企業(yè)退休職工養(yǎng)老金問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上企業(yè)退休職工養(yǎng)老金問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一、 摘要本文通過(guò)對(duì)企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革問(wèn)題進(jìn)行了探究，建立Logistic數(shù)學(xué)模型并使用Matlab來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)職工的年平均工資，并利用預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)推算職工養(yǎng)老金替代率和未來(lái)職工的養(yǎng)老金缺口情況和收支平衡進(jìn)行分析與計(jì)算。最后提出了合理建議使得建立的模型盡可能地滿足目標(biāo)替代率58.5%和養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡。關(guān)鍵詞：Logistic數(shù)學(xué)模型 預(yù)測(cè) 替代率 收支平衡二、問(wèn)題重述我國(guó)企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)實(shí)行“社會(huì)統(tǒng)籌”與“個(gè)人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個(gè)人工資按

2、一定比例（8%）繳納到個(gè)人賬戶。這兩個(gè)賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險(xiǎn)基金。退休后，按職工在職期間每月（或年）的繳費(fèi)工資與社會(huì)平均工資之比（繳費(fèi)指數(shù)），再考慮到退休前一年的社會(huì)平均工資等因素，從社會(huì)統(tǒng)籌賬戶中撥出資金（基礎(chǔ)養(yǎng)老金），加上個(gè)人工資賬戶中一定比例的資金（個(gè)人賬戶養(yǎng)老金），作為退休后每個(gè)月的養(yǎng)老金。養(yǎng)老金會(huì)隨著社會(huì)平均工資的調(diào)整而調(diào)整。如果職工死亡，社會(huì)統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個(gè)人賬戶中的余額可繼承。個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額以銀行當(dāng)時(shí)公布的一年期存款利率計(jì)息，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，利率統(tǒng)一設(shè)定為3%。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時(shí)的工資及社會(huì)平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長(zhǎng)又與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)相關(guān)。近30年來(lái)我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅

3、速，工資增長(zhǎng)率也較高；而發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)和工資增長(zhǎng)率都較低。我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀(jì)中葉使我國(guó)人均國(guó)民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國(guó)家水平?，F(xiàn)在我國(guó)養(yǎng)老保險(xiǎn)改革正處于過(guò)渡期。養(yǎng)老保險(xiǎn)管理的一個(gè)重要的目標(biāo)是養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收支平衡，它關(guān)系到社會(huì)穩(wěn)定和老齡化社會(huì)的順利過(guò)渡。影響?zhàn)B老保險(xiǎn)基金收支平衡的一個(gè)重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時(shí)的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。按照國(guó)家對(duì)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的總體思路，未來(lái)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)的目標(biāo)替代率確定為58.5%. 替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。

4、所謂缺口，是指當(dāng)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金入不敷出時(shí)出現(xiàn)的收支之差。問(wèn)題一：對(duì)未來(lái)中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長(zhǎng)的形勢(shì)做出你認(rèn)為是簡(jiǎn)化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測(cè)從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。問(wèn)題二：根據(jù)附件2計(jì)算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開(kāi)始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），計(jì)算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問(wèn)題三：假設(shè)某職工自 2000年起從30歲開(kāi)始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基

5、金的缺口情況，并計(jì)算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。問(wèn)題四：如果既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡，該采取什么措施，請(qǐng)給出你的理由。三、模型的假設(shè)1、假設(shè)無(wú)論哪一年的個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額的一年期存款利率利率均為3%；2、假設(shè)企業(yè)職工都愿意參加并繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金；3、假設(shè)職工的工資平穩(wěn)增長(zhǎng)，不會(huì)受到它因素的影響（比如金融危機(jī)）；4、假設(shè)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金領(lǐng)取完后，只發(fā)放基礎(chǔ)養(yǎng)老金。四、符號(hào)說(shuō)明y：年度平均工資；K：個(gè)人賬戶養(yǎng)老金；R：基礎(chǔ)養(yǎng)老金；T：替代率；pi：自2000年起，第i年個(gè)人工資；五、模型分析問(wèn)題一 要求對(duì)未來(lái)我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資

