分式方程的概念解法及應用

1、分式方程的概念,解法及應用目標認知學習目標：1 .使學生理解分式方程的意義,掌握可化為一元一次方程的分式方程的一般解法.2 .在學生掌握了分式方程的一般解法和分式方程驗根方法的根底上,使學生進一步掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法,使學生熟練掌握解分式方程的技巧.3 .通過學習分式方程的解法,使學生理解解分式方程的根本思想是把分式方程轉化成整式方程,把 未知問題轉化成問題,從而滲透數學的轉化思想.4 .能夠利用分式方程解決實際問題,能從實際問題中抽象出數量關系,體會方程與實際問題的聯(lián)系;5 .通過實際問題的解決,使分析問題和解決問題的水平得到培養(yǎng)和練習,進一步體驗“問題情景建立模型一一求解

2、一一解釋和應用的過程；重點：分式方程轉化為整式方程的方法及其中的轉化思想,用分式方程解決實際問題,能從實際問題中抽象 出數量關系.難點：檢驗分式方程解的原因,實際問題中數量關系的分析.知識要點梳理要點一：分式方程的定義分母里含有未知數的方程叫 分式方程.要點詮釋：1 .分式方程的三個重要特征：是方程；含有分母；分母里含有未知量.2 .分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數不是一般的字母系數,分母中含有未知數的方程是分式方程,不含有未知數的方程是整式方程,如：關于的方程都是分式方程,而關于的方程都是整式方程.要點二：分式方程的解法1 .解分式方程的其本思想把分式方程化為整式方程,具體

3、做法是“去分母 ,即方程兩邊同乘最簡公分母,將分式方程轉化為整式方程,然后利用整式方程的解法求解.2 .解分式方程的一般方法和步驟(1)去分母,即在方程的兩邊都乘以最簡公分母,把原方程化為整式方程.(2)解這個整式方程.(3)驗根：把整式方程的根代入最簡公分母,使最簡公分母不等于零的根是原方程的根,使最簡公 分母等于零的根是原方程的增根.注：分式方程必須驗根；增根一定適合分式方程轉化后的整式方程,但增根不適合原方程,可使原方 程的分母為零.3 .增根的產生的原因：對于分式方程,當分式中,分母的值為零時,無意義,所以分式方程,不允許未知數取那些使分母的 值為零的值,即分式方程本身就隱含著分母不為

4、零的條件.當把分式方程轉化為整式方程以后,這種限制 取消了,換言之,方程中未知數的值范圍擴大了,如果轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許 值之外的值,那么就會出現增根.要點三：分式方程的應用分式方程的應用主要就是列方程解應用題,它與學習一元一次方程時列方程解應用題的根本思路和方 法是一樣的,不同的是,表示關系的代數式是分式而已.一般地,列分式方程(組)解應用題的一般步驟：1 .審清題意；2 .設未知數；3 .根據題意找等量關系,列出分式方程；4 .解分式方程,并驗根；5 .檢驗分式方程的根是否符合題意,并根據檢驗結果寫出答案.要點四：常見的實際問題中等量關系1.工程問題1 .工作量=工

5、作效率x工作時間,2 .完成某項任務的各工作量的和=總工作量=1 .2.營銷問題1 .商品利潤=商品售價一商品本錢價;2.3.商品銷售額=商品銷售價x商品銷售量;4.商品的銷售利潤=銷售價一本錢價X銷售量.3.行程問題速度x時間,2 .在航行問題中,其中數量關系是：順水速度=靜水速度+水流速度,逆水速度=靜水速度-水流速度；3 .航空問題類似于航行問題.規(guī)律方法指導1 . 一般地,解分式方程時,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母為0,因此應如下檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為 0,那么整式方程的解是原分式方程的解,否那么,這個解不是原分式方程的解.2 .列方程組

