計算方法 實驗 線性方程組的數(shù)值解法

1、姓名：學(xué)號：班級：線性方程組的數(shù)值解法實習(xí)目的（1）通過實習(xí)進(jìn)一步掌握高斯消去法、列主元高斯消去法、柯朗分解法、追趕法以及雅克比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的基本思想；（2）通過實習(xí)進(jìn)一步掌握高斯消去法、列主元高斯消去法、柯朗分解法、追趕法以及雅克比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的計算步驟，并能靈活應(yīng)用；（3）通過對高斯消去法、列主元高斯消去法、柯朗分解法、追趕法以及雅克比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的調(diào)試練習(xí)，進(jìn)一步體會各種算法的特點；（4）通過對上機(jī)調(diào)試運行，組不培養(yǎng)解決實際問題的編程能力。實習(xí)要求（1）熟悉Turbo C的編譯環(huán)境；（2）實習(xí)前復(fù)習(xí)高斯消去法、列主元高斯消去法、直接三角分解法、雅

2、克比迭代法、高斯-賽德爾迭代法以及追趕法的基本思想和過程；（3）實習(xí)前復(fù)習(xí)高斯消去法、列主元高斯消去法、直接三角分解法、雅克比迭代法、高斯-賽德爾迭代法以及追趕法的計算步驟。實習(xí)設(shè)備（1）硬件設(shè)備：單機(jī)或網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的微型計算機(jī)一臺；（2）軟件設(shè)備：DOS 3.3以上操作系統(tǒng)，Turbo C 2.0編譯器。實習(xí)內(nèi)容實習(xí)一 高斯消去法（1）用高斯消去法求解線性方程組：x1-4x2+6x3-5x4=8-5x1+21x2-33x3+32x4=-326x1-26x2+43x3-48x4=255x1-24x2+45x3-64x4=-10（2）要求：將線性方程組寫成用矩陣表示的形式，即Ax=b的形式。輸出系

3、數(shù)矩陣的原始元素和經(jīng)高斯消去法消去后的矩陣元素。經(jīng)高斯消去法消去后的矩陣是一個什么形式的矩陣？請寫出程序的運行結(jié)果。#include <stdio.h>#define N 4int Gauss(float aNN,float bN)int i,j,k,flag=1;float t;for(i=0;i<N-1;i+)if(aii=0)flag=0;break;elsefor(j=i+1;j<N;j+)t=-aji/aii;bj=bj+t*bi;for(k=i;k<N;k+)ajk=ajk+t*aik;return(flag);void zg_matric(float

4、 aNN,float bN)int i,j;for(i=0;i<N;i+)for(j=0;j<N;j+)printf("%10f",aij);printf("%10f",bi);printf("n");printf("n");void main()static float aNN=1,-4,6,-5,-5,21,-33,32,6,-26,43,-48,5,-24,45,-64;float bN=8,-32,25,-10;float xN=0,0,0,0;int i,j,flag;zg_matric(a,

5、b);flag=Gauss(a,b);if(flag=0)printf("Gauss method does not run.");elsexN-1=bN-1/aN-1N-1;for(i=N-2;i>=0;i-)xi=bi;for(j=i+1;j<N;j+)xi=xi-aij*xi;xi=xi/aii;for(i=0;i<N;i+)printf("x%d=%11.7fn",i+1,xi);（3）思考題：高斯消去法的基本思想是什么？答：高斯消去法是最古老的求解線性代數(shù)方程組的方法之一，是消去法的一種特殊形式。高斯消去法由哪兩個過程組成？答

6、：高斯消去法包括消元與回代兩個過程。實習(xí)二 列主元高斯消去法求解線性方程組（1）用列主元高斯消去法求解線性方程組：0.02x1+4x2+1.38x3=92x2+3.32x2+0.575x3=164x1+5x2+4x3=1（2）要求：輸出系數(shù)矩陣的原始元素和經(jīng)列主高斯消去法消去后的矩陣元素。經(jīng)列主高斯消去法消去后的矩陣是一個什么形式的矩陣？請寫出輸出后的運行結(jié)果。若線性方程組的準(zhǔn)確解為：x1=2，x2=5，x3=-8，請通過計算絕對誤差證明，在一般情況下用經(jīng)列主高斯消去法求解線性方程組是穩(wěn)定的。#include<stdio.h>#include<math.h>#defin

