立體幾何中添加輔助線的策略

1、立體幾何中添加輔助線的策略Ting Bao was revised on January 6, 20021立體幾何中添加輔助線的策王留廷立體兒何中添加輔助線的主要策略：一是把定義或者定理中缺少的線、面、 體補(bǔ)完整；二是要把已知量和未知量統(tǒng)一在一個(gè)圖形中，如統(tǒng)一在一個(gè)三角形 中，這樣可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以統(tǒng)一在平行四邊 形或其他幾何體中。下面加以說明。一、添加垂線策略。因?yàn)榱Ⅲw幾何的許多定義或定理是與垂線有關(guān)的，如線面角、二面角的定 義，點(diǎn)到平面、線到平面、平面到平面距離的定義，三垂線定理，線面垂直、 面面垂直的判定及性質(zhì)定理，正棱柱、正棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)等，所以運(yùn)用

2、這些定義或定理，就需要把沒有的垂線補(bǔ)上。尤其要注意平面的垂線，因?yàn)橛?了平面的垂線，才能建立空間直角坐標(biāo)系，才能使用三垂線定理或其逆定理。例1.在三棱錐O-ABC中，三條棱OA、OB、0C兩兩互相垂直，且0A二0B二OC, M是AB邊的中點(diǎn)，則0M與平面ABC所成的角的大小是（用反三角函數(shù)表示）。圖1解：如圖 1,由題意可設(shè)OA = a，則 AB=BC = CA = &a.Vo_ABC='a3，。點(diǎn) 6在底面的射影D為底面AABC的中心，OD = ；S* = £a。乂q'aabc=&,所以二1nDM = iMC = a, OM與平面ABC所成角的正切值

3、是tail 6 = 36點(diǎn)評(píng)：本題添加面ABC的垂線0D,正是三棱錐的性質(zhì)所要求的，一方面它 構(gòu)造出了正三棱錐里面的RtAODM, RtAODC，另一方面也構(gòu)造出了 0M與平面 ABC所成的角。二、添加平行線策略。其目的是把不在一起的線，集中在一個(gè)圖形中，構(gòu)造出三角形、平行四邊 形、矩形、菱形，這樣就可以通過解三角形等，求得要求的量，或者利用三角 形、梯形的中位線來作出所需要的平行線。A B例2.如圖2,在正方體ABCD-AB£D中,B=DF = U，則BE】與 DF所成角的余弦值是（）解析：取A1G = A曲，易得四邊形ADFG是平行四邊形，則AGEEAGGE|EA NBEEBE如

4、圖3, 0是半徑為1的球的球心，點(diǎn)A、B、C在 球面上，OA、OB、0C兩兩垂直，E、F分別是大圓弧AB與AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E、 F在該球面上的球面距離是（）解析：添加輔助線OE、OF,連結(jié)EF,構(gòu)成AOEF,關(guān)鍵是求ZEOF。為了使 EF與已知條件更好地聯(lián)系起來，過E作EG_LAO,垂足為G,連結(jié)FG,構(gòu)造AGEF,在圖 3 中，EG = lxsin- = = FG,ZEGF = -oEF = >/EG2 +FG2 =1 = OE = OEZEOF = -二點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離為加十故選B。點(diǎn)評(píng)：本題抓住了球心，抓住了弧中點(diǎn)，利用這些特殊點(diǎn)作輔助線是解題的 關(guān)鍵。四、名線策略。即

5、添加常用的、重要的線，如中位線、高、角平分線、面對(duì) 角線和體對(duì)角線等。盡管這些線上面也有提到，但還是要在這里強(qiáng)化一下，這 些線有著廣泛的聯(lián)系。尤其是添加三角形中位線或者梯形中位線，這主要是因 為中位線占據(jù)了兩個(gè)邊的中點(diǎn)，并且中位線平行于底邊，且是底邊長(zhǎng)的一半， 它可以把底邊與其他線面的角度關(guān)系平移，使已知和未知集中在一個(gè)三角形例4.如圖4,正三棱柱ABC-A|BG的各棱長(zhǎng)都為2, E、F分別是AB、A1。的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是（）。解析：如圖4所示，取AC的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG,則易得FG = 2,EG =1, 故 EF = ",選 C。點(diǎn)評(píng)：本題充分體現(xiàn)了中位線的重要性。五、割補(bǔ)策略。分割成常見規(guī)則圖形，或者補(bǔ)形成典型幾何體。例5. 一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為應(yīng)，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的 表面積為（）A. 3兀B. 4兀C. 3、/5nD. 6 兀解析：把這個(gè)正四面體A-BCD補(bǔ)成正方體，如圖5,正四面體A-BCD可 看成是由正方體的面對(duì)角線構(gòu)成的，這個(gè)正四面體和這個(gè)正方體有相同的外接 球面。因?yàn)樗拿骟wA-BCD的棱長(zhǎng)為應(yīng)，所以正方體棱長(zhǎng)為1,正方體的體對(duì) 角