初中數(shù)學競賽中的軸對稱

1、初中數(shù)學競賽中的“軸對稱”（江蘇省常熟市昆承中學，215500）我們利用軸對稱的性質，在探求幾許多數(shù)學問題所涉及的對象具有對稱性，軸對稱是常見的形式之一.何最值、解決生活實際問題等方面有著奇妙的作用.1利用軸對稱計算角的度數(shù)MCA30MACVABC 中， BAC BCA 44 求 BMC的度數(shù).M為VABC形內一點，使得（2005,北京市中學生數(shù)學競賽（初二）BACBCA作BDAC于D ,延長44 ,得 AB AC , ABC 92 .CM交BD于點O,連結OA.易知BD是VABC的對稱軸.所以 OAC MCA 30BAO BAC OACOAM OAC MAC 所以 BAO MAO .又 AO

2、D 90 OAD4430603014 ,1614 .COD，所以BOiMDAOM 120由于 例 的度數(shù).解則如圖，在VABC中， ABC 46 , D是BC邊上的一點,作VABD關于AD的軸對稱圖形 VAED,EAD 21 , AE AB,所以 DE BD .易知 ADC 2146故 ADEADB 18067 .67113 ,DC AB , DAB 21 .試求 CADCDE 113連結CE ,6746 .因為 DC AB ,所以 VCDE VABDVAED .又 OA OA ,所以 VABO 9 VAMO .故 OB OM .BOM 120 ,從而 OMB OBM BMC 180 OMB

3、150 .設 O 為 AE 與 DC 的交點，貝U AOC ADC DAE 672188 .因為 ODE OED 46 ,是 OD OE .又 DC AE ,則 AO CO OCA OAC 46 .所以， DAC DAE EAC 67 .2利用軸對稱求線段的長度、證明線段相等例3如圖，在矩形ABCD中，已知對角線長為 2,且12 34 ,則四邊形EFGH的周長為（）B. 4C. 42D. 6解 如圖，根據(jù)軸對稱的性質，VIJK的斜邊是四邊形 EFGH的周長.（2010,四川省初中數(shù)學聯(lián)賽（初二） J而直角邊分別是矩形邊長的兩倍，又矩形 對角線與矩形兩邊構成直角三角形，因此四邊形 EFGH的周長

4、是矩形對角線長的 2倍.4CEDF分別取點求證:如圖，在 VABC的邊AB、AC上Q、P,使得PBCBQ證明：因為PBCQCB則 BQCCPBACB12 A) (A作點 于是 所以 工日180P關于BC的對稱點P',連結BQCB、 P'、BP'C 180 , PCC、Q四點共圓.BP'、CP'.P'C .J TE故BQ 因此，P'BCP'CPBC QCB ,則 BP'/CQ .（夾在平行弦間）.BQ CP .3利用軸對稱求圖形的面積例4如圖，在VABC中，C 90 , I是 A、12.則四邊形 ABDE的面積等于 .已知V

5、ABI的面積為（2004,北京市中學生數(shù)學競賽（初二）解 分別作點E、D關于AD、BE的對稱點則點F、G在AB上，連結IF、易知 AIB 90由軸對稱的性質知,AIE AIF1 C2IFBIDIE , IDBIG 45所以 FIG A舊 AIF BIG 13545 4545 BID .作 DH BE 于 H, GK IF 于 K.易證 VIDH VIGK .所以 GK DH .,11故IE DH -IF GK ,即 Svide SVigf .22例 5 在四邊形 ABCD 中，AB 30, AD 48, BC 14, CD 40,BDC 90 .求四邊ABD因此 SH形 ABDE 2SVAIB

6、 24 ,形ABCD的面積.解 如圖，有 SVABD SVA,BD， A'D AB 30,A'B AD 48, A'DB ABD, 于是有 A'DC A'DB BDC ABD BDC故，在 RtVA'DC 中，A'C -02 40250.在 VA'BC 中，BC2 A'B2 142 482 2500502 A'C2.所以 A'BC 90 .因此'S 四形 ABCDSH 形 A'BCD =S/A'BCS/A'DC11-48 14+- 30 40=936 .224利用軸對稱探求幾

7、何最值PO 10,兩邊上各有點 Q、R （均不同于 O）,則VPQR的例6如圖， AOB 45 , P為角內一點, 周長的最小值為.（2001年第12屆五羊杯”邀請賽試題）BN解 分另1J作P關于OA、OB的對稱點M、N, 連結MN交OA、OB于Q、R,則 PQR即為符合 條件的三角形.如圖，由軸對稱的性質知 OP OM ON 10, 而 MON 2 AOB 90 ,所以4ABC的周長 MN 1072 .例7河岸l同側的兩個居民小區(qū) A、B到河岸的距離分別為 am、bm （即圖1中所示AA' am, BB' bm）, A'B' c m.現(xiàn)欲在河岸邊建一個長度為

8、s m的綠化帶CD （寬度不計），使C到小區(qū)A的距離 與D到小區(qū)B的距離之和最小.（1）在圖2中畫出綠化帶的位置，并寫出畫圖過程；（2）求AC BD的最小值.（2006,第20屆江蘇省初中數(shù)學競賽）tB/ba：bAAA' C s D B'A'B' 1圖1圖2解 (1)如圖3,作線段AP/1，使AP s ,且點P在點A的右側.取點 P關于l的對稱點P',連結BP'交l于點D ,在l上點D的左側截取DC s ,則CD即為所求的綠化帶的位置. Q證明 如圖3,設綠化帶建于另一位置 C'D' . A s P'一連結BD'、