7、e N 3void ColGauss(float aNN,float bN)float t,max_fab;int i,j,k,l;for(i=0;i<N-1;i+)l=i;max_fab=fabs(aii);for(j=i+1;j<N;j+)if(fabs(aji>max_fab)l=j;max_fab=fabs(ali);if(i<1)t=bi;bi=bk;bk=t;for(j=i;j<N;j+)t=aij;aij=alj;alj=t;for (j=i+1;j<N;j+)t=-aji/aii;bj=bj+t*bi;for(k=i;k<N;k+)aj

8、k=ajk+t*aik;void zg_matric(float aNN,float bN)int i,j;for(i=0;i<N;i+)for(j=0;j<N;j+)printf("%10f",aij);printf("%10f",bi);printf("n");printf("n");void main()static float aNN=0.02,4.0,1.38,2.0,3.32,0.575,4.0,5.0,4.0;float bN=9.0,16.0,1.0;float xN=0,0,0;int

9、 i,j;zg_matric(a,b);ColGauss(a,b);xN-1=bN-1/aN-1N-1;for(i=N-2;i>=0;i-)xi=bi;for(j=i+1;j<N;j+)xi=xi-aij*xj;xi=xi/aii;for(i=0;i<N;i+)printf("x%d=%11.6fn",i+1,xi);（3）思考題：列主高斯消去法的基本思想是什么？答：列主高斯消去法在高斯消去法每次進(jìn)行消元之前先選取絕對值最大的元素作為主元素（位于主對角線上的在消去過程中作除數(shù)的元素稱為主元素，簡稱主元）進(jìn)行消去。在高斯消去法的基礎(chǔ)上，引進(jìn)經(jīng)列主高斯消去法的

10、兩個主要原因是什么？答：當(dāng)akk(k-1)=0時，消元過程就無法進(jìn)行。另外，即使akk(k)0，但其絕對值很小時，用它做除數(shù)，根據(jù)數(shù)值運算中“用絕對值很小的數(shù)做除數(shù)，舍入誤差會增大，而且嚴(yán)重影響計算結(jié)果的精度”的原則，這種方法在一定程度上也具有局限性。為了克服這一局限性，產(chǎn)生了列主高斯消元法。實習(xí)三 柯朗分解法（1）用柯朗分解法求解線性方程組：x1+2x2+3x3+4x4=2x1+3x2+4x3+5x4=32x1+x2+4x3+4x4=32x1+3x2+2x3+5x4=2（2）要求：輸出系數(shù)矩陣的原始元素和經(jīng)柯朗分解法后的L、U矩陣元素。經(jīng)柯朗分解法后的L、U矩陣各是一個什么形式的矩陣？請寫出

11、程序的運行結(jié)果。#include<stdio.h>#define N 4void Lu(float aNN,float LNN,float UNN)int i,j,k;for(k=0;k<N;k+)for(i=k;i<N;i+)Lik=aik;for(j=0;j<=k-1;j+)Lik-=(Lij*Ujk);for(j=k+1;j<N;j+)Ukj=akj;for(i=0;i<=k-1;i+)Ukj-=(Lki*Uij);Ukj/=Lkk;void solve(float bN,float LNN,float UNN,float xN)int j,k;

12、float yN;for(k=0;k<N;k+)yk=bk;for(j=0;j<=k-1;j+)yk=yk-Lkj*yj;yk=yk/Lkk;for(k=N-1;k>=0;k-)xk=yk;for(j=k+1;j<N;j+)xk=xk-Ukj*xj;void zg_matric(float aNN,float bN)int i,j;for(i=0;i<N;i+)for(j=0;j<N;j+)printf("%10f",aij);printf("%10f",bi);printf("n");printf

