前文提到的選購筆記本電腦的決策模型，可以建立如下的層次結(jié)構(gòu)：2. 構(gòu)造判斷矩陣（成對比較矩陣）構(gòu)造好層次模型后，針對某一層來講，在比較第i個元素與第j個元素相對于上一層某個因素的重要性時，使用數(shù)量化的相對權(quán)重aij來表示，假設(shè)共有n個元素參與比較，則矩陣稱為判斷矩陣（或成對比較矩陣）。Saa

4、ty根據(jù)絕大多數(shù)人認知事物的心理習(xí)慣，建議用19及其倒數(shù)作為標度來確定aij的值。其中，2, 4, 6, 8分別介于1, 3, 5, 7, 9對應(yīng)的重要程度之間。顯然，A中的元素滿足：i) aij> 0; ii) aji = 1/aij; iii) aii =1稱為正互反矩陣。例如，選購筆記本電腦模型中，可以根據(jù)實際三臺電腦的重量得到電腦對準則層B3的判斷矩陣（aij可以取筆記本電腦j與i的重量之比，重量越輕越好）：3. 層次單排序及判斷矩陣的一致性檢驗通常用特征根法從判斷矩陣導(dǎo)出，單一準則下元素相對排序權(quán)重。定義若n階正互反矩陣 (aij)n×n滿足aikakj = aij（

5、對應(yīng)aij=wi/wj, 故需要aikakj =(wi/wk)/(wk/wj) = aij），則稱(aij)n×n為一致性矩陣。特征根法的基本思想是，當(dāng)正互反矩陣 (aij)n×n為一致性矩陣時，對應(yīng)于判斷矩陣的最大特征根max的特征向量，經(jīng)歸一化后（使向量中各元素之和等于1）即為排序權(quán)向量，記為w, w的元素為同一層次因素對于上一層次某因素相對重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。能否進行層次單排序，就看判斷矩陣是否為一致性矩陣，有如下定理：定理n階正互反矩陣A為一致性矩陣的充要條件是，A的最大特征值max = n.在實際操作中，由于客觀事物的復(fù)雜性以及人們對事物判斷

6、比較時的模糊性，很難構(gòu)造出完全一致的判斷矩陣。因此，Satty在構(gòu)造層次分析法時，提出了一致性檢驗，所謂一致性檢驗是指判斷矩陣允許有一定不一致的范圍。一致性檢驗步驟如下：1）計算判斷矩陣A的最大特征值max;2）求出一致性指標（Consistencey Index）：C.I.=0表示完全一致，C.I.越大越不一致；3）用隨機模擬取平均的方法，求相應(yīng)的平均隨機一致性指標R.I., 或者直接用Satty模擬1000次得到的R.I.表：4）計算一致性比率：5）判斷，當(dāng)C.R.<0.1時，認為判斷矩陣A有滿意的一致性；若C.R.0.1, 應(yīng)考慮修正判斷矩陣A.4. 計算各元素對目標層的合成權(quán)重（

7、層次總排序）為了實現(xiàn)層次分析法的最終目的，需要從上而下逐層進行各層元素對目標合成權(quán)重的計算。設(shè)已計算出第k-1層nk-1個元素相對于目標的合成權(quán)重為：再設(shè)第k層的nk個元素關(guān)于第k-1層第j個元素（j=1,nk-1）的單一準則排序權(quán)重向量為：上式對k層的nk個元素是完全的，若某些元素不受k-1層第j個元素支配，相應(yīng)位置用0補充，于是得到nk×nk-1階矩陣：從而可以得到第k層的nk個元素關(guān)于目標層的合成權(quán)重向量：按遞歸展開得寫成分量形式為各層元素對目標層的合成排序權(quán)重向量是否可以滿意接受，與單一準則下的排序問題一樣，需要進行綜合一致性檢驗：當(dāng)C.R.(k)< 0.1時，則認為層

8、次結(jié)構(gòu)在第k層以上的判斷具有整體滿意的一致性。注：實際應(yīng)用中，整體一致性檢驗常不予進行。主要原因是，整體考慮十分困難；其次若每個單一準則下的判斷矩陣具有滿意的一致性，而整體達不到滿意的一致性時，調(diào)整起來非常困難。另外，整體一致性的背景也不如單一準則下的背景清晰，它的必要性有待進一步研究。三、Matlab實現(xiàn)實現(xiàn)層次分析法的Matlab函數(shù)：ahp.mfunction W,ahpResult = ahp(C)%層次分析法%C為n×1的元胞數(shù)組,存儲整個層次模型結(jié)構(gòu)：第2層對第1層、第3層對第2層、.第n+1層對第n層%假設(shè)第k層有m_k個元素，從左到右依次編號1,.,m_k%Ck也是元

