淺談?dòng)^察與實(shí)驗(yàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1、 淺談?dòng)^察與實(shí)驗(yàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用在一般的科學(xué)方法中，觀察與實(shí)驗(yàn)是通過(guò)收集科學(xué)事實(shí)材料，獲得感性認(rèn)識(shí)的基本途徑是形成、發(fā)展和檢驗(yàn)自然科學(xué)理論的實(shí)踐基礎(chǔ)。那么，在數(shù)學(xué)中是否也要運(yùn)用觀察與實(shí)驗(yàn)方法呢？回答是肯定的。正如著名數(shù)學(xué)家歐拉所說(shuō)的：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)，需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)?！彼自捳f(shuō)，巧婦難無(wú)米之炊。一個(gè)數(shù)學(xué)家若不積累一定數(shù)量的科學(xué)事實(shí)即經(jīng)驗(yàn)材料，他就很難作出什么數(shù)學(xué)猜想，也不能對(duì)數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，更不能有所發(fā)明和創(chuàng)新。而辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論告訴我們，獲得經(jīng)驗(yàn)材料的基本途徑是對(duì)研究對(duì)象的關(guān)系、性質(zhì)等的觀察和實(shí)驗(yàn)。所以觀察與實(shí)驗(yàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中起到舉足輕重的作用。一、觀察與實(shí)驗(yàn)前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教

2、育家ba奧加涅相認(rèn)為：觀察是人們對(duì)客觀世界的各個(gè)客觀事物和現(xiàn)象，在其自然的條件下，按照客觀事物本身存在的實(shí)際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的方法。從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，觀察就是人們對(duì)事物或問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征通過(guò)視覺獲取信息，運(yùn)用思維辯證其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律或性質(zhì)的方法。著名數(shù)學(xué)家歐拉說(shuō)：“在被稱為純粹數(shù)學(xué)的那部分?jǐn)?shù)學(xué)中，觀察無(wú)疑占有極重要的地位?！庇^察也能引導(dǎo)我們連續(xù)探索求新的性質(zhì)而致力于它的證明。在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的過(guò)程中，觀察法是常用的有效方法之一。一般來(lái)說(shuō)，實(shí)驗(yàn)就是按照科學(xué)研究目的，根據(jù)研究對(duì)象的自然狀態(tài)和自身發(fā)展規(guī)律，人為地設(shè)置條件，來(lái)引起或控制事物現(xiàn)象的發(fā)生或發(fā)展

3、過(guò)程，并通過(guò)感觀來(lái)認(rèn)識(shí)對(duì)象和規(guī)律的方法。實(shí)驗(yàn)總是和觀察相聯(lián)系的，觀察常常可用實(shí)驗(yàn)作基礎(chǔ)，而實(shí)驗(yàn)有可使觀察得到的性質(zhì)或規(guī)律得以重現(xiàn)或驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)也是解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法。二、觀察法與實(shí)驗(yàn)法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用誠(chéng)然，數(shù)學(xué)不能將觀察的結(jié)果或?qū)嶒?yàn)性的驗(yàn)證作為判斷數(shù)學(xué)命題真假性的充分依據(jù)。但是，對(duì)于數(shù)學(xué)活動(dòng)中的兩個(gè)階段，即先于理論的事實(shí)積累階段和理論之后的應(yīng)用階段，觀察和實(shí)驗(yàn)的重要性不亞于演繹理論本身。(一)觀察法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。從數(shù)學(xué)的發(fā)展史中可以看到，數(shù)學(xué)的許多成就皆起源于細(xì)致的觀察。在數(shù)學(xué)科學(xué)研究過(guò)程中，都需要收集材料和積累材料，這主要靠觀察來(lái)實(shí)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用觀察來(lái)收集新材料

4、、發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，以及提高教學(xué)效果有很大的作用。（1）觀察法在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的作用。數(shù)學(xué)概念是客觀事物或現(xiàn)象的數(shù)學(xué)關(guān)系、空間形式的基本屬性的人們頭腦中的反映。所以，許多數(shù)學(xué)概念，尤其是中小學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)數(shù)、形、函數(shù)的概念，在實(shí)際生活中都可以發(fā)現(xiàn)它的現(xiàn)實(shí)原型；而且，數(shù)學(xué)概念是高度概括、高度抽象的產(chǎn)物，只有密切聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原型，從學(xué)生接觸過(guò)或認(rèn)識(shí)過(guò)的事物入手，才能使學(xué)生容易地理解、掌握數(shù)學(xué)概念。例如，在引入正負(fù)數(shù)概念之前，先有意識(shí)地讓學(xué)生觀察“零上8”，“高于5米，低于3米”等具有相反意義的量，了解引進(jìn)新的數(shù)來(lái)表示這種實(shí)際問(wèn)題的必要性，從而可使學(xué)生易于接受正負(fù)數(shù)的概念。（2）觀察法