13、("n");void main()static float aNN=1,2,3,4,1,3,4,5,2,1,4,4,2,3,2,5;float bN=2,3,3,2;float xN=0,0,0,0;float UNN=1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1;float LNN;int i;zg_matric(a,b);Lu(a,L,U);solve(b,L,U,x);for(i=0;i<N;i+)printf("x%d=%11.7fn",i+1,xi);（4）思考題：柯朗分解法的基本思想是什么？答：在柯朗分解法匯中使用主對

14、角線上的元素做分母計算時，如果分母絕對值很小（甚至可能為零），仍用它做除數(shù)，就會導(dǎo)致舍入誤差增大（甚至不能保證柯朗分解法順利進(jìn)行），嚴(yán)重影響計算結(jié)果的精度。為解決這一問題，可以采取什么措施？答：實習(xí)四 追趕法（1）用追趕法求解線性方程組Ax=b：A=1327 00 3002 00 7327，b=-2-8-65，（2）要求：請寫出程序的運行結(jié)果。#include<stdio.h>#define N 4void zhuigan(float aNN,float bN,float rN,float yN)float q;int i;r0=a10/a00;y0=b0/a00;for(i=1;

15、i<N;i+)q=aii-ri-1*ai-1i;ri=ai+1i/q;yi=(bi-yi-1*ai-1i)/q;yN-1=(bN-1-yN-2*aN-2N-1)/(aN-1N-1-rN-2*aN-2N-1);void solve(float rN,float yN,float xN)int k;xN-1=yN-1;for(k=N-2;k>=0;k-)xk=yk-rk*xk+1;void main()float aNN=1,3,0,0,2,7,3,0,0,2,7,3,0,0,2,7;float bN=-2,-8,-6,5;float rN,yN;float xN;int i;zhui

16、gan(a,b,r,y);solve(r,y,x);for(i=0;i<N;i+)printf("x%d=%13.6fn",i+1,xi);（3）思考題：追趕法的基本思想是什么？答：追趕法是高斯消去法的一種簡化形式，同樣分為消元和回代兩個過程。追趕法適合怎樣形式的問題？答：系數(shù)矩陣為三對角矩陣的方程組解法。實習(xí)五 雅克比迭代法與高斯-賽德爾迭代法（1）用雅克比迭代法與高斯-賽德爾迭代法求解線性方程組Ax=b：A=62-114-2-314，b1=-324，b2=100-200345（2）要求：請寫出程序的運行結(jié)果。請寫出迭代次數(shù)。雅克比迭代法：#include<s

17、tdio.h>#include<math.h>#define N 3#define MAX_N 100#define eps 1e-6int yacobi(float aNN,float bN,float xN)float d,s,max;float yN;int i,j,k,flag;k=0;for(i=0;i<N;i+)xi=0.0;while(1)max=0.0;k+;for(i=0;i<N;i+)s=0.0;for(j=0;j<N;j+)if(j=i) continue;s=s+aij*xj;yi=(bi-s)/aii;d=fabs(yi-xi);i

18、f(max<d) max=d;if(max<eps)flag=1;break;if(k>=MAX_N)flag=0;break;for(i=0;i<N;i+)xi=yi;return(flag);void zg_matric(float aNN,float bN)int i,j;for(i=0;i<N;i+)for(j=0;j<N;j+)printf("%10f",aij);printf("%12f",bi);printf("n");printf("n");void main()

19、float aNN=6,2,-1,1,4,-2,-3,1,4;float bN=-3,2,4;float xN;int i,k;zg_matric(a,b);k=yacobi(a,b,x);if(k=1)for(i=0;i<N;i+)printf("x%d=%11.7fn",i+1,xi);elseprintf("The Method is disconvergent!n");高斯-賽德爾迭代法：#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 3#define MAX_N 100#define eps 1e-6int seidel(float aNN,float bN,float xN)float d,s,max,temp;int i,j,k,flag;k=0;for(i=0;i<N;i+)xi=0.0;while(1)max=0.0;k+;for(i=0