2020-2021初三培優(yōu)易錯(cuò)難題初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練含答案

1、2020-2021初三培優(yōu)易錯(cuò)難題初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練含答案一、旋轉(zhuǎn)1. (1)如圖，在矩形 ABCD中，對(duì)角線 AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF，BD,交 AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE、DF,且BE平分/ABD. 求證：四邊形 BFDE是菱形；直接寫出/ EBF的度數(shù)；(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究，如圖 ，點(diǎn)G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連 接GD, H為GD的中點(diǎn)，連接 FH并延長(zhǎng)，交ED于點(diǎn)J,連接IJ IH、IF、IG.試探究線段 IH與FH之間滿足的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)把中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究，如圖 ，當(dāng)矩形ABCD滿足AB=AD時(shí)，

2、點(diǎn)E是對(duì)角 線AC上一點(diǎn)，連接 DE、ER DF,使4DEF是等腰直角三角形， DF交AC于點(diǎn)G.請(qǐng)直接寫 出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)詳見解析；60。. (2) IH= J3fH； (3) EG2=AG2+C左【解析】【分析】(1) 由DOEBOF,推出EO= OF, OB= OD,推出四邊形 EBFD是平行四邊形， 再證明EB= ED即可. 先證明/ABD= 2/ADB,推出/ ADB= 30°,延長(zhǎng)即可解決問題.(2) IH= J3FH.只要證明JF是等邊三角形即可.(3)結(jié)論：EG2=AG2+cE?.如圖3中，將4ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

3、到ADCM,先證 明DE84DEM,再證明 ECM是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形, .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO, 在 DOE和BOF中，EDO= FBOO£ BOF.,.DOEABOF7,EO= OF, 1.OB=OD, 四邊形EBFD是平行四邊形，EF± BD, OB=OD,.EB=ED, 四邊形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED,/ EBD= / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 °,，/ADB=30； /ABD=6

4、0 ；/ ABE= / EBO= / OBF= 30 °,/ EBF= 60 °.(2)結(jié)論：ih=J3fh.理由：如圖2中，延長(zhǎng)BE至1J M,使得EM=EJ,連接MJ.V1. 四邊形EBFD是菱形，/ B= 60 °,-.EB=BF= ED, DE/ BF,/ JDH= / FGH, 在 DHJ和AGHF中，DHG= GHFDH=GH , JDH= FGH .DH乒GHF, .DJ=FG, JHF,.EJ= BG= EM=BI,.BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ； .MEJ是等邊三角形，.-.MJ=EM=NI, ZM = ZB=60 &#

5、176;在 BIF和AMJI中，BI=MJB= M ,BF=IM2 .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH± JF3 / BF+Z BIF= 120 :4 / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ； JIF是等邊三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90°, /IFH= 60°,/ FIH= 30 °, IH= 73 FH.(3)結(jié)論：EG2=AG2+C邑理由：如圖3中，將4ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ADCM, / FA。/ DEF= 90 °, .AFED四點(diǎn)共

6、圓，/ EDF= / DAE= 45 : / ADC= 90 ； / ADF+Z EDC= 45 °, / ADF= / CDM, / CDM+Z CDE= 45 = / EDG, 在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDM , DG = DM .DEGADEM,.GE= EM, / DCM= / DAG= / ACD= 45 ； AG= CM, / ECM= 90 ° EC2+CM2= EM2, . EG= EM, AG=CM, .GE2=AG2+C邑【點(diǎn)睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定 和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解

7、題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn) 化的思想思'考問題.2 .請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題:1探究1：如圖1,在等腰直角三角形 ABC中， ACB 90°, BC a,將邊AB繞點(diǎn)B1 2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.求證：VBCD的面積為1a2.（提示：過點(diǎn)D作BC2邊上的高DE,可證VABCVBDE）2探究2：如圖2,在一般的RtVABC中， ACB 90°, BC a,將邊AB繞點(diǎn)B順 時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.請(qǐng)用含a的式子表示VBCD的面積，并說(shuō)明理由.3探究3：如圖3,在等腰