9、PD'、AC'、P'D'.則由對稱性 知，P'D PD , P'D' PD'.由 AP 里CD 及 ApIc'D',知 AC PD ,但 P'D' BD' P'B P'D BD,即 PD' BD' PD BD .就是 AC BD(當且僅當D'在線段P'B與l的交點時等號成立) 所以，這樣畫出的 AC BD最小.(2) AC BD的最小值即為線段 P'B的長度.延長 BB',作 P'H BB'于 H,則 BH BB

10、' B'H b a, P'H c s .所以 P'B P'H2 BH2 (c s)2 (b a)2.即AC BD的最小值為J(c s)2 (b a)2 .練習題1. (1)已知A、B兩點在直線 MN的同側，在 MN上求一點P,使PA與PB的和最小； 一. 一 " ' ' (2)若A、B兩點在直線MN的兩側，在MN上求一點P ,使P A、P B中較長一條與較短一條的差最大.提示：作法(1)如圖1,作點A關于MN的對稱點A',連結A'B ,交MN于點P,則點P即為所求。(2)如圖2,作點B關于MN的對稱點B'

11、,連結AB'并延長，交MN于點P',則P'即為所求.2.如圖，矩形 ABCD中，AB 20cm, BC 10cm ,若在AC、AB上各取一點 M、N,使BM MN的值 最小，求這個最小值.（1998,北京市初中數(shù)學競賽）解：如圖，作點 即為所求的點.B關于直線AC的對稱點B',交AC于由 SV ABC1AB 2BC1 -AC 2所以BB'2BE易證VB'NBs VABC .所以B'NB'BABACM,則 M、N是B'N8,5 2010,516 故 BMMN的最小值為16cm.3.在 VABC 中，AB提示：作AHBC于H

12、,因為BACAB80 , O為形內一點, AC ,所以AH平分OCB 30 .求 BAO的度數(shù).即 BAH CAH 40 延長CO交AH于P,則 連結BP ,由對稱性知，所以 PBO 3010因此， APB 4020在VABP和VOBP中，BOPPBC 20 .20 BAP40PCBBAP.30 .P'ABPOBC=10 , BAC , AOBP 20 . CBOP40 , BPBB,所以 VABP VOBP ,故 AB 所以 BAO BOA 70 .4.在 VABC 中， A 75 ,OB .因為 ABO 40 ,B 35 , D是邊BC上一點,BD求證：AD2(AC BD)(AC提

13、示：如圖，延長BC到E,使CE AC .由題設知（2008,我愛數(shù)學初中夏令營數(shù)學競賽）C 70 ,則 E 35 B ,即VABE是等腰三角形.過_ 2_ 22AD AC CD 2CD CM2CM) (AC BD)(AC CD).中，AB 12, AD 3 ,E、F分別是EAB、DC上C勺則DU折線AFEC條的最小值為點A作AM BE于點M,則M為邊BE的中點.取BD的中點F,則BF FD DC .連結AF.在 RtVADM 中，AC2 CD(CD5 .在矩形ABCD(2009,全國初中數(shù)學聯(lián)賽四川省初賽)提示：如圖，分別作點A、C關于DC、AB的對稱點A、Cj連2ACi分別交AB、DC于點匕

14、、與，連結AE、C1E1 .過A作BC延長線的垂線，垂足為 G .又AG AB 12,C1G 3AD 9,則由勾股定理知22ACi qAG CiG 15.故 AF FE EC A1F FE EC1 AC1 15 .當點E、F分別與Ei、Fi重合時，取到最小值.6 .在直角坐標系中，已知兩點 A ( 8, 3)、B( 4,匕AiG5)以及動點C(0, n)、D(m, 0),則當四邊形 ABCD的周長最小時，比值 口為()nA.2 B.2 C.- D.332(2004,第i9屆江蘇省初中數(shù)學競賽(初三)提示：如圖，設點A關于x軸的對稱點為 A',點B關于y軸的對稱點為B',則A&#

15、39;( 8, 3) , B'(4,5).所以,A'B'上，故有8a b4ab 53,解得即A'B'的方程為y277 7、x .從而知點C(0,),33377m 一, n -.23所以m 3 .故選C.n 2當點C、D均在直線A'B'上時，四邊形ABCD的周長最小，即為AB A'B'.設直線A'B'的方程為y ax 因為A'、B'在直線在VABC中， ABC 2 ACB,形內的點P滿足AB AP, PB PC .證明：AP是 BAC的三等分線.(i994,中國香港數(shù)學奧林匹克)解：如圖，以邊 BC的中垂線為軸，作 VABP的軸對稱VDCP ,連結AD、CD、PD .易知四邊形 ABCD為等腰梯形，則A、B、C、D四點共圓.因為 DCB ABC 2 ACB ,所以 DCA ACB .在上述圓中，可得 Da Ab .于是，da=ab=dc=ap.故VAPD是正三角形，且 D是VAPC的外心. 1 1_1_此時， PAC PDC -PAB ,故 PAC一BAC.223已知在VABC中， A 70 , B 90 ,點A關于BC的對稱 / B' 點是A',點B關于AC的對稱點是B',點C關于AB的對稱點Ze)L_是C'.若VABC