初二數(shù)學(xué)壓軸幾何證明題(含答案)精編版

1、最新資料推薦1.四邊形ABC比正方形， BEF是等腰直角三角形，/ BEF=90° , BE=EF連接DF, G為DF的中點(diǎn)，連接 EG CG EC(1)如圖1,若點(diǎn)E在CB邊的延長(zhǎng)線上，直接寫(xiě)出 EG與GC的位置關(guān)系及的值；(2)將圖1中的 BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，請(qǐng)問(wèn)(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；將圖1中的 BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a (0 ° V a <90° ),若BE=1, AB=,當(dāng)E, F, D三 點(diǎn)共線時(shí)，求 DF的長(zhǎng)及tan/ABF的值.解:(1) EGL CG6理由是：過(guò)G作GH

2、L EC于H, / FEB=Z DCB=90 , .EF/ GH DC .G為DF中點(diǎn), .H為EC中點(diǎn),X(EF+DC=2 (EB+BC ,EG=GC GH=2即 GH=EH=HC/ EGC=90 ,即 EG比等腰直角三角形, ：EC- . CC =V2;理由是：如圖2,延長(zhǎng)EG到H,使EG=GH連接CH EC,過(guò)E作BC的垂線EM延長(zhǎng)CD在 EFGD HDGirCF = GD zFGE= zDGH EG = HC. .EF® HDG(SAS , . DH=EF=BE / FEG4 DHG .EF/ DH / 1 = Z 2=90° - /3=/4,，/EBC=180 -

3、 Z 4=180° -/1 = /HDC在 EBCA HDC中'RE 二 DHzEBC=zHDC麻二CD .EB(C HDC .CE=CH / BCE=/ DCH / ECHh DCH它 ECDW BCE吆 ECD叱 BCD=90 , . ECH是等腰直角三角形， .G為EH的中點(diǎn)，ECEG± GC CC =V2,即（1）中的結(jié)論仍然成立;解：連接BD. AB=V,正方形 ABCDBD=2,cos / DBE=ED = 2 ,/ DBE=60 , / ABE土 DBE-Z ABD=15 ,，/ABF=45 -15 ° =30° ,西tan / A

4、BF= 3 ,.-.DE=VBE=/,DF=DE-EF=/3-1 .解析：(1)過(guò)G作GHL EC于H,推出EF/ GH/ DC求出H為EC中點(diǎn)，根據(jù)梯形的中位線求出 EG=GC m x 曰GH=2 (EF+DC = 2 (EB+BC ,推出GH=EH=BC根據(jù)直角二角形的判定推出EGB等腰直角三角形即可；(2)延長(zhǎng)EG到H,使EG=GH連接 CH EC,過(guò)E作BC的垂線EM 延長(zhǎng) CD證 EFCGA HDG 推出 DH=EF=BE / FEGh DHG 求出/ EBC4 HDC 證出 EB黃 HDC 推出 CE=CH ZBCE=Z DCH求出 ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；BEnrr

5、i(3)連接BD,求出cosZDBE=BD = 2 ,推出/ DBE=60 ,求出/ ABF=30° ,解直角三角 形求出即可.2.已知正方形 ABC麗等腰直角三角形 BEF, BE=EF / BEF=90° ,按圖1放置，使點(diǎn)E在BC 上，取DF的中點(diǎn)G連接EG CG延長(zhǎng)EG交DC于H,試說(shuō)明：DH=BE(2)將圖1中4 BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45° ,連接DF,取DF中點(diǎn)G(如圖2),莎莎同學(xué)發(fā)現(xiàn)： EG=C(M EGLCG在設(shè)法證明時(shí)他發(fā)現(xiàn)：若連接 BD則D, E, B三點(diǎn)共線.你能寫(xiě)出結(jié)論 “EG=CG! EGL CG'的完整理由嗎？請(qǐng)寫(xiě)出來(lái).將圖

