常用的基本求導(dǎo)公式

1、共享知識(shí)分享快樂盛年不重來，一日難再晨。及時(shí)宜自勉，歲月不待人1.基本求導(dǎo)公式(C) 0 (C為常數(shù))(xn)nxn1； 一般地，(x ) x 1。特別地：(x) 1, (x2)2x, (1)4，(Q)J。x x2 Vx(ex) ex ； 一般地，(ax) ax ln a (a 0, a 1)。1,1(In x) 一； 一般地，(loga x) (a 0,a 1) 0xxln a2.求導(dǎo)法則四則運(yùn)算法則設(shè) f (x) , g(x)均在點(diǎn) x 可導(dǎo)，則有：(I) (f (x) g(x) f (x) g(x)；(n) (f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x),特別(Cf(x) C

2、f (x) (C為常數(shù))；g (x)g2(x)(出)(3)f (x)g(x)2 f (x)g(x),(g(x) 0),特別(，)g(x)g (x)g(x)3.微分函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x處的微分:dy y dx f (x)dx4、常用的不定積分公式(1),11x dx x C (143 . xx dx c423x 2 x1), dx x c, xdx c, x dx 2 3；(2)1 ,-dx ln | x| C ； xexdx ex C ；xaa dx C (a 0, a 1);In aAAAAAAAA(3)kf (x)dx k f (x)dx (k 為常數(shù))5、定積分ba f(x)dx F

3、(x) 1b F(b) F(a)bbbk1f (x) k2 g(x)dx k1f (x)dx k2 g (x)dxaaa分部積分法b baV(x)du(x)a設(shè)u(x) , v(x)在a, b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u (x), v (x),則bu(x)dv(x) u(x)v(x)a6、線性代數(shù)特殊矩陣的概念(1)、零矩陣02,(2)、單位矩陣0In二階 i22(3)、對角矩陣Aa2、對稱矩陣aij(5)、上三角形矩陣a110a12a22ana12(6)、矩陣轉(zhuǎn)置Aa21a22an2ana1na2nann卜三角形矩陣a2ana1na11a21an1a2nann轉(zhuǎn)置后a12alna22an2a2n6、矩陣

4、運(yùn)算Aa ABcae bgce dgafcfbhdh7、MATLA瞅件計(jì)算題例6試寫出用MATLA瞅件求函數(shù)y 解：>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)ln( x x2ex)的二階導(dǎo)數(shù)y的命令語句。例：試寫出用MATLAB件求函數(shù)y ln( JX ex)的一階導(dǎo)數(shù)y的命令語句。>>clear;> >syms x y;>>y=log(sqrt(x)+exp(x);>>dy=diff(y)一 . 2 1 .,3例11試寫

5、出用MATLA歆件計(jì)算定積分,exdx的命令語句。1 x解：>>clear;> >syms x y;> >y=(1/x)*exp(xA3);>>int(y,1,2)1 x3例試寫出用MATLA瞅件計(jì)算定積分一e dx的命令語句。x解：>>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(xA3);>>int(y)MATLA瞅件的函數(shù)命令表1 MATLAB軟件中的函數(shù)命令函數(shù)axv'xx eIn xlg xlog 2ixMATLABxA asqrt(x)exp(x)log( x)l

6、og 10( x)log 2( x)abs( x)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算符+-*/A功能加減乘除乘方典型例題例1設(shè)某物資要從產(chǎn)地Ai,A2,A3調(diào)往銷地Bi,B2,B3,B4,運(yùn)輸平衡表(單位：噸)和運(yùn)價(jià)表(單位：百元/噸)如下表所示：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷地產(chǎn)BE2B3供應(yīng)量BB2BbB4A17311311A41928A974105需求量365620(1)用最小元素法編制的初始調(diào)運(yùn)方案，(2)檢驗(yàn)上述初始調(diào)運(yùn)方案是否最優(yōu)，若非最優(yōu)，求最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案，并計(jì)算最低運(yùn)輸 總費(fèi)用。解：用最小元素法編制的初始調(diào)運(yùn)方案如下表所示：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表，、銷地產(chǎn)地 、B1B3供應(yīng)量B1B2BbB4A437311311A3