8、三角形 ABC中，AB AC , BC a,將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針 旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.試探究用含a的式子表示VBCD的面積，要有探究過 程.1 2【答案】（1）詳見解析；（2） VBCD的面積為一a ,理由詳見解析；（3） VBCD的面 2積為1 a2.4【解析】【分析】1如圖1,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E,由垂直的性質(zhì)就可以得出 VABCVBDE ,就有DE BC a.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；2如圖2,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E,由垂直的性質(zhì)就可以得出 VABCVBDE ,就有DE BC a.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；

9、3如圖3,過點(diǎn)A作AF BC與F,過點(diǎn)D作DE BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,由等腰三角形1 一 的性質(zhì)可以得出BF BC,由條件可以得出 VAFB且VBED就可以得出BF DE ,由 2三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.【詳解】1如圖1,過點(diǎn)D作DE CB交CB的延長(zhǎng)線于E,BEDACB 900,由旋轉(zhuǎn)知，AB AD , ABD 900,ABCDBE 90°，Q A ABC 900,A DBE , 在VABC和VBDE中，ACB BEDA DBE ,AB BDVABC VBDE AASBC DE a,Q Svbcd -BC DE ,2SVBCD 二 a ；21 22VBCD的面積為一a ,2理

10、由：如圖2,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E,BED ACB 90o ，Q線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得到線段BE,AB BD , ABD 900,ABC DBE 900，Q A ABC 900,A DBE , 在VABC和VBDE中，ACBBEDABBDvabc vbde aas ,BCDE a,Q SvBCD3如圖3,過點(diǎn)A作AF BC與F,SVBCD1 22a，過點(diǎn)D作DE BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,c1E 90°, BF -BC212a，afbFAB ABF 90°，Q ABD 900,ABF DBE 900,FAB ebd ,Q線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到

11、的,AB BD , 在vafb和vbed中,afb efab ebd,ab bdvafb vbed aas ,1 BF DE -a, 2QSvBCD-BC 2DE1 2VBCD的面積為一 a . 4【點(diǎn)睛】 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性 質(zhì)、三角形的面積等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵3 .如圖所示，(1)正方形ABCD及等腰RtAEF有公共頂點(diǎn) A, / EAF=90；連接BE、DF.將RAEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，BE DF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？結(jié)合圖(1)給予證明；(

12、2)將(1)中的正方形 ABCD變?yōu)榫匦?ABCD,等腰RtAEF變?yōu)镽tAAEF7,且AD=kAB, AF=kAE,其他條彳不變.(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖(2)說(shuō)明理由；(3)將(2)中的矩形 ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅?ABCD,將RtA AEF變?yōu)锳EF,且/BAD=/ EAF=a其他條彳不變.(2)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖 (3),如果不變，直接 寫出結(jié)論；如果變化，直接用 k表示出線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系，用 a表示出直線BE、DF 形成的銳角3.【答案】(1) DF=BE且DFLBE,證明見解析；(2)數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變，即DF=kBE, 3 =18?！癉F=kB

13、E, DF± BE； (3)不改變.【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中線段的長(zhǎng)度不變，得到AF= AE,又/ BAE與/ DAF都與/ BAF互余，所以/BAE=/DAF,所以FAg4EAB,因此BE與DF相等，延長(zhǎng) DF交BE于G, 根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360。求出/EGF= 90。，所以DF± BE；(2)等同(1)的方法，因?yàn)榫匦蔚泥忂叢幌嗟?，但根?jù)題意，可以得到對(duì)應(yīng)邊成比例，所以FA2 4EAB,所以DF=kBE,同理，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角 和等于360°求出/EHF= 90°,所以DF, BE;(3)與

14、(2)的證明方法相同，但根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360 °求出/£人5+/ EHF= 180 °,所以 DF 與 BE 的夾角 3= 180 -【詳解】(1) DF與BE互相垂直且相等.在正方形 ABCD和等腰直角 4AEF中AD= AB, AF= AE, / BAD= / EAF= 90/ FAD= / EAB.FAEAEAB /AF4/AEB, DF= BE / AFD+/AFG= 180 ； / AEG+/AFG= 180 ； / EAF= 90 °,/ EGF= 180 - 90 = 90 ； DFXBE(2)數(shù)量關(guān)系改變，