9、胞數(shù)組, k=1,.,n%Ck1,j存儲受第j元素支配的第k+1層各元素的判斷矩陣（j=1,2,.,m_k）%Ck2,j存儲第k+1層各元素是否受第k層第j元素支配的（m_k+1）*1的邏輯數(shù)組,1表示支配,0表示不受支配%W返回方案層對目標層的最終權(quán)重向量%ahpResult為n×1的元胞數(shù)組, 存儲層次分析過程各層的結(jié)果信息, ahpResultk也是元胞數(shù)組%ahpResultk1,j返回第k+1層所有元素相對第k層j元素的權(quán)重向量, 第k+1層元素不受第k層j元素支配的權(quán)重為0%ahpResultk2,j返回第k+1層所有元素相對于第k層第j元素的判斷矩陣的最大特征值%ahp

10、Resultk3,j返回第k+1層所有元素相對于第k層第j元素的判斷矩陣的一致性比率C.R.RI=0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51; % 平均隨機一致性指標n = length(C); %得到C的長度n, 于是知道模型總層數(shù)為n+1ahpResult = cell(n,1); % ´存儲各層結(jié)果信息for k = 1:nm_k = size(Ck,2); % k層的元素個數(shù)ahpResultk = cell(m_k,1); forkk = 1:m_k%求第k+1層各元素對第k層kk元素的成對比較矩陣的特征值和特征向量 V

11、,D = eig(Ck1,kk); maxD,ind = max(diag(D); % 求最大特征值和其位置%為存儲第k+1層所有元素相對k層kk元素的權(quán)重預(yù)留出空間，長度應(yīng)等于Ck2,kk的長度ahpResultk1,kk = zeros(length(Ck2,kk),1);%將相應(yīng)正互反矩陣屬于最大特征值的特征向量歸一化后賦給ahpResultk1,kk中相應(yīng)位置 %這些位置由邏輯數(shù)組Ck2,kk決定ahpResultk1,kk(Ck2,kk) = V(:,ind)/sum(V(:,ind);ahpResultk2,kk = maxD; % Ck1,kk正互反矩陣的最大特征值nn = si

12、ze(Ck1,kk,1); % Ck1,kk的階數(shù)ahpResultk3,kk = (maxD-nn)/(nn-1)/RI(nn); % 相應(yīng)的一致性比率C.R.endendW = ahpResult11,1;for k = 2:n% cat(2,ahpResultk1,:)把k+1層所有元素相對k層各個元素的權(quán)重向量橫向排在一起生成權(quán)重矩陣U(k) W = cat(2,ahpResultk1,:)*W; end用該函數(shù)實現(xiàn)層次分析法的關(guān)鍵是，把整個層次結(jié)構(gòu)存入嵌套元胞數(shù)組C中（見程序注釋）：Ck存儲第k+1層與第k層的結(jié)構(gòu)（k=1,n）；設(shè)第k層有mk個元素，其中第j元素與第k+1層的結(jié)構(gòu)關(guān)

13、系存儲到Ck, j中（j=1,mk），需要存儲的信息有： 受第j元素支配的第k+1層各元素的判斷矩陣 第k+1層各元素是否受第k層第j元素支配（即有沒有連線）所以需要兩個位置，即Ck1, j和Ck2, j.例1某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，需要決定如何分配使用。已經(jīng)決定有三種用途：獎金、集體福利措施、引進技術(shù)設(shè)備?？疾鞙蕜t也有三個：是否能調(diào)動職工的積極性、是否有利于提高技術(shù)水平、考慮改善職工生活條件。建立如下層次模型：經(jīng)過工廠決策人員討論，得到如下判斷矩陣：1. 第2層對第1層三個元素C1, C2, C3都受A支配，判斷矩陣C11,1為相應(yīng)的邏輯數(shù)組C12,1為true truetrue.2. 第

14、3層對第2層(1) 第3層對第2層第1個元素C1受C1支配的只有兩個元素P1和P2，判斷矩陣C21,1為相應(yīng)的邏輯數(shù)組C22,1為true truefalse.(2) 第3層對第2層第2個元素C2受C2支配的只有兩個元素P2和P3，判斷矩陣C21,2為相應(yīng)的邏輯數(shù)組C22,2為false true true.(3) 第3層對第2層第3個元素C3受C3支配的只有兩個元素P1和P2，判斷矩陣C21,3為相應(yīng)的邏輯數(shù)組C22,3為true truefalse.3. 有了上面的分析，層次模型的元胞數(shù)組表示C已經(jīng)確定，調(diào)用函數(shù)ahp.m即可C = cell(2,1);%共n+1=3層, 故n=2C11,

15、1 = 1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1;%第2層（C層）關(guān)于第1層（目標層A）的判斷矩陣C12,1 = true truetrue;%相應(yīng)的邏輯數(shù)組C21,1 = 1 1/3;3 1;%第3層（P層）關(guān)于第2層第1元素C1的判斷矩陣C22,1 = true truefalse;%相應(yīng)的邏輯數(shù)組C21,2 = 1 1/5;5 1;%第3層（P層）關(guān)于第2層第2元素C2的判斷矩陣C22,2 = false true true;%相應(yīng)的邏輯數(shù)組C21,3 = 1 2;1/2 1;%第3層（P層）關(guān)于第2層第3元素C3的判斷矩陣C22,3 = true truefalse;%相應(yīng)的邏輯