7、141928A363974105找空格對應(yīng)的閉回路，計(jì)算檢驗(yàn)數(shù):11 = 1,12=1，22 = 0,24 = 2需求重365620運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表11 = 1運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表33 = 1222 = 2,12=2,14=1,23 = 1 ,31 = 9,已出現(xiàn)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，方案需要調(diào)整，調(diào)整量為 調(diào)整后的第二個(gè)調(diào)運(yùn)方案如下表：求第二個(gè)調(diào)運(yùn)方案的檢驗(yàn)數(shù):已出現(xiàn)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，方案需要再調(diào)整，調(diào)整量為 調(diào)整后的第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案如下表：所有檢驗(yàn)數(shù)非負(fù)，故第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案最優(yōu)，最低運(yùn)輸總費(fèi)用為：2 X 3+5X 3+1X 1 + 3X 8+6X 4+3X5=85 （百元）該企業(yè)生產(chǎn)的甲、 今已知上述三種產(chǎn)品例2

8、某物流公司下屬企業(yè)經(jīng)過對近期銷售資料分析及市場預(yù)測得知, 乙、丙三種產(chǎn)品，均為市場緊俏產(chǎn)品，銷售量一直持續(xù)上升經(jīng)久不衰。的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為4公斤、4公斤和5公斤；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時(shí)分別為6臺(tái)時(shí)、3臺(tái)時(shí)和6臺(tái)時(shí)。另外，三種產(chǎn)品的利潤分別為 400元/件、250元/件和300180元/件。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時(shí)的供應(yīng)有一定限制，原材料每天只能供應(yīng)公斤，工時(shí)每天只有 150臺(tái)時(shí)。1 .試建立在上述條件下，如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)生產(chǎn)這三種產(chǎn)品能獲得利潤最大 的線性規(guī)劃模型。2 .寫出用MATLA瞅件計(jì)算該線性規(guī)劃問題的命令語句。解：1、設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品分別為X1

9、件、線性規(guī)劃模型為X2件和X3件，顯然X1, X2,X3>0max S400xi250X2 300X34x16x14x23x2Xi,X2, X35x3 1806X3 150 03 .解上述線性規(guī)劃問題的語句為：>>clear;>>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)例3已知矩陣AABCT1解:AB C0解:設(shè) y = (1 + x2)lnx,求：y(1x2) ln x(1 x2

10、)(ln x)2xln求：y解:(eX)(1 x)eX(1 x)(1 X)2Xxe(1 X)2某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為 2萬元,每多生產(chǎn)1百臺(tái)產(chǎn)品,總成本增加1萬(萬元)。當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤最大?元，銷售該產(chǎn)品 q百臺(tái)的收入為 R(q) =4q-0.5q2 最大利潤為多少？解：產(chǎn)量為q百臺(tái)的總成本函數(shù)為：C(q) = q + 2 利潤函數(shù) L (q) = R(q) C(q) = 0.5q2 + 3q 2 令MLq) = q+ 3= 0得唯一駐點(diǎn) q= 3 (百臺(tái))故當(dāng)產(chǎn)量q=3百臺(tái)時(shí)，利潤最大，最大利潤為L(3) = 0.5 X3 2+3X3 2=2.5 (萬元)例8某物流企業(yè)生產(chǎn)某種商

11、品，其年銷售量為1000000件，每批生產(chǎn)需準(zhǔn)備費(fèi)1000元,而每件商品每年庫存費(fèi)為0.05元，如果該商品年銷售率是均勻的，試求經(jīng)濟(jì)批量。解：庫存總成本函數(shù) C(q)q 100000000040 q人11000000000 八,令C (q) 2 0得定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn) q=200000件。40q2即經(jīng)濟(jì)批量為200000件。 1例9計(jì)算定積分：。(乂 3ex)dx-1V1 2 Y .15斛：。儀 3e )dx (-x3e)|0 3e -例10計(jì)算定積分：3(x2 2)dx1 x32213.326斛：1 (x-)dx(-x 21n |x|)|2ln 3教學(xué)補(bǔ)充說明exp(x),1 .對編程問題，