15、位置關(guān)系不變.DF= kBE, DF± BE.延長(zhǎng)DF交EB于點(diǎn)H,. AD=kAB, AF= kAEADABAFAEAD AFAB AE / BAD= / EAF= a/ FAD= / EAB.FADAEABDF AF , kBE AE.DF= kBE .FADAEAB,/ AFD= / AEB, / AFD+Z AFH= 180 ； / AEH+Z AFH=180 ； / EAF= 90 ;/ EHF= 180 - 90 = 90 ； DFXBE(3)不改變.DF= kBE, 3= 180°-a.延長(zhǎng)DF交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H,. AD=kAB, AF= kAEAFAE

16、ADABAD AFAB AE / BAD= / EAF= a/ FAD= / EAB.FADAEABDF AF , kBE AE.DF= kBE由 FAD EAB得 / AFD= / AEB / AFD+/ AFH= 180 ° / AEB+Z AFH= 180 ° 四邊形AEHF的內(nèi)角和為360 ； / EAF+Z EHF= 180 ° / EAF= a, / EHF= 3 ,a+ 片 180 :3= 180 - a【點(diǎn)睛】本題(1)中主要利用三角形全等的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明；(2) (3)利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明，要解決本題，證明三角形全等

17、和三角相似是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在.4.如圖 1,在 RtABC中，/ACB= 90°, AC= BC.點(diǎn) D、E分別在 AC BC邊上，DC= EG 連接 DE、AE、BD.點(diǎn) M、N、P分別是 AE、BD> AB 的中點(diǎn)，連接 PM、PN、MN.C E ECBCE B圉1圖2備用圖(1) PM與BE的數(shù)量關(guān)系是 , BE與MN的數(shù)量關(guān)系是 .(2)將4DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖 2的位置，判斷(1)中BE與MN的數(shù)量關(guān)系結(jié)論 是否仍然成立，如果成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若CB= 6. CE= 2,在將圖1中的4DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周白過程中，

18、當(dāng)B、E、D三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求 MN的長(zhǎng)度.1【答案】(1) PM -BE, BE J2MN ； (2)成立，理由見解析；(3) MN=J17 - 2i 或 M+i【解析】【分析】(1)如圖1中，只要證明VPMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位線定理即可解決問題；(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立，連接 AD、延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)H .由VECB VDCA ,推出BE AD , DAC EBC ,即可推出BH AD ,由M、N、P分另1J AE、11BD、AB 的中點(diǎn)，推出 PM /BE, PM BE, PN/AD , PN AD ,推出 22PM PN , MPN 90 ,可得 BE 2PM

19、 2 MN V2MN ;2(3)有兩種情形分別求解即可 .【詳解】(1)如圖1中,. AM = ME, AP= PB,1 CLPM / BE, PM - BE , 2 . BN=DN, AP=PB,1 .PN/AD, PN AD, 2 . AC= BC, CD= CE, .AD= BE, .PM = PN, / ACB= 90 °, .AC BQ . PM/BC, PN/ AC, PMXPN, PMN的等腰直角三角形,MN72PM，MN22. 1 BE ,2BE 72MN，1故答案為 PM -BE , BE J2MN -(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立.囹2理由：連接AD、延長(zhǎng)BE交AD

20、于點(diǎn)H. ABC和 CDE是等腰直角三角形，.CD= CE, CA= CB, /ACB=/DCE= 90 °, / ACB- / ACE= / DCE- / ACE/ ACD= / ECB.ECBDCA,.BE=AD, /DAC=/EBC Z AHB=180 - (/HAB+/ABH)= 180°- (45 +Z HAC+ZABH)= /180°- ( 45° + /HBG/ABH)= 180° -90° = 90°,BHXAD,M、N、P分別為AE、BD、AB的中點(diǎn)，11 .PM/BE, PM -BE, PN/AD, PN

21、 AD, 22.PM = PN, /MPN=90； BE 2PM 2 MN 百M(fèi)N . 2(3)如圖3中，作CGJ± BD于G,則CG GE當(dāng)D、E、B共線時(shí),在 RtABCG中，bg Jbc2 cg2 J62 722 用,BE BG GEMN BE2E2GE DG M當(dāng)D、E、B共線時(shí)，在RtA BCG中，BG JBCcg J62 衣 2 734，BE BG GE 扃 72,MN BE 后 1 .2綜上所述，MN= J17 - 1或J17+1.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、 股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題, 題，屬于中考?jí)狠S題.全等