6、解應用題,在弄清題意后,接著就是設未知數,設未知數對后面列方程起著關鍵作用,對于一道應用題,首先考慮設直接未知數,如果設直接未知數不奏效,就應考慮設間接未知數,就是把一個不是題目中最后要求的未知量設為未知數,求出該數后,再求出要求的數.經典例題透析:類型一：分式方程的定義1、以下各式中,是分式方程的是思路點撥：要逐個檢查是否符合分式方程的個特征：A由于方程里沒有分母,所以不是分式方程；Bo雖然有分母,但是分母里沒有未知數,所以不是分式方程;Co沒有等號,所以不是方程,它只是一個代數式;Do具備分式方程的三個特征,是分式方程.答案：D總結升華：判斷一個方程是不是分式方程的依據就是分式方程的三個重

7、要特征：是方程；含有分 母；分母里含有未知量.舉一反三：【變式】方程中,x為未知量,a,b為數,且,那么這個方程是A .分式方程B. 一元一次方程C.二元一次方程D.三元一次方程答案：B類型二：分式方程解的概念的形如o分式方程,使它的解是 x=0這樣的分式方程可以是 .思路點撥：分式方程是分母中含有未知數的方程,能夠使分式方程成立的未知數的值叫分式方程的解解析：X = 0是方程的解,將x = 0代入例如取a= 1 ,只要取一對a,b的值符合,得方程總結升華：此題是關于分式方程的開放題,答案并不唯一,只要符合題意就可以.舉一反三：分式方程中,哪個是的解,為什么?時, 左邊解析：1 當右 邊 =0

8、是方程解;時,左邊不是方程的解;時,可得左邊=右邊,所以是方程的解.類型三：分式方程的解法3 解 方 程思路點撥：在解分式方程的時候,要把分式方程變?yōu)檎椒匠?原方程的兩邊都要乘最簡公分母,方 程等號右邊的常數-2也必須乘最簡公分母.在找最簡公分母的時候有時需要先把分式方程變形.解析：方程兩邊都乘代入分母,這時整式的值為0所以是原方程的增根,應舍去因此,原方程無解.總結升華：解分式方程的根本思想是將分式方程轉化為整式方程,這一根本思想表達了數學思想中的轉化思想；但有時在轉化過程中會產生增根,所以分式方程必須驗根.舉一反三：解方程；(2)=2.解 析 ：去分母,方程兩邊同乘以x(x-1),得3x

9、= 4(x- 1)解這個方程,得x=4檢驗：把 x=4 代入 x(x1)=4 X3 = 12 W0,所以原方程的根為 x=4.(2)=2去分母,方程兩邊同乘以(2x1),得10-5=2(2x-1)解這個方程,得x =檢驗：把x =代入原方程分母2x1=2XW0.所以原方程的根為x=類型四:增根的應用當 m 為何值時,方程會產生增根A. 2B. - 1C. 3D.-3去分母得思路點撥：分式方程,將增根代入,得m=3o所以,當m = 3時,原分式方程會產生增根.答案：選C總結升華：解分式方程的關鍵是去分母,由于在轉化過程中同乘了一個含未知數的整式,可能出現使該整式值為0的解,因此,要驗根,即把求得

10、的根代入最簡公分母,看結果是否為零,假設為零,必須舍去.舉一反三：【 變假設方程無解,原方程可化為方程兩邊都乘以 x一 2,得x- 3 = 一 m.解這個方程,得x=3 m.由于原方程無解,所以這個解應是原方程的增根.即 x=2,所以2 = 3 m ,解得m = 1.故當m = 1時,原方程無解.類型五：分式方程的應用1、營銷類應用性問題5 .某校辦工廠將總價值為2000元的甲種原料與總價值為4800元的乙種原料混合后,其平均價比原甲種原料每0.5kg少3元,比乙種原料每 0.5kg多1元,問混合后的單價每 0.5kg是多少元思路點撥：市場經濟中,常遇到營銷類應用性問題,與價格有關的是：單價、