16、數(shù)組W,ahpResult=ahp(C);%調(diào)用ahp求解W %輸出總排序的權(quán)重向量運行結(jié)果：W = 0.1984 0.2708 0.5308W就是方案層各個方案所占的比重，可見引進技術(shù)設(shè)備所占比重最大，改善員工福利次之。體現(xiàn)在獎金分配上，即用全部留成利潤的53.08%引進技術(shù)設(shè)備，27.08%改善員工福利，19.84%發(fā)獎金。例2假設(shè)某人在制定食譜時有三類食品可選：肉、面包、蔬菜。這三類食品所含營養(yǎng)成分及單價如下表所示：假設(shè)該人體重為55kg, 每天對各類營養(yǎng)的最小需求為維生素A 7500IU維生素B2 1.6338mg熱量Q 8548.5kJ問題是：應(yīng)如何制定食譜使得在保證營養(yǎng)的前提下支出

17、最?。繂渭兛紤]問題條件，容易建立如下的線性規(guī)劃模型：設(shè)選擇肉x1, 面包x2, 蔬菜x3, 則有用Matlab求解線性規(guī)劃問題的函數(shù)linprog, 可以求出最優(yōu)解：f = 0.0275;0.006;0.007;A = -0.3527 0.0005 25;0.0021 0.0006 0.002;11.93 11.51 1.04;b = -7500;1.6338;8548.5;options = optimset('LargeScale', 'off', 'Simplex', 'on');x,fval,flag = linprog(

18、f,A,b,0;0;0,infinfinf,options)運行結(jié)果：x = 0 687.5267 610.6420fval= 8.3997flag = 1 %表示算法成功求解出的結(jié)果是，每天不吃肉，吃面包687.5267g, 蔬菜610.642g, 最低支出為8.40元。但實際考慮的話，這個方案是難以讓人接受的，只考慮了營養(yǎng)夠、價格低，沒有考慮到營養(yǎng)均衡（需要吃一定量的肉）。為此，我們先用層次分析法確定每天需要肉、面包、蔬菜的比重，再重新線性規(guī)劃。建立如下的層次模型：注意：由于第2層支出因素D2直接支配第4層，需要在第3層補上一個因素“補項B”（仍當(dāng)作“支出”看待），它只受D2支配，并且支配

19、D2的每個支配因素（第4層的肉Me, 面包Br, 蔬菜Ve）。有了上面的層次結(jié)構(gòu)，再根據(jù)偏好建立判斷矩陣（當(dāng)然偏好因人而異）：1. 第2層對第1層判斷矩陣：邏輯數(shù)組：C12,1=true true.2. 第3層對第2層(1) 第3層對第2層第1元素D1判斷矩陣：邏輯數(shù)組：C22,1=true truetrue false.(2) 第3層對第2層第2元素D2判斷矩陣：C21,2=1邏輯數(shù)組：C22,2=false falsefalseture.3. 第4層對第3層(1) 第4層對第3層第1元素A判斷矩陣（用數(shù)據(jù)直接做比得到）：邏輯數(shù)組：C32,1=true true true.(2) 第4層對第

20、3層第2元素B2判斷矩陣（用數(shù)據(jù)直接做比得到）：邏輯數(shù)組：C32,2=true true true.(3) 第4層對第3層第3元素Q判斷矩陣（用數(shù)據(jù)直接做比得到）：邏輯數(shù)組：C32,3=true true true.(4) 第4層對第3層第4元素B判斷矩陣（用單價比的倒數(shù)，因為單價越高越不重要）：邏輯數(shù)組：C32,4=true true true.4. 有了上面的分析，層次模型的元胞數(shù)組表示C已經(jīng)確定，調(diào)用函數(shù)ahp.m即可C = cell(3,1);C11,1 = 1 1/3;3 1;C12,1 = true(2,1);C21,1 = 1 1 2;1 1 2; 1/2 1/2 1;C22,1

21、=true truetrue false;C21,2=1;C22,2 = false,false,false,true;C31,1 = 1,0.3527/0.0005,0.3527/25;0.0005/0.3527,1,0.0005/25;25/0.3527,25/0.0005,1 ;C32,1=true(3,1);C31,2 = 1,0.0021/0.0006,0.0021/0.002;0.0006/0.0021,1,0.0006/0.002;0.002/0.0021,0.002/0.0006,1 ;C32,2=true(3,1);C31,3 = 1,11.93/11.51,11.93/1.04;11.51/11.93,1,11.51/1.04;1.04/11.93,1.04/11.51,1 ;C32,3=true(3,1);C31,4 = 1,0.006/0.0275,0.007/0.0275;0.0275/0.006,1,0.007/0.006;0.0275