第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第4節(jié)綜合講練

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第4節(jié) 大數(shù)定理與中心極限定理 綜合講練l 要覽題型一 大數(shù)定理與中心極限定理l 提示熟記切比雪夫不等式，林德伯格勒維中心極限定理、棣莫佛拉普拉斯中心極限定理的直觀模式；了解依概率收斂的定義，切比雪夫大數(shù)定律，辛欽大數(shù)定律，伯努利大數(shù)定律.l 辨析一、切比雪夫（）不等式設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差均存在，則對(duì)任一正數(shù)，有 （4.1）或 （4.2）l 注意() 由切比雪夫不等式可以看出,若越小, 則事件的概率越大, 即, 隨機(jī)變量集中在期望附近的可能性越大. 由此可見(jiàn)方差刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度；() 當(dāng)方差已知時(shí),切比雪夫不等式給出了與它的期望的

2、偏差不小于的概率的估計(jì)式.如取 則有 （4.3）故對(duì)任給的分布,只要期望和方差存在, 則隨機(jī)變量取值偏離超過(guò)的概率小于0.111.二、依概率收斂的定義設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列，為一個(gè)常數(shù),如果對(duì)任意給定的正數(shù)，恒有則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂到，記作 l 注意隨機(jī)變量序列依概率收斂到l 直觀模式三、大數(shù)定律1切比雪夫（Chebyshev）大數(shù)定律設(shè)是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,它們數(shù)學(xué)期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即 ，則對(duì)任意, 有即l 注意定理表明: 當(dāng)很大時(shí),隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望. l 直觀模式當(dāng)充分大時(shí)，接近于它的數(shù)學(xué)期望的概率，任意地接近于1l 推論設(shè)是

3、一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，記，則對(duì)任意，有 （4.4）即 l 注意推論表明: 當(dāng)很大時(shí), 獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望.l 直觀模式當(dāng)充分大時(shí)，接近于它的數(shù)學(xué)期望的概率，任意地接近于1 2伯努利（Bernoulli）大數(shù)定理設(shè)是重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù), 是事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 則對(duì)任意的, 有 （4.5）即l 直觀模式當(dāng)充分大時(shí)，事件發(fā)生的頻率接近于事件發(fā)生的概率的概率，任意地接近于1l 歸納l 推導(dǎo)設(shè),（ ）且相互獨(dú)立（），于是則由切比雪夫（Chebyshev）大數(shù)定律推論，對(duì)任意，有l(wèi) 注意() 伯努利大數(shù)定律是切比雪夫大

4、數(shù)定律推論的一種特例, 它表明: 當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí), 事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件發(fā)生的概率.定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性. 在實(shí)際應(yīng)用中, 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),便可以用事件發(fā)生的頻率來(lái)近似代替事件的概率.() 如果事件的概率很小，則由伯努利大數(shù)定律知事件發(fā)生的頻率也是很小的，或者說(shuō)事件很少發(fā)生. 即“概率很小的隨機(jī)事件在個(gè)別試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生”，這一原理稱為小概率原理，它的實(shí)際應(yīng)用很廣泛. 但應(yīng)注意到，小概率事件與不可能事件是有區(qū)別的. 在多次試驗(yàn)中，小概率事件也可能發(fā)生.3辛欽(Khinchine)大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立, 服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望，則對(duì)任意, 有即

5、l 注意() 定律不要求隨機(jī)變量的方差存在；() 伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況；() 辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑. 例如, 要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量, 可收割某些有代表性的地塊, 如塊,計(jì)算其平均畝產(chǎn)量, 則當(dāng)較大時(shí),可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì). 此類做法在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義.l 直觀模式當(dāng)充分大時(shí)，接近于它的數(shù)學(xué)期望的概率，任意地接近于1 l 歸納l 歸納四、中心極限定理1林德伯格勒維(Lindberg-Levi)定理設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列, 且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有 （4.6）l 林德伯格-勒維(Lindberg-Levi)中心極