6、1中4 BEF繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度 a (0 V a <90° ),再連接DF,取DF的中點(diǎn)G(如圖 3),第2問(wèn)中的結(jié)論是否成立？若成立，試說(shuō)明你的結(jié)論；若不成立，也請(qǐng)說(shuō)明理由.EF/ DH ./ EFG=/ GDH而/ EGF=/ DGH GF=GD .GEM GHD .EF=DH而 BE=EF .DH=BE(2)連接DB,如圖,5 aF C. BEF為等腰直角三角形,/ EBF=45 ,而四邊形ABC陰正方形，/ DBC=45 , .D, E, B三點(diǎn)共線.而/ BEF=90 , . FED為直角三角形，而G為DF的中點(diǎn)，EG=GD=G C / EGC=2 EDC=90 ,

7、 EG=CGS EG1CG;(3)第2問(wèn)中的結(jié)論成立.理由如下：連接AG BD相交于點(diǎn)0,取BF的中點(diǎn)M連接OG EM MG如圖,DC,G為DF的中點(diǎn)，0為BD的中點(diǎn)，M為BF的中點(diǎn)， .OG/ BF, GM/ 0B, 四邊形0GM的平行四邊形， .-0G=BM GM=0B而 EM=BM 0C=0BEM=0G MG=0C . / D0G=GMF而/ D0C=EMF=9O , ./ EMG=G0C . MEG2 0GCEG=CG / EGM= 0CG又. / MGF=BDF, /FGC4GDC+GCD/ EGC= EGM+ MGF+ FGC= BDF+/ GDC+ GCD+ 0CG=45 +45

8、° =90 EG=CGS EG1CG解析：(1)由/ BEF=90° ,彳#到 EF/ DH 而 GF=GD 易證得 GEM GHD 彳導(dǎo) EF=DH 而 BE=EF 即可得到結(jié)論.(2)連接DB,如圖2,由 BEF為等腰直角三角形，得/ EBF=45 ,而四邊形 ABCM正方 形，得/ DBC=45 ,彳#到D, E, B三點(diǎn)共線，而 G為DF的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的 中線等于斜邊的一半得到 EG=GD=GC于是/ EGC=2 EDC=90 ,即得到結(jié)論.(3)連接AG BD相交于點(diǎn)0,取BF的中點(diǎn) M連接OG EM MG由G為DF的中點(diǎn)，O為 BD的中點(diǎn)，M為BF

9、的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得 OG/ BF, GM/ 0B得到0G=BMGM=0B 而 EM=BM 0C=0B 得至U EM=0G MG=0。又/ D0G= GMF 而/ D0C= EMF=90 ,彳導(dǎo)/ EMG= / G0C 則 ME3 0GC 得到 EG=CG / EGM= 0CG 而/ MGF= BDF / FGC= GDC+ GCD 所以有/ EGC= EGM+MGF+FGCN BDF吆 GDC+GCD+0CG=45 +45° =90° .3.已知正方形 ABC麗等腰RtABEF, BE=EF / BEF=90° ,按圖放置，使點(diǎn) F在BC上， 取DF

10、的中點(diǎn)G連接EG CG(1)探索EG CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；(2)將圖中4 BEF繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45° ,再連接DF,取DF中點(diǎn)G(如圖)，問(wèn)中的 結(jié)論是否仍然成立.證明你的結(jié)論；將圖中 BEF繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度(旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間)，再連接DF,取DF的中 點(diǎn)G(如圖)，問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立，證明你的結(jié)論.解：（1） EG=C（S. EGL CG證明如下：如圖，連接BD. ,正方形 ABCDF口等腰Rt BEF / EBF=Z DBC=45 . B、E、D三點(diǎn)共線. . /DEF=90 , G為 DF的中點(diǎn)，/ DCB=90 , EG=

11、DG=GF=C G/ EGF=2 EDG / CGF=2/ CDG / EGF+Z CGF=2/ EDC=90 ,即/ EGC=90 , EG± CG(2)仍然成立, 證明如下：如圖，延長(zhǎng) EG交CD于點(diǎn)H . BEX EF,EF/ CD / 1 = Z2.又, / 3=Z4, FG=DG. FE® DHG .EF=DH EG=GH. BEF為等腰直角三角形， .BE=EF BE=DH,. CD=BC CE=CH . ECH為等腰直角三角形.又 EG=GHEG=CG! EG! CG(3)仍然成立.證明如下：如圖，延長(zhǎng) CG至H,使GH=CG連接HF交BC于M連接EH EC