12、要記住函數(shù)ex, 1n x, xx在MATLA瞅件中相應(yīng)的命令函數(shù)log(x) , sqrt(x);2對積分問題，主要掌握積分性質(zhì)及下列三個(gè)積分公式：xadxexdx1a 1xe (a 1x c (aw 1)1dx ln |x| c x7.記住兩個(gè)函數(shù)值：e°=1, ln 1 = 0。模擬試題一、單項(xiàng)選擇題：(每小題4分，共20分)1 .若某物資的總供應(yīng)量( C )總需求量，可增設(shè)一個(gè)虛銷地，其需求量取總供應(yīng)量 與總需求量的差額，并取各產(chǎn)地到該銷地的單位運(yùn)價(jià)為0,則可將該不平衡運(yùn)輸問題化為平衡運(yùn)輸問題。(A)等于(B)小于(C)大于(D)不超過2 .某物流公司有三種化學(xué)原料A1, A

13、2, A。每公斤原料 A1含B, B2, B3三種化學(xué)成分的含量分別為0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料 A2含B,B3的含量分別為0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料 A3含B, B?, B3的含量分別為0.3公斤、0.4公斤 和0.3公斤。每公斤原料 A1, A2, A3的成本分別為500元、300元和400元。今需要 B1成分 至少100公斤，B2成分至少50公斤，B成分至少80公斤。為列出使總成本最小的線性規(guī)劃 模型，設(shè)原料 A, X,備的用量分別為x1公斤、x2公斤和x3公斤，則目標(biāo)函數(shù)為( D )。(A) max S= 500x1 + 300x2+ 400x3

14、(B) min S= 100x1+ 50x2+ 80x3(C) max S= 100x1 + 50x2+ 80x3(D) min S= 500x1+300x2+400x33.設(shè)A124x7(A) 4(C) 24.設(shè)運(yùn)輸某物品q噸的成本(單位:(B) 3(D) 1元)函數(shù)為C(q) = q2+ 50q+ 2000 ,則運(yùn)輸該物品100噸時(shí)的平均成本為(A) 170(C) 17005.已知運(yùn)輸某物品 的收入增加量為(D300(A) MR(q)dq100A )元/噸。(B)250(D)17000q噸的邊際收入函數(shù)為 )°C(0)(B)MR(q),則運(yùn)輸該物品從 100噸到300噸時(shí)(C)

15、MR(q)dq(D)100MR(q)dq300300100 MR(q)dq二、計(jì)算題:(每小題7分，共21分)26 .已知矩陣AB+ C解：AB7 .設(shè)y解：y(In x) (1x3)(ln x) (13x )32(1 x )3x - 2.3x In xx3 2(1 x )1 2B，并且 A= B,則 x= ( C )。x 71 o8 .計(jì)算定積分：Q(x 2ex)dx1 ° v1/ v 17解：o(x3 2ex)dx (：x4 2ex) 2e 7三、編程題：(每小題6分，共12分)9 .試寫出用MATLAB軟件求函數(shù) y ln(Vx x2 ex)的二階導(dǎo)數(shù) y的命令語句。解：>

16、;>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)10 .試寫出用MATLA歆件計(jì)算定積分1xe、*dx的命令語句。0解：>>clear;>>syms x y;>>y=x*exp(sqrt(x);>>int(y,0,1)四、應(yīng)用題(第11、12題各14分，第13題19分，共47分)11 .某物流企業(yè)生產(chǎn)某種商品，其年銷售量為1000000件，每批生產(chǎn)需準(zhǔn)備費(fèi)1000元,而每件商品每年庫存費(fèi)為 0.05元，如果該商品年銷售率是均勻的，試求

17、經(jīng)濟(jì)批量。解:庫存總成本函數(shù) C(q)q 100000000040 q人11000000000 -, 一令C (q) - 2 0得定義域內(nèi)的惟一駐點(diǎn) q = 200000件。40q2即經(jīng)濟(jì)批量為200000件。12 .某物流公司下屬企業(yè)經(jīng)過對近期銷售資料分析及市場預(yù)測得知，該企業(yè)生產(chǎn)的甲、 乙、丙三種產(chǎn)品，均為市場緊俏產(chǎn)品，銷售量一直持續(xù)上升經(jīng)久不衰。今已知上述三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為4公斤、4公斤和5公斤；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時(shí)分別為6臺(tái)時(shí)、3臺(tái)時(shí)和6臺(tái)時(shí)。另外，三種產(chǎn)品的利潤分別為400元/件、250元/件和300元/件。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時(shí)的供應(yīng)有一定限制，