6、限定理的等價(jià)形式 （ ）其中 為規(guī)范和的分布函數(shù).l 直觀模式當(dāng)充分大時(shí)，規(guī)范和近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作 且（1） （ ） （2） 其中，為任意常數(shù)l 常用結(jié)論 當(dāng)充分大時(shí)， 規(guī)范和 和 算術(shù)平均值 l 注意本定理表明: 當(dāng)充分大時(shí), 個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布.雖然在一般情況下, 我們很難求出的分布的確切形式, 但當(dāng)很大時(shí), 可求出其近似分布. 由定理結(jié)論有 （4.7）故定理又可表述為: 均值為, 方差的的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值, 當(dāng)充分大時(shí)近似地服從均值為,方差為的正態(tài)分布. 這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ).2. 棣莫佛拉普拉斯（

7、De Movre-Laplace）定理設(shè)相互獨(dú)立，并且服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布（即），則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有 （4.8）其中，.l 證明因?yàn)橛桑?.6）式得證.取，則，由（4.7）式，得l 棣莫佛拉普拉斯（De Movre-Laplace）定理的等價(jià)形式設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)的二項(xiàng)分布（即）, 則對(duì)任意, 有l(wèi) 直觀模式設(shè)（ ），且相互獨(dú)立，則當(dāng)充分大時(shí)，規(guī)范和近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作 且（1） （ ）（2） 其中，為任意常數(shù)l 常用結(jié)論 當(dāng)充分大時(shí)， 規(guī)范和 和 算術(shù)平均值 3用頻率估計(jì)概率的誤差設(shè)為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù), 為每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率,由棣莫佛拉普拉斯定理,有這個(gè)關(guān)系式可用解決

8、用頻率估計(jì)概率的計(jì)算問(wèn)題. 4. 李雅普諾夫（Liyapunuiofu）定理 了解設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立, 它們具有數(shù)學(xué)期望和方差: ，記 若存在正數(shù), 使得當(dāng)時(shí), 則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量的分布函數(shù)對(duì)于任意, 滿足l 注意本定理表明, 在定理的條件下, 當(dāng)很大時(shí),隨機(jī)變量近似地服從正態(tài)分布.由此,當(dāng)很大時(shí),近似地服從正態(tài)分布.這就是說(shuō),無(wú)論各個(gè)隨機(jī)變量服從什么分布,只要滿足定理的條件,那么它們的和當(dāng)很大時(shí),就近似地服從正態(tài)分布.這就是為什么正態(tài)隨機(jī)變量在概率論中占有重要地位的一個(gè)基本原因.【補(bǔ)例4.4.1】分別就離散型和連續(xù)型情形證明“切比雪夫不等式” ，即設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 ，方差均存在，

9、則對(duì)任一正數(shù)，有或【提示】 離散型隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)取值的概率等于在區(qū)間內(nèi)各取值點(diǎn)（）取值的概率之和，即 連續(xù)型隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)取值的概率等于其概率密度函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的積分，即若為實(shí)數(shù)域上的任何區(qū)間，則【證明】當(dāng)為離散型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其概率分布為 （ 或 ）則當(dāng)為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其概率密度函數(shù)為 （ ）則 綜上所述，對(duì)任一正數(shù)，有 故l 注意切比雪夫不等式可用來(lái)估計(jì)隨機(jī)變量的取值落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率，但估計(jì)的精確度不高.見(jiàn)【例1】、【例2】【例1】（第2版課件補(bǔ)充）【辨析】利用切比雪夫不等式可用來(lái)估計(jì)隨機(jī)變量的取值落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率.設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差均存在，則對(duì)任一正數(shù)，有 （4.

10、1）或 （4.2）【例2】（教材P110例1）【辨析】利用切比雪夫不等式可用來(lái)估計(jì)隨機(jī)變量的取值落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率.設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差均存在，則對(duì)任一正數(shù)，有 （4.1）或 （4.2）l 注意【例3】（教材P113例2）【提示】林德伯格-勒維中心極限定理的直觀模式設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列, 且，則當(dāng)充分大時(shí)，規(guī)范和近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作 且（1） （ ） （2） 其中，為任意常數(shù)【辨析】利用林德伯格-勒維中心極限定理的直觀模式一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^(guò)10.2kg的概率為即【例4】（教材P113例3）【提示】林德伯格-勒維中心極限定理的直觀模式設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列, 且，