22、三角形的判定和性質(zhì)、勾學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問5.如圖1,在銳角 ABC中，/ABC=45°,高線AD、 (1)判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；BE相交于點(diǎn)F.(2)如圖2,將AACD沿線段AD對(duì)折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)M, AM與BE相交于點(diǎn)N, 當(dāng)DE/ AM時(shí)，判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.C【答案】(1) BF=AQ理由見解析；(2) NEAC,理由見解析.2【解析】試題分析：(1)如圖1,證明AADCABDF (AAS),可得BF=AQ(2)如圖2,由折疊得：MD=DC,先根據(jù)三角形中位線的推論可得：AE=EC由線段垂直平分線的性質(zhì)得： AB=BQ 則/ABE=/

23、 CBE，結(jié)合(1)得：BDFADM,則1/DBF=/ MAD,最后證明 /ANE=/ NAE=45 ,。彳# AE=EN 所以 EN= AC.試題解析：(1) BF=AG理由是：如圖 1,AD± BC, BEX AC, ./ADB=/ AEF=90 , ° / ABC=45 ；.ABD是等腰直角三角形， 叫. AD=BD, / AFE=Z BFD, / DAC=Z EBG在 ADC和4BDF中，DAC DBFADC BDF, AD BD .ADCABDF (AAS), BF=AQ(2) NE=2-AC,理由是：如圖2,由折疊得：MD=DC,1. DE/AM, .AE=EC

24、 .BEXAC, .AB=BC,/ ABE=Z CBE, J由(1)得：AADCABDF, .ADCAADM,.,.BDFAADM,/ DBF=Z MAD , / DBA=Z BAD=45 ； / DBA- / DBF=Z BAD- / MAD, 即 / ABE=Z - BAN, / ANE=Z ABE+Z BAN=2/ ABE,/ NAE=2/ NAD=2/ CB耳/ ANE=Z NAE=45 ；.AE=EN,1.EN=-AC.26. （10分）已知 ABC和 ADE是等腰直角三角形，/ACB=/ADE=90°,點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，連結(jié)DF、CF.置1,卸郅（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在AB上

25、，點(diǎn)E在AC上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（不用證明）；（2）如圖2,在（1）的條件下將4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，請(qǐng)你判斷此時(shí)（1）中 的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷；（3）如圖3,在（1）的條件下將4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，若AD=1, AC=Y?,求 此時(shí)線段CF的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果）.【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由見試題解析；（3） 【解析】試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BR根據(jù)/ DFE=2/ DCR / BFE=2Z BCF,得至U / EFD叱 EFB=2Z DCB=90

26、,° DF± BF;（2）延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G,先證明ADE陣GCF,得至ij DE=CG DF=Fq根據(jù)AD=DE, AB=BG 得到 BD=BG又因?yàn)?Z ABC=90°,所以 DF=CF且 DF± BF;（3）延長(zhǎng) DF交BA于點(diǎn)H,先證明ADEFAHBF,得到DE=BH, DF=FH,根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可 以4ADH為直角三角形，由 4ABC和4ADE是等腰直角三角形， AC&W , 可以求出AB的 值，進(jìn)而可以根據(jù)勾月定理可以求出 DH,再求出DF,由DF=BF，求出得CF的值.11 II試題解析：（1） ZACB=Z ADE=90 ,點(diǎn) F

27、 為 BE 中點(diǎn),z. DF= BE, CF= BE. . . DF=CF ABC和 ADE是等腰直角三角形，. / ABC=45 . BF=DF,/ DBF=Z BDF. / DFE=Z ABE+Z BDF,/ DFE=2Z DBF.同理得：/CFE=2Z CBF, / EFD+Z EFC=2/ DBF+2/ CBF=2Z ABC=90 . ° .DF=CR 且 DF± CF.(2) (1)中的結(jié)論仍然成立.證明如下：如圖，此時(shí)點(diǎn) D落在AC上，延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G. / ADE=Z ACB=90DE/ BC./ DEF=Z GBF, / EDF=Z BGF. . F 為