6、增長(zhǎng)形勢(shì)做出假設(shè)，就要根據(jù)實(shí)際情況作出合理的假設(shè)；要求根據(jù)已知數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)出未來(lái)的平均工資，就要根據(jù)達(dá)到中等發(fā)達(dá)國(guó)家水平后工資增長(zhǎng)較慢來(lái)建立模型，當(dāng)達(dá)到一定程度后增長(zhǎng)速度可能會(huì)下降，甚至達(dá)到0。所以這就會(huì)想到Logistic數(shù)學(xué)模型。問(wèn)題二 要求計(jì)算養(yǎng)老金替代率，而且在題目中已經(jīng)給出了替代率的計(jì)算公式，只要找出退休時(shí)的養(yǎng)老金及退休的工資即可。問(wèn)題三 在題目中提到養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口即是指養(yǎng)老保險(xiǎn)基金入不敷出時(shí)的收支出之差，收入就是社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶和個(gè)人賬戶的和，支出即發(fā)放給職工的養(yǎng)老金保險(xiǎn)金額，由附錄三養(yǎng)老金計(jì)算公式可以求得支出。問(wèn)題四 既要達(dá)到目標(biāo)替代率即題目中提到的，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡

7、，而平衡既是指現(xiàn)在收入的與現(xiàn)在付出的差值為0。六、模型的建立與求解問(wèn)題一模型：根據(jù)附表一所給數(shù)據(jù)我們用Matlab（代碼見(jiàn)附錄1）做出了如圖1的年份與工資的關(guān)系圖。圖1 山東省職工歷年平均工資統(tǒng)計(jì)圖由圖中的變化趨勢(shì)，選用指數(shù)趨勢(shì)線對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。設(shè)指數(shù)曲線的一般方程為其中的k1,k2表示待定系數(shù)。其中1978表示第一年，以此類推2010表示第33年，這里的t就是表示第幾年。采用1978年至2010年的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，用Matlab軟件計(jì)算可得(Matlab代碼見(jiàn)附錄2)： 所以擬合出來(lái)的函數(shù)為：帶入t值2011-2035年山東省職工年平均工資的預(yù)測(cè)值（如表1所示）表1 用指數(shù)模型預(yù)測(cè)2011-2

8、035年山東省職工年平均工資年份2011201220132014201520162017年平均工資37832432004933156332643267345483878年份2018201920202021202220232024年平均工資95781年份2025202620272028202920302031年平均工資年份2032203320342035年平均工資通過(guò)表1中預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的分析，我們發(fā)現(xiàn)用指數(shù)增長(zhǎng)模型所得的預(yù)測(cè)值在后面幾年的逐期增長(zhǎng)量過(guò)大，不符合實(shí)際，所以我們對(duì)指數(shù)模型進(jìn)行修改，建立Logistic模型。由題中的意思和實(shí)際分析了解到工資的增長(zhǎng)務(wù)必會(huì)隨著年份的增長(zhǎng)，增長(zhǎng)速度會(huì)慢慢的漸下來(lái)

9、，不會(huì)一直往上增長(zhǎng)。由這樣的分析我們就會(huì)想到Logistic數(shù)學(xué)模型。設(shè)r為工資的增長(zhǎng)速度也是在經(jīng)濟(jì)不發(fā)達(dá)時(shí)的自然增長(zhǎng)速度，分析知日r會(huì)隨著工資y的增長(zhǎng)而減小，所以可將r表示為y的函數(shù)： （1)為了解釋q可以引一個(gè)社會(huì)可達(dá)到的最高工資額ym，這樣便可知道當(dāng)時(shí)工資的增長(zhǎng)率趨于0，由此便可知道：將此式帶人（1）得： （2）因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi) 的增量等于乘以,所以可得到如下關(guān)系：將（2）式帶入得： 對(duì)此式求解得：我們利用1978年至2010年的山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)，用MATLAB軟件擬合得r=0.1237,ym=所以擬合后的函數(shù)為：擬合的圖像如圖2所示。圖2 Matlab擬合圖由上式可以預(yù)測(cè)201

10、1-2035年的平均工資如表2所示。表2 Logistic模型對(duì)2011-2035年年平均工資的預(yù)測(cè)年份2011201220132014201520162017年平均工資36079405614556251133573276419971805年份2018201920202021202220232024年平均工資802019442099581年份2025202620272028202920302031年平均工資年份2032203320342035年平均工資問(wèn)題二 對(duì)于問(wèn)題二中求企業(yè)各年齡段職工工資與企業(yè)平均工資之比，可以先求出各年齡段的總工資，這時(shí)可以利用公式:即可求出該年齡段對(duì)應(yīng)的工資段的總平均

11、工資。其中表示組中值，m表示該工資段的。表3 各年齡段職工工資與企業(yè)平均工資比值表年齡段年齡段的總工資比值各年齡段人數(shù)20-240.669128225-29.50.805026330-340.982524235-391.066622640-441.172822145-491.266619450-541.2086613555-59.51.15504101根據(jù)表3數(shù)據(jù)用Matlab繪制散點(diǎn)圖（Matlab代碼見(jiàn)附錄3）如圖3所示。圖3 各年齡段職工工資與企業(yè)平均工資比值散點(diǎn)圖根據(jù)散點(diǎn)圖可看出其圖像近似二次函數(shù)，并用Matlab擬合函數(shù)（代碼見(jiàn)附錄4）為:所以60-65歲的繳費(fèi)指數(shù)參考值為1.096

