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1、最新資料推薦1.四邊形ABC比正方形, BEF是等腰直角三角形,/ BEF=90° , BE=EF連接DF, G為DF的中點(diǎn),連接 EG CG EC(1)如圖1,若點(diǎn)E在CB邊的延長(zhǎng)線上,直接寫出 EG與GC的位置關(guān)系及的值;(2)將圖1中的 BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置,請(qǐng)問(wèn)(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)寫出證明過(guò)程;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;將圖1中的 BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a (0 ° V a <90° ),若BE=1, AB=,當(dāng)E, F, D三 點(diǎn)共線時(shí),求 DF的長(zhǎng)及tan/ABF的值.解:(1) EGL CG6理由是:過(guò)G作GH
2、L EC于H, / FEB=Z DCB=90 , .EF/ GH DC .G為DF中點(diǎn), .H為EC中點(diǎn),X(EF+DC=2 (EB+BC ,EG=GC GH=2即 GH=EH=HC/ EGC=90 ,即 EG比等腰直角三角形, :EC- . CC =V2;理由是:如圖2,延長(zhǎng)EG到H,使EG=GH連接CH EC,過(guò)E作BC的垂線EM延長(zhǎng)CD在 EFGD HDGirCF = GD zFGE= zDGH EG = HC. .EF® HDG(SAS , . DH=EF=BE / FEG4 DHG .EF/ DH / 1 = Z 2=90° - /3=/4,,/EBC=180 -
3、 Z 4=180° -/1 = /HDC在 EBCA HDC中'RE 二 DHzEBC=zHDC麻二CD .EB(C HDC .CE=CH / BCE=/ DCH / ECHh DCH它 ECDW BCE吆 ECD叱 BCD=90 , . ECH是等腰直角三角形, .G為EH的中點(diǎn),ECEG± GC CC =V2,即(1)中的結(jié)論仍然成立;解:連接BD. AB=V,正方形 ABCDBD=2,cos / DBE=ED = 2 ,/ DBE=60 , / ABE土 DBE-Z ABD=15 ,,/ABF=45 -15 ° =30° ,西tan / A
4、BF= 3 ,.-.DE=VBE=/,DF=DE-EF=/3-1 .解析:(1)過(guò)G作GHL EC于H,推出EF/ GH/ DC求出H為EC中點(diǎn),根據(jù)梯形的中位線求出 EG=GC m x 曰GH=2 (EF+DC = 2 (EB+BC ,推出GH=EH=BC根據(jù)直角二角形的判定推出EGB等腰直角三角形即可;(2)延長(zhǎng)EG到H,使EG=GH連接 CH EC,過(guò)E作BC的垂線EM 延長(zhǎng) CD證 EFCGA HDG 推出 DH=EF=BE / FEGh DHG 求出/ EBC4 HDC 證出 EB黃 HDC 推出 CE=CH ZBCE=Z DCH求出 ECH是等腰直角三角形,即可得出答案;BEnrr
5、i(3)連接BD,求出cosZDBE=BD = 2 ,推出/ DBE=60 ,求出/ ABF=30° ,解直角三角 形求出即可.2.已知正方形 ABC麗等腰直角三角形 BEF, BE=EF / BEF=90° ,按圖1放置,使點(diǎn)E在BC 上,取DF的中點(diǎn)G連接EG CG延長(zhǎng)EG交DC于H,試說(shuō)明:DH=BE(2)將圖1中4 BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45° ,連接DF,取DF中點(diǎn)G(如圖2),莎莎同學(xué)發(fā)現(xiàn): EG=C(M EGLCG在設(shè)法證明時(shí)他發(fā)現(xiàn):若連接 BD則D, E, B三點(diǎn)共線.你能寫出結(jié)論 “EG=CG! EGL CG'的完整理由嗎?請(qǐng)寫出來(lái).將圖