28、 BE 中點(diǎn)，EF=BF . . DEF GBF. . . DE=GR DF=GF .AD=DE, .1. AD=GB. AC=BC,AC-AD="BC-GB."，DC=GC / ACB=90 ,° DCG是等腰直角三角形. , DF=GF .-,DF=CF DF±CF.E(3)如圖，延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H, ABC和 ADE是等腰直角三角形,AC=BC AD=DE/ AED=Z ABC=45 . °由旋轉(zhuǎn)可以得出，/ CAE1 BAD=90 ； AE/ BC, ，/AEB=/ CBE./ DEF玄 HBF. .F 是 BE 的中點(diǎn)，EF=&qu

29、ot;BF."ADEFAHBF. .1. ED=HB.,. AC=2V2,在RtABC中，由勾股定理，得 AB=4. . AD=1,ED=BH=1. . AH=3.在RtHAD中，由勾股定理，得 DH=J10 ,Xi22.DF=上,CF=工.線段CF的長(zhǎng)為考點(diǎn)：1.等腰直角三角形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.勾股定理.7.已知：在 ABC中，BC=a, AC=b,以AB為邊作等邊三角形 ABD.探究下列問題：(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線 AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3,且/ ACB=60 ,則CD=_ ;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，a=b=6,且/ AC

30、B=90 ,則CD,；(3)如圖3,當(dāng)/ACB變化，且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求 CD的最大值及相應(yīng)的/ ACB的度數(shù).【答案】(1) 3/； (2) 3；63小;(3)當(dāng)/acb=120時(shí)，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】(1) a=b=3,且/ACB=60, AABC是等邊三角形，且 CD是等邊三角形的高線的 2倍，據(jù) 此即可求解；(2) a=b=6,且/ACB=90, AABC是等腰直角三角形，且 CD是邊長(zhǎng)是6的等邊三角形的 高長(zhǎng)與等腰直角三角形的斜邊上的高的差；(3)以點(diǎn)D為中心，將4DBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則點(diǎn)B落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)E.連接AE, CE,當(dāng)點(diǎn)E、A、C

31、在一條直線上時(shí)， CD有最大值，CD=CE=a+b 【詳解】(1) ,. a=b=3,且 /ACB=60,.ABC是等邊三角形，.OC=7.CD=3X/;(2) 3K6-32；(3)以點(diǎn)D為中心，將4DBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°, . CD=ED, / CDE=60 ,° AE=CB=a .CDE為等邊三角形， .CE=CD當(dāng)點(diǎn)E A C不在一條直線上時(shí)，有 CD=CE< AE+AC=a+t當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線上時(shí)，CD有最大值，CD=CE=a+b只有當(dāng) /ACB=120 時(shí)，/CAE=180, 即A、C E在一條直線上，此時(shí) AE最大 ./ACB=120,°

32、因此當(dāng)/ACB=120時(shí)，CD有最大值是a+b.CD有最大值的條件,本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確理解 是解題的關(guān)鍵.8.如圖1,是邊長(zhǎng)分別為 6和4的兩個(gè)等邊三角形紙片 ABC和CDEi疊放在一起.圖1圖2鄴(1)操作：固定 ABC,將CDEi繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 CDE,連接AD、BE,如圖2.探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？并請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)操作：固定 AABC,若將CD)Ei繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得至iJCDE,連接AD、BE, CE 的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F,在線段CF上沿著CF方向平移，(點(diǎn) F與點(diǎn)P重合即停止平移)平 移后的4CDE設(shè)為PQ

33、R如圖3.探究：在圖3中，除三角形 ABC和CDE外，還有哪個(gè)三角形是等腰三角形？寫出你的結(jié)論(不必說(shuō)明理由)；(3)探究：如圖3,在(2)的條件下，設(shè) CQ=x,用x代數(shù)式表示出 GH的長(zhǎng).止【答案】(1) BE=CD理由見解析；(2) 4CHQ是等腰三角形；(3)&-2x.【解析】試題分析：(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得 AB=BC，CD=CE Z ACB=Z ECD=60 ,然后求 出/ ACD=Z BCE，再利用 邊角邊”證明 ACD和 BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證 明即可；(2)求出/ACF=30,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出/CHQ=30