12、8。下面就要計(jì)算養(yǎng)老金的替代率了，跟據(jù)題中所給信息和附件3中的公式了解到：（1）養(yǎng)老金=基礎(chǔ)養(yǎng)老金+個(gè)人賬戶養(yǎng)老金。（2）個(gè)人賬戶養(yǎng)老金=個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額計(jì)發(fā)月數(shù)，用公式表示為：個(gè)人賬戶養(yǎng)老金；（3）基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（全省上年度在崗職工月平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資）2繳費(fèi)年限1%，用公式表示為：基礎(chǔ)養(yǎng)老金 ；本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資=全省上年度在崗職工月平均工資本人平均繳費(fèi)指數(shù)，該指標(biāo)能夠反映參保人員在整個(gè)繳費(fèi)年限的繳費(fèi)工資平均水平。 能夠正確反映“本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資指標(biāo)的計(jì)算公式為：。（4）替代率是指職工剛退休時(shí)的養(yǎng)老金占退休前工資的比例，計(jì)算公式為由（4）中公式計(jì)算問(wèn)題二情況下的替

13、代率如表4所示。表4 不同年齡參保不同年齡退休的替代率開(kāi)始交保險(xiǎn)時(shí)年齡退休時(shí)年齡替代率30550.302430600.398730650.534240550.187840600.247940650.3287問(wèn)題三 主要計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口缺口以及養(yǎng)老金的收支平衡問(wèn)題。要使收支平衡，即要使退休后每年養(yǎng)老金的累加額等于退休前養(yǎng)老金的繳費(fèi)額的本息和。（1）參保人員退休后第年所領(lǐng)取的養(yǎng)老金額：；(2)參保人員繳納養(yǎng)老金年后賬戶本息和；(3)退休年后參保人員養(yǎng)老金基金賬戶余額。當(dāng)時(shí)表示員工繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老保險(xiǎn)金之間達(dá)到收支平衡時(shí)表明養(yǎng)老保險(xiǎn)基金缺口。帶入數(shù)據(jù)統(tǒng)籌基金比例20%，個(gè)人賬戶比

14、例8%，個(gè)人賬戶比例3%。表5 保險(xiǎn)基金缺口與收支平衡年齡分布表年齡30-5530-6030-65額缺口（負(fù)表缺口）65872-平衡是年齡677381問(wèn)題4 根據(jù)問(wèn)題二的替代率公式以及問(wèn)題三的分析知影響替代率及收支平衡的因素有：職工剛開(kāi)始交養(yǎng)老保險(xiǎn)時(shí)的年齡、退休年齡、養(yǎng)老金的領(lǐng)取等。所以針對(duì)這幾個(gè)方面可有如下措施：1、 在其他量不變的情況下，開(kāi)始交保年齡高一年，養(yǎng)老保險(xiǎn)的繳費(fèi)年限就會(huì)減少一年，總交款額會(huì)因此減少，個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額也就相對(duì)減少，從而個(gè)人賬戶養(yǎng)老金年領(lǐng)取額也降低。2、 提高退休年齡，則總貢獻(xiàn)因繳費(fèi)年限的延長(zhǎng)而增加, 同時(shí), 基礎(chǔ)養(yǎng)老金因給付年限的縮短而減少。而貢獻(xiàn)的增加會(huì)導(dǎo)致個(gè)人帳戶

15、儲(chǔ)存額增加, 相應(yīng)地, 個(gè)人帳戶養(yǎng)老金年給付額也增加, 但個(gè)人帳戶養(yǎng)老金給付年限縮短,也有利于缺口問(wèn)題的緩解。3、 養(yǎng)老保險(xiǎn)金領(lǐng)取年限的長(zhǎng)短對(duì)替代率沒(méi)有多大的影響，但是對(duì)缺口的影響比較大，養(yǎng)老保險(xiǎn)金的領(lǐng)取年限每增加1年，養(yǎng)老金缺口就會(huì)增加1.07%，缺口增大就會(huì)導(dǎo)致負(fù)債增加，因此為了平衡兩者國(guó)家應(yīng)禁止提前退休并鼓勵(lì)延長(zhǎng)退休年齡，在平均壽命不變的情況下來(lái)使得領(lǐng)取養(yǎng)老金的年限縮短，以此來(lái)減小養(yǎng)老金的缺口。七、附錄附錄1：t=1978:2010;F=566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,32074;plot(t,F,o)附錄2： t=1:33;F=566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,