6、1中4 BEF繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度 a (0 V a <90° ),再連接DF,取DF的中點(diǎn)G(如圖 3),第2問(wèn)中的結(jié)論是否成立?若成立,試說(shuō)明你的結(jié)論;若不成立,也請(qǐng)說(shuō)明理由.EF/ DH ./ EFG=/ GDH而/ EGF=/ DGH GF=GD .GEM GHD .EF=DH而 BE=EF .DH=BE(2)連接DB,如圖,5 aF C. BEF為等腰直角三角形,/ EBF=45 ,而四邊形ABC陰正方形,/ DBC=45 , .D, E, B三點(diǎn)共線.而/ BEF=90 , . FED為直角三角形,而G為DF的中點(diǎn),EG=GD=G C / EGC=2 EDC=90 ,
7、 EG=CGS EG1CG;(3)第2問(wèn)中的結(jié)論成立.理由如下:連接AG BD相交于點(diǎn)0,取BF的中點(diǎn)M連接OG EM MG如圖,DC,G為DF的中點(diǎn),0為BD的中點(diǎn),M為BF的中點(diǎn), .OG/ BF, GM/ 0B, 四邊形0GM的平行四邊形, .-0G=BM GM=0B而 EM=BM 0C=0BEM=0G MG=0C . / D0G=GMF而/ D0C=EMF=9O , ./ EMG=G0C . MEG2 0GCEG=CG / EGM= 0CG又. / MGF=BDF, /FGC4GDC+GCD/ EGC= EGM+ MGF+ FGC= BDF+/ GDC+ GCD+ 0CG=45 +45
8、° =90 EG=CGS EG1CG解析:(1)由/ BEF=90° ,彳#到 EF/ DH 而 GF=GD 易證得 GEM GHD 彳導(dǎo) EF=DH 而 BE=EF 即可得到結(jié)論.(2)連接DB,如圖2,由 BEF為等腰直角三角形,得/ EBF=45 ,而四邊形 ABCM正方 形,得/ DBC=45 ,彳#到D, E, B三點(diǎn)共線,而 G為DF的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的 中線等于斜邊的一半得到 EG=GD=GC于是/ EGC=2 EDC=90 ,即得到結(jié)論.(3)連接AG BD相交于點(diǎn)0,取BF的中點(diǎn) M連接OG EM MG由G為DF的中點(diǎn),O為 BD的中點(diǎn),M為BF
9、的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得 OG/ BF, GM/ 0B得到0G=BMGM=0B 而 EM=BM 0C=0B 得至U EM=0G MG=0。又/ D0G= GMF 而/ D0C= EMF=90 ,彳導(dǎo)/ EMG= / G0C 則 ME3 0GC 得到 EG=CG / EGM= 0CG 而/ MGF= BDF / FGC= GDC+ GCD 所以有/ EGC= EGM+MGF+FGCN BDF吆 GDC+GCD+0CG=45 +45° =90° .3.已知正方形 ABC麗等腰RtABEF, BE=EF / BEF=90° ,按圖放置,使點(diǎn) F在BC上, 取DF
10、的中點(diǎn)G連接EG CG(1)探索EG CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明;(2)將圖中4 BEF繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45° ,再連接DF,取DF中點(diǎn)G(如圖),問(wèn)中的 結(jié)論是否仍然成立.證明你的結(jié)論;將圖中 BEF繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度(旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間),再連接DF,取DF的中 點(diǎn)G(如圖),問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立,證明你的結(jié)論.解:(1) EG=C(S. EGL CG證明如下:如圖,連接BD. ,正方形 ABCDF口等腰Rt BEF / EBF=Z DBC=45 . B、E、D三點(diǎn)共線. . /DEF=90 , G為 DF的中點(diǎn),/ DCB=90 , EG=
11、DG=GF=C G/ EGF=2 EDG / CGF=2/ CDG / EGF+Z CGF=2/ EDC=90 ,即/ EGC=90 , EG± CG(2)仍然成立, 證明如下:如圖,延長(zhǎng) EG交CD于點(diǎn)H . BEX EF,EF/ CD / 1 = Z2.又, / 3=Z4, FG=DG. FE® DHG .EF=DH EG=GH. BEF為等腰直角三角形, .BE=EF BE=DH,. CD=BC CE=CH . ECH為等腰直角三角形.又 EG=GHEG=CG! EG! CG(3)仍然成立.證明如下:如圖,延長(zhǎng) CG至H,使GH=CG連接HF交BC于M連接EH EC
