大學(xué)物理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)0001

1、第2章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)2. 1 牛頓運(yùn)動(dòng)定律一、牛頓第一定律任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài), 直到其他物體所作用的力迫使它 改變這種狀態(tài)為止.二、牛頓第二定律物體所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比,與物體的質(zhì)量成反比, 方向與合外力的方向相同.表示為 * f ma說明： 物體同時(shí)受幾個(gè)力fi , f 2 fn的作用時(shí),合力f等于這些力的矢量和.nf erefn力的疊加原理i 1 在直角坐標(biāo)系中,牛頓方程可寫成分量式fx max, fy may, fz maz0 在圓周運(yùn)動(dòng)中,牛頓方程沿切向和法向的分量式ft matfn man 動(dòng)量：物體質(zhì)量m與運(yùn)動(dòng)速度v的乘積,用p表示.p mv動(dòng)量是

2、矢量,方向與速度方向相同.d pdt由于質(zhì)量是衡量,引入動(dòng)量后,牛頓方程可寫成- d vf ma m一 出當(dāng)?shù)?時(shí),dp 0, dP 常量,即物體的動(dòng)量大小和方向均不改變. dt此結(jié)論成為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量守恒定律三、牛頓第三定律：物體間的作用力和反作用力大小相等,方向相反,且在 同一直線上.說明：作用力和反作用力是屬于同一性質(zhì)的力.四、國際單位制量綱根本量與根本單位導(dǎo)出量與導(dǎo)出單位五、常見的力力是物體之間的相互作用.力的根本類型：引力相互作用、電磁相互作用和核力相互作用.接力的性質(zhì)來分,常見的力可分為引力、彈性力和摩擦力.六、牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解題時(shí)一般可分為以下幾個(gè)步驟：(1)隔離物體

3、,受力分析.(2)建立坐標(biāo),列方程.(3)求解方程.(4)當(dāng)力是變力時(shí),用牛頓第二定律得微分方程形式求解.例題例2-1如下列圖所示,在傾角為30°的光滑斜面固定于水平面上有兩物體 通過滑輪相連,mi 3 kg, m? 2 kg,且滑輪和繩子的質(zhì)量可忽略,試求每 一物體的加速度a及繩子的張力Ft 重力加速度g取9.80m s2.解 分別取mi和m2為研究對(duì)象,受力分析如上圖.利用牛頓第二定律列方程:m2 g Ft m2aYFt m1g sin 30o m1a繩子張力Ft Ft代入數(shù)據(jù)解方程組得加速度a 0.98m s 2,張力Ft 17.64N.例2-2如下圖,長度為l的柔軟細(xì)純一端固

4、定于天花板上的 0點(diǎn),另一端 拴一個(gè)質(zhì)量為m的小球.先使純保持水平,小球靜止,然后小球自由下落.求小 球的速率和純的張力.mg解：v l 出牛頓方程的切向和法向分量式dvv2mg cosmat m切向 T mg sinman m一法向dtl把牛頓方程的切向分量式兩邊分別乘以l d /dt和v,即gcos ld dtdv, v dt約去 dt 得 gl cos d vdv對(duì)上式積分,注意角度從0增大到 的同時(shí),速率從0增大到v,有vgl 0 cos d 0vdv , gl sin得小球的速率為v ,2glsin代入牛頓方程的法向分量式,得純的張力2vT m 一 mg sin 3mgsin可看出,

5、當(dāng)/2時(shí),即小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩子的張力最大.例2-3質(zhì)量為m的小球在水中由靜止開始下沉,設(shè)水對(duì)小球的粘滯阻力與其 運(yùn)動(dòng)速率成正比,即f kv,其中k為比例常數(shù),水對(duì)小球的浮力為 B,求小球 在水中任一時(shí)刻的沉降速度設(shè) t =0時(shí),v=0o解、小球受重力P、粘滯力f及水的浮力B的作用,取豎直向下為坐標(biāo)軸正 方向.如下圖,根據(jù)牛頓第二定律得P f B ma即 mg kv B ma mdv 或 dtdv 出mg kv B m兩邊取定積分vdvtdi 得0 mg kv B 0 m11ln( mg kv B) ln( mg B) km由此求得：v mU(ikem)當(dāng)t時(shí),v汽史小球的終極速度,勻速下降