34、；從而得到/ACF之CHQ,判斷出4CHQ是等腰三角形；(3)求出/CGP=90,然后利用/ACF的余弦表示出CG,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)表示出CH,然后根據(jù)GH=CG-CHll理即可得解.試題解析：(1) BE=CD理由如下：4ABC與4CDE是等邊三角形,.AC=BC, CE=CD /ACB=/ ECD=60 . / ACB-Z ACE之 ECD-/ ACE, 即 / BCE之 ACD.在 ACD和 BCE中，£ACD=JLRCE .ACDABCE (SAS , BE=AD；(2)二旋轉(zhuǎn)角為30。,/ BCF=30,°/ ACF=60-30 =30 ；/ CHQ=Z R

35、QP-Z ACF=60-30 =30 ；/ ACF=Z CHQ, .CHQ是等腰三角形；(3) / CGP=180-Z ACF-Z RPQ=180-30 -60 =90°, .CG=CP?cos30 , <x+4), CHQ是等腰三角形, .CH=2?CQcos30.GH=CG-CH=X x+4) -.'','x=2''- X，考點(diǎn)：幾何變換綜合題.9.邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的兩頂點(diǎn)A、C分別在正方形 EFGH的兩邊DE、DG上（如圖 1）,現(xiàn)將正方形 ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點(diǎn)第一次落在 DF上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程 中，AB邊

36、交DF于點(diǎn)M, BC邊交DG于點(diǎn)N.（1）求邊DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)（如圖2）,求正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；（3）如圖3,設(shè)4MBN的周長(zhǎng)為p,在旋轉(zhuǎn)正方形 ABCD的過程中，p值是否有變化？請(qǐng) 證明你白結(jié)論.【答案】（1） " （2） 22W； （3）不變化，證明見解析. 【解析】試題分析：（1）將正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點(diǎn)第一次落在 DF上時(shí)停止旋 轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，DA旋轉(zhuǎn)了 45,從而根據(jù)扇形面積公式可求 DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的 面積.（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)，根據(jù)平行的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)可求

37、正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為（3）延長(zhǎng)BA交DE軸于H點(diǎn)，通過證明Af）小口dDCN和三ADMN可得結(jié)論.（1） :人點(diǎn)第一次落在 DF上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，DA旋轉(zhuǎn)了 4".45?r x 22 7T DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為3602 MN/AC, ."制=£打然"45"N仆庾。仁45日,乙RMN = UJNM BM-BN"M = (7N5 = DCDAM = 2DCN . ADAMADCN，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為R5'-22. = 22,51不變化，證明如下：如圖，延長(zhǎng)BA交DE軸于H點(diǎn)，則E

38、ADE = 450 - LADM 詢H = 9。0 - 450 - £ADM = 45° 二 ADM卜dT.又.DA = DCDAU = 180。- 90。=1=赤N 叫松口.又-LMDE = MDN = 45。用M =DM, , - ADMHADMN .MN = MH=AM”H . fN = AM + CN I. , , II.-A濟(jì)一漳盟久M < C：N - 十B.，在旋轉(zhuǎn)正方形 ABCD的過程中，戶值無(wú)變化.考點(diǎn)：1.面動(dòng)旋轉(zhuǎn)問題；2.正方形的性質(zhì)；3.扇形面積的計(jì)算；4.全等三角形的判定和性 質(zhì).10.思維啟迪：（1）如圖1, A, B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩

39、端，小亮想用繩子測(cè)量A,B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)B點(diǎn)的點(diǎn)C,連接BC,取BC的中點(diǎn)P （點(diǎn)P可以直接到達(dá) A點(diǎn)），利用工具過點(diǎn) C作CD/ AB交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,此時(shí)測(cè)得CD= 200米，那么A, B間的距離是 米.思維探索：（2）在 4ABC和 4ADE 中，AC= BC, AE= DE,且 AE< AC, Z ACB= Z AED=90°,將AADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，把點(diǎn) E在AC邊上時(shí) ADE的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 電連接BD,點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)， 連接PC, PE.如

40、圖2,當(dāng)AADE在起始位置時(shí)，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是 ； 如圖3,當(dāng)“=90。時(shí)，點(diǎn)D落在AB邊上，請(qǐng)判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并 證明你的結(jié)論； 當(dāng)150 °時(shí)，若BC= 3, DE= l,請(qǐng)直接寫出 PC2的值.【答案】(1) 200； (2)PC = PE, PCX PE；PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC= PE, PCX PE,見解析； PC2= 10 3岳.【解析】【分析】(1)由 CD/ AB,可得 /C=/B,根據(jù) / APB=/DPC即可證明ABPDCP,即可得 AB = CD,即可解題.(2) 延長(zhǎng)EP交BC于F,易證4FB國(guó)