5、在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理、公式中的作用。數(shù)學(xué)中的定理、公式，就是數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系的一種反映或描述，而數(shù)學(xué)對(duì)象之間的許多關(guān)系是從對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的直接觀察中得來(lái)的。所以，有人說(shuō)，觀察是數(shù)學(xué)科學(xué)研究的“敲門磚”、“引路石”，很有道理的。例如，揭示凸多面體頂點(diǎn)數(shù)v、棱數(shù)e、面數(shù)f之間的關(guān)系的歐拉公式v+f-e=2正是始于觀察而發(fā)現(xiàn)的。又如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)中關(guān)于二項(xiàng)式的冪（a+b）n的展開式系數(shù)的楊輝三角，通過(guò)觀察后一列系數(shù)與前一列系數(shù)之間的關(guān)系，便可以得到（a+b）n的展開式中任何一項(xiàng)系數(shù)。（3）觀察是一種有效的解題方法。數(shù)學(xué)解題需要透過(guò)觀察去認(rèn)識(shí)本質(zhì)，找出問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律。觀察是一種有目的、有計(jì)劃、有組織的主

6、動(dòng)知覺的方法，邊觀察邊思考，有助于尋找解題的突破口，有助于探索和發(fā)現(xiàn)解題途徑。例1：自點(diǎn)a（-3，3）發(fā)出的光線射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓c：（x-2）2+(y-2)2=1相切，求光線的直線方程。分析：這個(gè)問(wèn)題初看似乎難求解，我們不妨結(jié)合圖形來(lái)觀察。因?yàn)槿肷涔饩€與反射光線關(guān)于x軸對(duì)稱的，所以圓c關(guān)于x軸對(duì)稱的圓c1必與入射光線 相切，這樣學(xué)生就能簡(jiǎn)捷地解出光線的直線方程。（二）實(shí)驗(yàn)法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。在數(shù)學(xué)中，實(shí)驗(yàn)法可用來(lái)發(fā)現(xiàn)或驗(yàn)證數(shù)學(xué)對(duì)換的性質(zhì)。如幾何中對(duì)各種圖形面積、體積的計(jì)算或公式的導(dǎo)出，常使用割補(bǔ)變換成易于計(jì)算的等積圖形來(lái)加以解決。因此，在數(shù)學(xué)中，應(yīng)重視實(shí)驗(yàn)方法的

7、作用。不同的學(xué)科領(lǐng)域和不同的實(shí)驗(yàn)?zāi)康模渌枰M(jìn)行的實(shí)驗(yàn)也不同，因而實(shí)驗(yàn)方法各有不同。在數(shù)學(xué)中的實(shí)驗(yàn)法，一般可歸納為三類：（1）特例實(shí)驗(yàn)。特例實(shí)驗(yàn)是指在解決數(shù)學(xué)系問(wèn)題過(guò)程中，按照一定方向，取特例進(jìn)行探索、試驗(yàn)，從中探索求解決問(wèn)題的方向和途徑，并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。例2：試求方程x2-7y2=1的最小正整數(shù)解。分析：將原方程化為x2=1+7y2，由于所求的是方程的最小正整數(shù)解，而最小的正整數(shù)是1，所以不妨取y=1,y=2,y=3,特殊值試驗(yàn)。（2）定性實(shí)驗(yàn)。定性實(shí)驗(yàn)是探討研究對(duì)象的質(zhì)的規(guī)定性方法，它往往用來(lái)檢驗(yàn)對(duì)象具有某些性質(zhì)，某種因素之間存在什么關(guān)系等，換言之，其目的在于驗(yàn)證和修正猜想，使猜想更趨

8、于數(shù)學(xué)真理。例如，對(duì)于哥德巴赫猜想：“任何一個(gè)大于4的偶數(shù)均可表示成兩奇素?cái)?shù)之和”，一時(shí)找不到證明的途徑，那么總想通過(guò)一些新的事物加以驗(yàn)證，如我們考查偶數(shù)28，因?yàn)椋?8=5+23=即28可以表示成兩奇數(shù)素?cái)?shù)之和。這樣便對(duì)猜想作了一些驗(yàn)證。（3）定量實(shí)驗(yàn)。定量實(shí)驗(yàn)是以探索數(shù)學(xué)對(duì)象的量的變化及其規(guī)律為直接目的實(shí)驗(yàn)，即是用來(lái)測(cè)定對(duì)象的數(shù)值、數(shù)量之間關(guān)系的實(shí)驗(yàn)。其主要目的在于形成猜想。一般而言，定性實(shí)驗(yàn)是基礎(chǔ)；定量實(shí)驗(yàn)的精確化，其結(jié)果往往更具有說(shuō)服力。例3：證明平面幾何中的“三角形內(nèi)角和定理”。教師在講授此定理時(shí)，一般可通過(guò)定量實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一定理，如用量角器測(cè)量三角形三內(nèi)角并求和。也可以用割補(bǔ)法。用紙片剪下一個(gè)三角形（記為abc），如圖所示，然后，“撕下”兩個(gè)角（a和b ），并將它們拼在c 的頂點(diǎn)會(huì)發(fā)現(xiàn)abc的三個(gè)內(nèi)角就以c為頂點(diǎn)