6、.2. 2 動(dòng)量和動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1 .沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化定理沖量：力的時(shí)間累積,即力對(duì)時(shí)間的積分,稱為力的 沖量t2fdtt1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化定理根據(jù)牛頓第二定律,上式可寫為d I fdt d p說明,在dt時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受合力的沖量,等于在這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增 量.將上式從L到t2對(duì)時(shí)間積分,得- t2 p2 I t fdt dpp2 PiL1p1說明,質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)所受合力的沖量,等于在這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量.稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化定理應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化定理的實(shí)例在一些過程中如碰撞,作用力隨時(shí)間急劇變化,引入平均力的概念t2 -fdtt1t2t1It2t1P2 Pt2t1例

7、 質(zhì)量為m 3000kg的重錘,從高度加 1.5m處自由落下,打擊被鍛壓的工件后彈起的高度h2 0.1m.設(shè)作用時(shí)間t 0.01s,求重錘對(duì)工件的平 均沖擊力解：設(shè)豎直向上為正方向.重錘與工件剛接觸時(shí)的速度,等于從 h1 1.5m處自由落下的末速度.%. 2gh1重錘與工件作用t 0.01s后,彈起的速度等于豎直上拋h2 0.1m高度的初速度.V22gA以f代表在t時(shí)間內(nèi)工件對(duì)重錘的平均反沖力,按動(dòng)量變化定重錘0;(fmg) t mv2 mv12 hl,/h2mg(.1)mg工件重錘對(duì)工件的平均沖力3f f 3 109.81.5(928. 0.10.011)2.1 106N2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

8、由假設(shè)干個(gè)相互作用的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng),稱為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力與外力內(nèi)力：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的作用力叫內(nèi)力.圖中不和f ji就是一對(duì)內(nèi)力.根據(jù)牛頓第三定律,由于它們大小相等方向相反,所以fij fji 0.由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn),所以質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有內(nèi)力的矢量和一定等于零.即fijf12f21i,j(i j)f23f320 這是內(nèi)力一個(gè)重要性質(zhì).外力：質(zhì)點(diǎn)系以外的物體或場如重力場對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力,叫做外 力.iiIIhF 外=f f1f2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和稱為該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量,用來表示.IIpPi甲Vi質(zhì)點(diǎn)系中外力與動(dòng)量的關(guān)系根據(jù)牛頓第二定律Tdvd pf ma m一 p mv f

9、dtdt又: F 外=f f1 f2-hd p - F 外=一dt質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變化定理 把上式寫成 F外dt dP并從L到t2對(duì)時(shí)間積分,得Pit2 .p2F 外 dt = d pPitip1系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量-質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變化定理說明：內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量,但對(duì)系統(tǒng)的總動(dòng)量沒有影響.廂與軌道之間的摩擦力例2-6如圖,一輛拉煤車以速率v 3m - s 1從煤斗下面通過,每秒鐘落入 車廂內(nèi)的煤為500k4假設(shè)使車廂的速率不變,應(yīng)用多大的牽引力拉車廂忽略車解：用m代表在t時(shí)刻已落入車廂內(nèi)的煤和車廂的總質(zhì)量.經(jīng)過dt時(shí)間又有質(zhì)量為dm的煤落入車廂中取m和dm作為質(zhì)點(diǎn)系.取

10、車廂行駛的方向作為正方向系統(tǒng)在t時(shí)刻的動(dòng)量為 mv系統(tǒng)在t dt時(shí)刻的動(dòng)量為 m dmv在dt時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)動(dòng)量的增量dP m dmv mv根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變化定理,注意到車廂速率不變,有dP dmF v一 dt dt把v 3m s 1和dm/dt 500kg - s 1代入上式得:3 一F 3 500 1.5 10 N、動(dòng)量守恒定律假設(shè)質(zhì)點(diǎn)系所受外力為零,F外=0,那么 0 , P 常矢量dt說明在慣性系中,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系不受外力作用或所受外力合力等于零時(shí),質(zhì)點(diǎn)系 的動(dòng)量大小和方向都保持不變一一動(dòng)量守恒定律.應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)要注意：(1)合外力是指系統(tǒng)所受外力的矢量和.(2)假設(shè)合外力的矢量和不為零,