11、則當(dāng)充分大時(shí)，規(guī)范和近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作 且（1） （ ） （2） 其中，為任意常數(shù)【辨析】利用林德伯格-勒維中心極限定理的直觀模式平均誤差落在上的概率為即l 注意【例5】【提示】棣莫佛拉普拉斯定理的直觀模式設(shè)相互獨(dú)立，并且服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布（即），即隨機(jī)變量服從參數(shù)的二項(xiàng)分布（即）, 則當(dāng)充分大時(shí)，規(guī)范和近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作 且（1） （ ）（2） 其中，為任意常數(shù)【辨析】利用棣莫佛拉普拉斯定理的直觀模式設(shè) = “臺(tái)車(chē)床中同時(shí)開(kāi)工的車(chē)床數(shù)” 在重試驗(yàn)中，事件（某機(jī)床開(kāi)工）恰好發(fā)生的次數(shù) ，則 （ ， ）又設(shè)，至少供應(yīng)（未知）單位電能就能以99.9%的概率保證該車(chē)間不致因供電

12、不足而影響生產(chǎn)，即 查附表3，得 解出即，至少供應(yīng)141.47743單位電能就能以99.9%的概率保證該車(chē)間不致因供電不足而影響生產(chǎn).【例6】（教材P115例5）【提示】棣莫佛拉普拉斯定理的直觀模式設(shè)相互獨(dú)立，并且服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布（即），即隨機(jī)變量服從參數(shù)的二項(xiàng)分布（即）, 則當(dāng)充分大時(shí)，規(guī)范和近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作 且（1） （ ）（2） 其中，為任意常數(shù)【辨析】利用棣莫佛拉普拉斯定理的直觀模式設(shè) = “被保人中發(fā)生重大人身事故的人數(shù)” 在重試驗(yàn)中，事件（某被保人發(fā)生重大人身事故）恰好發(fā)生的次數(shù) ，則 （ ， ）故，保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬(wàn)到40萬(wàn)元之間的概率

13、為即，保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬(wàn)到40萬(wàn)元之間的概率為l 注意課件上解法太繁記 則相互獨(dú)立，并且服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布（即），即隨機(jī)變量服從參數(shù)的二項(xiàng)分布（即）, 所以 （ ， ）其中， = “被保人中發(fā)生重大人身事故的人數(shù)” 在重試驗(yàn)中，事件（某被保人發(fā)生重大人身事故）恰好發(fā)生的次數(shù)故，保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬(wàn)到40萬(wàn)元之間的概率為 【例7】（第2版課件補(bǔ)充）【提示】林德伯格-勒維中心極限定理的直觀模式設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列, 且，則當(dāng)充分大時(shí)，規(guī)范和近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作 且（1） （ ） （2） 其中，為任意常數(shù)【辨析】利用林德伯格-勒

14、維中心極限定理的直觀模式以記第個(gè)學(xué)生的家長(zhǎng)中來(lái)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù), 則的分布律為易求出，的數(shù)學(xué)期望、方差分別為所以，參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)超過(guò)450的概率為即【例8】【提示】棣莫佛拉普拉斯定理的直觀模式設(shè)相互獨(dú)立，并且服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布（即），即隨機(jī)變量服從參數(shù)的二項(xiàng)分布（即）, 則當(dāng)充分大時(shí)，規(guī)范和近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作 且（1） （ ）（2） 其中，為任意常數(shù)【辨析】利用棣莫佛拉普拉斯定理的直觀模式設(shè) = “人獨(dú)立行動(dòng),能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體的人數(shù)” 在重試驗(yàn)中，事件（某人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體）恰好發(fā)生的次數(shù) ，則 （ ， ）設(shè)至少有人能進(jìn)入掩蔽體, 則要求以95%概率估計(jì), 在一次行動(dòng)中, 至少有人能進(jìn)入掩蔽體，即查附表3，得 解出即，以95%概率估計(jì), 在一次行動(dòng)中, 至少有884人能進(jìn)入掩蔽體.【§4.4課堂練習(xí)】【習(xí)題4