12、. GF=GD / HGFW CGD HG=CG. HFg CDG .HF=CD / GHFW GCD .HF/ CD 正方形ABCD.HF=BC HF± BC. BEF是等腰直角三角形, .BE=EF / EBC4 HFE . BEC FEH .HE=EC / BEC4 FEH/ BEF=Z HEC=90 ,. ECH為等腰直角三角形.又 CG=GHEG=CG! EG! CG解析:(1)首先證明B、E、D三點(diǎn)共線,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可證明 EG=DG=GF=CG#到/ EGF=2 EDG / CGF=2/ CDG 從而證得/ EGC=90 ;(2)首先證明
13、4 FEe ADHG然后證明 ECH為等腰直角三角形.可以證得:EG=CGt EG±CG最新資料推薦(3)首先證明: BE% FEFH即可證得: ECW等腰直角三角形,從而得到:EG=CG且 EGL CG已知,正方形 ABCD中,4BEF為等腰直角三角形,且 BF為底,取DF的中點(diǎn)G,連接EG、CG.9圖1圖2圖3(1)如圖1 ,若4BEF的底邊BF在BC上,猜想EG和CG的數(shù)量關(guān)系為 (2)如圖2,若4BEF的直角邊BE在BC上,則(1)中的結(jié)論是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)如圖3,若4BEF的直角邊BE在/ DBC內(nèi),則(1)中的結(jié)論是否還成立?說(shuō)明理 由.解:(1 ) GC=E
14、G ,( 1分)理由如下: ABEF為等腰直角三角形,1,/DEF=90 ,又G為斜邊DF的中點(diǎn),. EG=DF ,- .ABCD為正方形,/BCD=90 ,又 G 為斜邊 DF 的中點(diǎn),96= DF , 1 . GC=EG ;(2)成立.如圖,延長(zhǎng)EG交 CD于 M,£.2BEF= ZFEC= ZBCD=90 , .EF /CD,F,/EFG= /MDG,又 ZEGF= ZDGM, DG=FG ,.GEF 乏GMD,. EG=MG ,即G為EM的中點(diǎn). CG為直角AECM的斜邊上的中線,. CG=GE= EM ;12(3)成立.取BF的中點(diǎn)H,連接EH, GH,取BD的中點(diǎn)O,連接
15、OG, OC.CB=CD , ZDCB=90 , . CO=BD1.DG=GF,. GH/BD,且 GH= BD ,1 OG /BF ,且 OG= BF ,2. CO=GH . ABEF為等腰直角三角形.EH= 1 BF2. EH=OG .四邊形OBHG為平行四邊形, ,/BOG= ZBHG . ,. /BOC= /BHE=90 ,/GOC= ZEHG. AGOCmEHG.EG=GC.此題考查了正方形的性質(zhì),以及全等三角形的判定與性質(zhì).要求學(xué)生掌握直角三角形斜邊上的中線等b 于斜邊的一半,以及三角形的中位線與第三邊平行且等于第三邊的一半.掌握這些性質(zhì),熟練運(yùn)用全i等知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.一解析:
16、(1) EG=CG,理由為:根據(jù)三角形 BEF為等腰直角三角形,得到/ DEF為直角,又G為DF中點(diǎn),根據(jù)在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半, 得到EG為DF的一半,同理在直角:三角形DCF中,得到CG也等于DF的一半,利用等量代換得證;1I | I(2)成立.理由為:延長(zhǎng)EG交CD于M,如圖所示,根據(jù)“ASA”得到三角形EFG與三角形GDMI卜一r全等,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到 EG與MG相等,即G為EM中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上i II的中線等于斜邊的一半得到 EG與CG相等都等于斜邊EM的一半,得證;I1(3)成立.理由為:取BF的中點(diǎn)H,連接EH, GH,取BD的中點(diǎn)O,連接OG, OC ,如圖所示,因?yàn)橹苯侨切蜠CB中,O為斜邊BD的
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