18、原材料每天只能供應(yīng)180公斤，工時(shí)每天只有150臺(tái)時(shí)。試建立在上述條件下，如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)生產(chǎn)這三種產(chǎn)品能獲得利潤最大的線性規(guī)劃模型，并寫出用MATLA瞅件計(jì)算該線性規(guī)劃問題的命令語句。 解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品分別為X1件、X2件和X3件，顯然X1, X2, X3> 0線性規(guī)劃模型為maXS 400X1 250X2 300X34X1 4X2 5X3 180 6X1 3x2 6x3 150 X1, x2, x3 0解上述線性規(guī)劃問題的語句為： >>clear;>>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>

19、B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB) 線性規(guī)劃習(xí)題1.某物流公司下屬企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要用A, B, C三種不同的原料，從工藝資料知道：每生產(chǎn)一件產(chǎn)品甲，需用三種原料分別為1, 1, 0單位；生產(chǎn)一件產(chǎn)品乙，需用三種原料分別為1, 2, 1單位。每天原料供應(yīng)的能力分別為 6, 8, 3單位。又知，銷售一件 產(chǎn)品甲，企業(yè)可得利潤 3萬元；銷售一件產(chǎn)品乙，企業(yè)可得利潤4萬元。試寫出能使利潤最 大的線性規(guī)劃模型，并用 MATLA瞅件計(jì)算(寫出命令語句，并用 MATLABt件運(yùn)行)。解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)

20、品 X1噸，乙產(chǎn)品x2噸。線性規(guī)劃模型為:max S 3x1 4x2XiX26x12x28x23Xi,X20用MATLA瞅件計(jì)算該線性規(guī)劃模型的命令語句為：> > clear;> > C=-3 4;> > A=1 1;1 2;0 1;> > B=6;8;3;> > LB=0;0;> > X,fval=linprog（C,A,B,口,LB）2 .某物流公司有三種化學(xué)產(chǎn)品 A, 2 A都含有三種化學(xué)成分 B1, B2, B3,每種產(chǎn)品成 分含量及價(jià)格（元/斤）如下表，今需要 B成分至少100斤，B2成分至少50斤，B3成分至少

21、 80斤，試列出使總成本最小的線性規(guī)劃模型。min S 500X10.7X1 0.1x20.2X1 0.3x20.1x1 0.6x2300x2 400x30.3X3 1000.4X3 500.3x3 80相關(guān)情況表產(chǎn)品含量成分每斤產(chǎn)品的成分含量AiA2A0.70.10.3B20.20.30.4B20.10.60.3產(chǎn)品價(jià)格（元/斤）500300400解：設(shè)生產(chǎn) A1產(chǎn)品X1公斤，生產(chǎn)A2產(chǎn)品X2公斤，生產(chǎn)A3產(chǎn)品X3公斤,Xi,X2, X33 .某物流企業(yè)下屬家具廠生產(chǎn)桌子和椅子，產(chǎn)品的銷路挺好。生產(chǎn)每張桌子的利潤為12元，每張椅子的利潤為 10元。生產(chǎn)每張桌子在該廠的裝配中心需要10分鐘，在

22、精加工中心需要20分鐘；生產(chǎn)每張椅子在裝配中心需要14分鐘，在精加工中心需要12分鐘。該廠裝配中心一天可利用的時(shí)間不超過1000分鐘，精加工中心一天可利用的時(shí)間不超過880分鐘。假設(shè)生產(chǎn)桌子和椅子的材料能保證供給。試寫出使企業(yè)獲得最大利潤的線性規(guī)劃模型，并用MATLA瞅件計(jì)算（寫出命令語句，并用MATLA瞅件運(yùn)行出結(jié)果）解：設(shè)生產(chǎn)桌子Xi張，生產(chǎn)椅子X2張max S12xi10X210x114x2100020x112x2880Xi,X2MATLAB軟件的命令語句為：>> clear;> > C=-12 10;> > A=10 14; 20 12;> > B=1000 ; 880;> > LB=0;0;> > X,fval=linprog(C,A,B,口,LB)4、某物流企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品分別需要A,B,C,D四種不同的機(jī)床加工，這四種機(jī)床的可用工時(shí)分別為1500, 1200, 1800, 1400.每件甲產(chǎn)品分別需要A,B,C機(jī)床加工