41、4EDP ( SA9可得 EFC是等腰直角三角形，即 可證明 PC= PE, PCX PE. 作BF/ DE,交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,連接 CE CF,易證 FB國(guó) EDP ( SA9 ,結(jié)合已知得BF= DE= AE,再證明FBCEAC ( SA9 ,可得 EFC是等腰直角三角形，即可證明 PC= PE, PCX PE. 作BF/ DE,交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CE CF,過E點(diǎn)作EHI± AC交CA延長(zhǎng)線于H 點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，ZCAE= 150。，DE與BC所成夾角的銳角為 30。，得/ FBC= / EAC,同可證可得PC= PE, PCX PE,再由已知解三角形得. EG=

42、CH2+HE2= 10 3J3 ,即可212 10 3.3求出 PC2EC2 22【詳解】(1)解：CD/ AB, ，/C=/B,在 ABP和4DCP中，BP CPAPB DPC ,B C.ABPADCP (SAS , .DC=AB. AB=200 米.CD=200 米，故答案為：200 .(2)PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC= PE, PCX PE.理由如下：如解圖1,延長(zhǎng)EP交BC于F,同(1)理，可知AFBPAEDP (SAS ,.PF=PE BF= DE,X / AC= BC, AE=DE, . FC= EC,又 / ACB= 90°,.EFC是等腰直角三角形， E

43、P= FP, .PC= PE, PCX PE.PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC= PE, PCX PE.理由如下：如解圖 2,作BF/ DE,交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,連接CE CF,同 理，可知 AFBP AEDP (SAS ,1 .BF= DE, PE= PF= EF ,21 .DE=AE,.BF=AE,2 .當(dāng) a= 90 時(shí)，/EAC=90 ；3 .ED/ AC, EA/ BC. FB/AC, /FBC= 90,/ CBF= / CAE在 FBC和EAC中，BF AECBE CAE ,BC AC.,.FBCAEAC (SAS ,.CF= CE, /FCB=/ECA4 / ACB=

44、90 ；/ FCE= 90 ;.FCE是等腰直角三角形， EP= FP,1 .CP± EP, CP= EP= EF .2如解圖3,作BF/ DE,交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CE CF,過E點(diǎn)作EHL AC交CA延長(zhǎng) 線于H點(diǎn)，當(dāng)a= 150。時(shí)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，ZCAE= 150。，DE與BC所成夾角的銳角為 30。，/ FBC= / EAC= a= 150 °同可得FBPEDP (SA0 ,同4FCE是等腰直角三角形，CP± EP, CP= EP= 2 CE ,2在 RtAHE 中，Z EAH= 30°, AE= DE= 1 ,.HE= 1 , AH=,

45、又 AC= AB=3,.CH=3+-3.-.EC2 = CH2+HE?= 10 3 小pc2=1ec210 3 322【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)、勾股定理和 30。直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于壓軸題.11. (1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,ACB和4DCE均為等腰直角三角形，/ACB=90,B,C,D在一條直線上.填空:線段AD,BE之間的關(guān)系為.(2)拓展探究如圖2QACB和4DCE均為等腰直角三角形，/ACB=/ DCE=90，請(qǐng)判斷AD,BE的關(guān)系，并說(shuō)明 理由.解決問題如圖3,線段PA=3點(diǎn)B

46、是線段PA外一點(diǎn)，PB=5,連接AB,將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線 段AC,隨著點(diǎn)B的位置的變化，直接寫出PC的范圍.【答案】(1) AD=BE, AD± BE. (2) AD=BE, ADXBE. (3) 5-3 & & PC< 5+2 .【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證 AC*4BCE (SAS ,得AD=BE, / EBC=Z CAD,延長(zhǎng)BE 交AD于點(diǎn)F,由垂直定義得AD± BE.(2)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證 AC*4BCE (SAS , AD=BE, / CAD=/ CBE由垂直定義得/OHB=90 , AD