11、總價、平均價等,要了解它們的意義,建立它們之間的關系式.解析：設混合后的單價為每0.5kgx元,那么甲種原料的單價為每0.5kg(x+3)元,乙種原料的單價為每 0.5kg( x1)元,混合后的總價值為(2000 +4800)元,混合后的重量為斤,甲種原料的重量為乙 種 原 料 的 重 量 為斤,依題意,得=,解得x=17經檢驗,x= 17是原方程的根,所以 x=17.即混合后的單價為每 0.5kg 17元.總結升華：營銷類應用性問題,涉及進貨價、售貨價、利潤率、單價、混合價、贏利、虧損等概念,要結合實際問題對它們表述的意義有所了解.同時,要掌握好根本公式,巧妙建立關系式.隨著市場經濟體制的建

12、立,這類問題具有較強的時代氣息,因而成為中考?？嫉臒狳c問題.舉一反三：【變式】A、B兩位采購員同去一家飼料公司購置同一種飼料兩次,兩次飼料的價格有變化,但兩位采購員的購貨方式不同.其中,采購員 A每次購置1000千克,采購員B每次用去800元,而不管購置飼料多少,問選用誰的購貨方式合算【答案】設兩次購置的飼料單價分別為每1千克m元和n元m>0,n>0,m wn,依題意,得：采購員A兩次購置飼料的平均單價為元/千克,采購員B兩次購置飼料的平均單價為元/千克.>0.也就是說,采購員 A所購飼料的平均單價高于采購員B所購飼料的平均單價,所以選用采購員 B的 購置方式合算.2、工程類

13、應用性問題6 .某工程由甲、乙兩隊合做 6天完成,廠家需付甲、乙兩隊工程費共 8700元,乙、丙兩隊合做10天完成,廠家需付乙、丙兩隊工程費共9500元,甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的,廠家需付甲、丙兩隊工程費共5500元.求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天假設工期要求不超過 15天完成全部工程,問由哪個隊單獨完成此項工程花錢最少請說明理由.思路點撥：這是一道聯(lián)系實際生活的工程應用題,涉及工期和工錢兩種未知量.對于工期,一般情況下把整個工作量看成1,設出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工程所需時間分別為解析：設甲隊單獨做需天,可列出分式方程組.天完成,乙隊單獨做需天 完 成, 丙 隊 單

14、獨 做 需天完成,依題意,得+X一 x,得=,即 z =30 ,=,即 x =10,即y =經檢驗,x=10,y=15,z=30是原方程組的解.設甲隊做一天廠家需付元,乙隊做一天廠家元,丙隊做一天廠家需付元,根據題意,得由可知完成此工程不超過工期只有兩個隊：甲隊和乙隊.此工程由甲隊單獨完成需花錢元；此工程由乙隊單獨完成需花錢所以,由甲隊單獨完成此工程花錢最少.總結升華：在求解時,把,分別看成一個整體,就可把分式方程組轉化為整式方程組來解.舉一反三：【變式1】 某工程需在規(guī)定日期內完成,假設由甲隊去做,恰好如期完成；假設由乙隊去做,要超過規(guī)定日期三天完成.現由甲、乙兩隊合做兩天,剩下的工程由乙獨

15、做,恰好在規(guī)定日期完成,問規(guī)定日期是多少天【答案】工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數,設為x天,那么乙單獨完成工程所需的天數就是x + 3天.工作效率是設工程總量為1,甲的工作效率就是即規(guī)定日期是6天.【變式2】今年某大學在招生錄取時,為了預防數據輸入出錯,2640名學生的成績數據分別由兩位教師向計算機輸入一遍,然后讓計算機比擬兩人的輸入是否一致.教師甲的輸入速度是教師乙的2倍,結果甲比乙少用2小時輸完.問這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學生的成績【答案】設教師乙每分鐘能輸入 x名學生的成績,那么教師甲每分鐘能輸入2x名學生的成績,依題意,得：, 解得x= 11經檢驗,x=11是原方程的解,且當 x=11時,2x = 22,符合題意.即教師甲每分鐘