11、但外力沿某一方向的分量為零,那么該方向 上質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒.(3)在諸如碰撞、爆炸等問題中,由于沖擊力很大、作用時(shí)間很短,此時(shí) 一般的外力(如重力)可以忽略.(4)動(dòng)量守恒定律是自然界最重要、最普遍的定律之一,不僅適用于宏觀物體,也適用于原子、分子、光子等微觀粒子間的相互作用.例 如圖,一顆質(zhì)量為m的子彈以速度v沿水平方向射入一個(gè)用細(xì)繩懸掛的 質(zhì)量為M的物體,并留在物體中.設(shè)子彈從射入物體到停在其中的時(shí)間極短, 求子彈剛停在物體中時(shí)的速度./a/解：取子彈和物體為質(zhì)點(diǎn)系.系統(tǒng)不受外力作用,系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒.n v v M V設(shè)子彈剛停在物體內(nèi)時(shí)的速 X 度為V.水平向右為坐標(biāo)軸正向mv

12、 (m M )V , V時(shí),V 02. 3功、機(jī)械能和機(jī)械能守恒定律一、功和功率1 .功初中時(shí)功的計(jì)算：W FS 恒力的方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相同高中時(shí)功的計(jì)算：W FScos恒力與物體運(yùn)動(dòng)方向成 夾角.(1)功的定義：作用于物體的力在物體位移方向上的分量與該位移的乘積稱為功(2)元功：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力一般與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)(如拋體運(yùn)動(dòng)中,質(zhì)點(diǎn)所受的重力與質(zhì)點(diǎn)的位置)在質(zhì)點(diǎn)作無窮小位移dr (元位移) 的過程中,可以認(rèn)為力f的大小和方向 都不發(fā)生變化.把f,和dr的標(biāo)量積稱為力f對(duì)質(zhì)點(diǎn) 做的元功,用dW表示dW f ?drf dr cos(3)功的計(jì)算:ba(L)f?drbtf cos dr a(L

13、)ba(L)ftds式中ft為切向分量,ds是與dl對(duì)應(yīng)的路程2 .功率力在單位時(shí)間內(nèi)所做的功,稱為功率平均功率：P - t瞬時(shí)功率：當(dāng)t 0時(shí),平均功率的極限值即為t時(shí)刻的瞬時(shí)功率,簡稱功dW出由于dW f ?dr 0上式可寫為f ?drf ?v fvcos瞬時(shí)功率等于力在速度方向的投影和速度大小的乘積,或說瞬時(shí)功率等于力矢量與速度矢量的標(biāo)積.3.常見力的功重力的功質(zhì)量為m的物體在地球 外表附近重力加速度g不 變從a經(jīng)c運(yùn)動(dòng)到b,重 力對(duì)物體所做的元功dW F ?d s mg j ?(dxidyj) mgdy物體從cc-b,重力的功ybW mgdy (mg% mgya) ya假設(shè)物體從 cd

14、-b,重力的功仍然是上述結(jié)果.可見,重力的功與路徑無關(guān)只與始末位置有關(guān).彈力的功?"?Oab彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧水平放置, 一端固定,一端系一小球,以平衡位置為 原點(diǎn).小球在任一位置受到彈力F kxi對(duì)位移dx的元功為dW F ? d x kxi ? dxi kxdx小球從位置a運(yùn)動(dòng)到b,彈力的功為b12 12W dW kxdx( kxb - kxa)a22結(jié)論：彈力的功只與始末位置有關(guān),與路徑無關(guān).保守力某些力(重力、彈力、萬有引力、靜電力、分子力等),他們對(duì)物體做的功與路徑無關(guān),只由物體的始末位置所決定. 假設(shè)物體沿任一閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周, 這 些力做功為零,這類力稱為 保守力.