12、. GF=GD / HGFW CGD HG=CG. HFg CDG .HF=CD / GHFW GCD .HF/ CD 正方形ABCD.HF=BC HF± BC. BEF是等腰直角三角形， .BE=EF / EBC4 HFE . BEC FEH .HE=EC / BEC4 FEH/ BEF=Z HEC=90 ,. ECH為等腰直角三角形.又 CG=GHEG=CG! EG! CG解析：(1)首先證明B、E、D三點(diǎn)共線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證明 EG=DG=GF=CG#到/ EGF=2 EDG / CGF=2/ CDG 從而證得/ EGC=90 ;(2)首先證明

13、4 FEe ADHG然后證明 ECH為等腰直角三角形.可以證得：EG=CGt EG±CG最新資料推薦(3)首先證明： BE% FEFH即可證得： ECW等腰直角三角形，從而得到：EG=CG且 EGL CG已知，正方形 ABCD中，4BEF為等腰直角三角形，且 BF為底，取DF的中點(diǎn)G,連接EG、CG.9圖1圖2圖3(1)如圖1 ,若4BEF的底邊BF在BC上，猜想EG和CG的數(shù)量關(guān)系為 (2)如圖2,若4BEF的直角邊BE在BC上，則(1)中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,若4BEF的直角邊BE在/ DBC內(nèi)，則(1)中的結(jié)論是否還成立？說(shuō)明理 由.解：(1 ) GC=E

14、G ,( 1分)理由如下： ABEF為等腰直角三角形，1，/DEF=90 ,又G為斜邊DF的中點(diǎn)，. EG=DF ,- .ABCD為正方形，/BCD=90 ，又 G 為斜邊 DF 的中點(diǎn)，96= DF , 1 . GC=EG ;(2)成立.如圖，延長(zhǎng)EG交 CD于 M,£.2BEF= ZFEC= ZBCD=90 , .EF /CD,F，/EFG= /MDG,又 ZEGF= ZDGM, DG=FG ,.GEF 乏GMD,. EG=MG ,即G為EM的中點(diǎn). CG為直角AECM的斜邊上的中線，. CG=GE= EM ;12(3)成立.取BF的中點(diǎn)H,連接EH, GH,取BD的中點(diǎn)O,連接

15、OG, OC.CB=CD , ZDCB=90 , . CO=BD1.DG=GF,. GH/BD,且 GH= BD ,1 OG /BF ,且 OG= BF ,2. CO=GH . ABEF為等腰直角三角形.EH= 1 BF2. EH=OG .四邊形OBHG為平行四邊形， ，/BOG= ZBHG . ,. /BOC= /BHE=90 ，/GOC= ZEHG. AGOCmEHG.EG=GC.此題考查了正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì).要求學(xué)生掌握直角三角形斜邊上的中線等b 于斜邊的一半，以及三角形的中位線與第三邊平行且等于第三邊的一半.掌握這些性質(zhì)，熟練運(yùn)用全i等知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.一解析：

16、(1) EG=CG,理由為：根據(jù)三角形 BEF為等腰直角三角形，得到/ DEF為直角，又G為DF中點(diǎn)，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半， 得到EG為DF的一半，同理在直角：三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代換得證；1I | I(2)成立.理由為：延長(zhǎng)EG交CD于M,如圖所示，根據(jù)“ASA”得到三角形EFG與三角形GDMI卜一r全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到 EG與MG相等，即G為EM中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上i II的中線等于斜邊的一半得到 EG與CG相等都等于斜邊EM的一半，得證；I1(3)成立.理由為：取BF的中點(diǎn)H,連接EH, GH,取BD的中點(diǎn)O,連接OG, OC ,如圖所示，因?yàn)橹苯侨切蜠CB中，O為斜邊BD的