15、摩擦力等做的功與路徑有關(guān),稱為 非保守力或耗散力.二、動(dòng)能和質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理1.動(dòng)能和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能表達(dá)式：Ek 1 mv22質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理ft所以有假設(shè)把f看成是作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力,那么牛頓方程的切向分量式為b“、ftdsb dv . m dsbm vdv1 2-mvb12一 mvaa(L)a(L)出a(L)22dvm一 出ds dtW用Ek2mv2代表動(dòng)能,那么有W Ekb Eka即合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量,稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能變化定理 說明：(1)功與動(dòng)能增量密切相關(guān).外力對(duì)物體做正功,物體動(dòng)能增大；外力對(duì) 物體做負(fù)功,物體動(dòng)能減?。煌饬?duì)物體不做功,物體動(dòng)能不變.(2)功是過

16、程量,動(dòng)能是狀態(tài)量.無論通過什么過程做功,只要始末兩狀 態(tài)一定,動(dòng)能增量與該過程的功一定相等.(3)動(dòng)能與功有相同的單位,即焦耳(J)o但這是兩個(gè)不同的物理量.(4)但凡用動(dòng)能變化定理能解決的問題, 原那么上用牛頓第二定律也能解決, 但涉及位置與速率關(guān)系方面的問題,通常用動(dòng)能變化定理比擬簡便.例2-12用動(dòng)能變化定理解例題2-2中小球的速率.解：小球下落過程中,繩子的張力垂直于小球的運(yùn)動(dòng)方向,因此不做功. 而重力做功.卜 * *W mg ? d l mg dl cos mgl 0 cos d mgl sin根據(jù)動(dòng)能變化定理W Ekb Eka有12mgl sin mv的小球的速率 v 2glsi

17、n三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能變化定理對(duì)第i各質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能變化定理Wi Eik Eiko式中Eik和Eik0分別代表質(zhì)點(diǎn)的末狀態(tài)和初狀態(tài)的動(dòng)能.Wi是合力做的功,它等于外力和內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功之和.即Wi Wi外W內(nèi)對(duì)質(zhì)點(diǎn)編號(hào)i并求和,得W 外 W 內(nèi)EikEik0iiii所有外力和所有內(nèi)力對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所做的功之和,等于系統(tǒng)總動(dòng)能的增量.稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能變化定理.說明：在質(zhì)點(diǎn)系中,內(nèi)力的矢量和等于零,但它們作用在不同的質(zhì)點(diǎn)上,各 質(zhì)點(diǎn)的位移可能不同,因此內(nèi)力做功之和可以不為零.四、勢能保守力做的功與路徑無關(guān),意味著保守力的功只由系統(tǒng)的始、 末狀態(tài)決 定.引入勢能Ep的概念,系統(tǒng)在始、末狀態(tài)的勢能的差值表達(dá)了保守力

18、所 做的功.并定義：保守力所做的功,等于系統(tǒng)勢能的減少.W保內(nèi)Ep0 Ep1 .引力和引力勢能質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn),n作用在m2上的引力為fGmm2? 式中r?為到m2的單位矢量.rm1rm2?*-x引力做功與路徑無關(guān),只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān).因此引力是保守力.與引力對(duì)應(yīng)的勢能是引力勢能,引力勢能為Gm1m2Ep r引力勢能屬于質(zhì)點(diǎn)n和皿所組成的系統(tǒng).兩質(zhì)點(diǎn)相距無限遠(yuǎn)處為零勢能點(diǎn).2 .重力和重力勢能重力是物體在地面附近受到地球的引力.重力是保守力.與重力對(duì)應(yīng)的勢能是重力勢能,重力勢能就是地面附近的物體和地球的引力勢能Ep mgh重力勢能屬于物體和地球組成的系統(tǒng)所有.通常取地面為零勢

19、能點(diǎn).3 .彈性力和彈性勢能f0XaXb上圖所示,小球由Xa移動(dòng)到Xb的過程中,彈性力對(duì)它做了功.設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k,小球在任一位置X時(shí),彈性力為f kX.小球由Xa移動(dòng)到“的過程中,彈性力對(duì)它做的功Xb -Xb1212W x fdx* kxdx kxa - kxb可見,彈性力的功與彈簧伸長的路徑無關(guān),只決定于彈簧的始、末伸長量, 因此彈性力是保守力.與彈性力對(duì)應(yīng)的勢能是彈性勢能.12Ep 2kx把彈簧處于自然長度定為零勢能點(diǎn).五、功能原理機(jī)械能守恒定律假設(shè)質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中只有保守內(nèi)力做功,而外力和非保守內(nèi)力的功等于零.那么有E E0常量說明：在只有保守內(nèi)力做功的過程中,質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持

20、不變.這就是機(jī) 械能守恒定律.例用機(jī)械能守恒定律重解例2-2.解：在小球下落過程中,純的張力不做功,只有重力做功.重力是保守力,因此機(jī)械能守恒.取O點(diǎn)為零勢能點(diǎn).根據(jù)機(jī)械能守恒定律,有0 mv2 mgl sin小球的速率 v 2glsin2. 4質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律矢量乘法：1 .點(diǎn)乘：乘號(hào)用一個(gè)點(diǎn)表示,兩個(gè)矢量點(diǎn)乘結(jié)果為一個(gè)標(biāo)量,稱為標(biāo)量積 如：A?b c A和B為矢量,c為標(biāo)量.C的量值：C ABcos為A方向與B方向之間的夾角.在點(diǎn)乘中,有乘法交換率,如 A?B B?A C2.叉乘：乘號(hào)用積.如： ABCA、B和C均為矢量.C的量值：CABsin為用方向與B方向之間的夾角.C的方

21、向：按右螺旋法那么判定.在叉乘中,沒有乘法交換率；Abba而有：A B B ( A) ( B) A假設(shè)B kE那么有 A B A kE=kA E、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量“X來表示,兩個(gè)矢量叉乘結(jié)果為一個(gè)矢量,稱為矢量如上圖,某質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m ,相對(duì)于0點(diǎn)的位置矢量為r ,動(dòng)量為mv.將質(zhì)點(diǎn)的位置矢量r和動(dòng)量p矢量積,定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于0點(diǎn)的角動(dòng)量l* I* *l r p r mv角動(dòng)量的大小為 l rpsin mrvsin角動(dòng)量的方向：當(dāng) <180°時(shí),按右螺旋法那么判定.角動(dòng)量又叫動(dòng)量矩.如果質(zhì)點(diǎn)繞0點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng), 按角動(dòng)量定義,質(zhì)點(diǎn)對(duì)0點(diǎn)的角 動(dòng)量方向垂直于圓周平面,大小 為：I 2l m

22、rv mr其中 v r為圓周運(yùn)動(dòng)的角速度.注意：在定義一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí),必須明確指出是對(duì)哪個(gè)點(diǎn)而言慣性系中,牛頓第二定律:fd Pdt二、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量變化定理用質(zhì)點(diǎn)對(duì)于0點(diǎn)的位置矢量r叉乘上式兩邊得:g|v與p mv同方向,所以v p 0,上式可寫成 -b- -trf -b-d p - - - d p d r r d (r p) d lr f r v p rp dtdt dtdt dt矢量積r f稱為力f對(duì)0點(diǎn)的力矩,用M表小,有dlM dt力矩M的方向用右螺旋法那么判定,其大小為M rf sin為r與f小于180°的夾角.l =常矢量說明：在慣性系中當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受力,或?qū)δ骋还潭c(diǎn)所受合力矩為零時(shí),這個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量的大小和方向都保持不變一一叫 角動(dòng)量守恒定理.例2-17證實(shí)關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律：行星相對(duì)太陽的位置矢量在相等時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積.積為dS.由于太陽作用在行星上的引力對(duì)太陽的力矩為零,所以行星對(duì)太陽的角動(dòng)量的大小和方向都不變.角動(dòng)量的方向不變行星沿平面運(yùn)動(dòng)軌道運(yùn)動(dòng), 而且軌道平面的方位不變；角動(dòng)量的大小不變是指l r