47、7; BE；E、B共線時(shí)，BE最5-3 衣 & BE< 5+32 . ACB與 DCE均為等腰直角三角形, .AC=BC, CE=CD/ ACB=Z ACD=90 ；在 RtACD和 RtBCE 中AC=BCACD= BCECD=CE .ACDABCE (SA§ ,.AD=BE, /EBC4 CAD延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F,BC± AD, / EBC+Z CEB=90,° / CEB=AEF / EAD+Z AEF=90 , ° . / AFE=90, °即 AD± BE.AD=BE, AD± BE.故答案為AD=

48、BE, ADXBE.(2)結(jié)論：AD=BE, AD± BE.理由：如圖2中，設(shè)AD交BE于H, AD交BC于O.(3)作 AE，AP,使得 AE=PA 則易證 AP圖ACP, PC=BE 當(dāng) P、小，最小值=PB-PE當(dāng)P、E B共線時(shí)，BE最大，最大值=PB+PE t 【詳解】(1)結(jié)論：AD=BE, AD± BE.圖2理由：如圖1中，3 ACB與 DCE均為等腰直角三角形，.AC=BC, CE=CD /ACB=/ ECD=90 ,4 .ACD=Z BCE,在 RtACD和 RtBCE 中AC=BCACD= BCE ,CD=CE5 .ACDABCE (SAS ,.AD=B

49、E, /CAD=/ CBE6 / CAO+/ AOC=90 ； A AOC=Z BOH,7 / BOH+Z OBH=90 ；/ OHB=90 ° ADXBE,.AD=BE, AD± BE.(3)如圖3中，作AEAP,使得AE=PA則易證APEAC尺 .PC=BE圖3-1中，當(dāng)P、E、B共線時(shí)，BE最小，最小值=PB-PE=5-3/2 , 圖3-2中，當(dāng)P、E、B共線時(shí)，BE最大，最大值=PB+PE=5+3/2 , .5-3 亞 WBEW 5+32, 即 5-3 & < PCW 5+32 -34本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三

50、角形的判定 和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找三角形全等的條件，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三 角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.12.已知4ABC是等腰三角形， AB=AC.(1)特殊情形：如圖1,當(dāng)DE/ BC時(shí)，有DB_ EC (填 > 之”或 冶(2)發(fā)現(xiàn)探究：若將圖 1中的4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a ( 0°< “V 180°)到圖2位置， 則(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)拓展運(yùn)用：如圖 3, P是等腰直角三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，/ACB=90,且PB=1, PC=2, PA=3,求/BPC的度

51、數(shù).【答案】(1) =; (2)成立，證明見解析；(3) 135°.【解析】【分析】試題(1)由DE/ BC,得至U 叫 EC ,結(jié)合AB=AC,得至U DB=ECAB AC(2)由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出 DAB0 4EAC,得到DB=CE(3)由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出 CPg4CEA再用勾股定理計(jì)算出 PE,然后用勾股定理逆定理判斷 出 PEA是直角三角形，在簡(jiǎn)單計(jì)算即可.【詳解】(1) DE/ BC,DB ECAB AC '.AB=AC, .DB=EC故答案為二,(2)成立.證明：由易知ad=ae,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知 / DAB=Z EAC,y.' AD=AE, AB=AC DAB

52、Z EAC,DB=CE(3)如圖,將CPB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得ACEA連接PE .,.CPBACEA .CE=CP=2 AE=BP=1, /PCE=90,° / CEP4 CPE=45,°在RtPCE中，由勾股定理可得,PE=272 ，在4PEA中，PE2= （2點(diǎn)）2=8, AE2=12=1, PA2=32=9, .PE2+AE2=AP2, PEA是直角三角形/ PEA=90 ,°/ CEA=135, °又. ACPBACEA/ BPC=Z CEA=135 . °【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例13.在平面直角坐

53、標(biāo)系中，四邊形 AOBC是矩形，點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)A（5,0），點(diǎn)B（0,3）.以點(diǎn) A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形A0BC,得到矩形 ADEF，點(diǎn)0, B, C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D , E , F .圖圖（I ）如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（n ）如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H .求點(diǎn)H的坐標(biāo).（出）記K為矩形 寫出結(jié)果即可）.求證 AADB AA0B ;A0BC對(duì)角線的交點(diǎn)，S為4KDE的面積，求S的取值范圍（直接D的坐標(biāo)為（1,3）.（ n ）證明見解析；點(diǎn)H的坐標(biāo)為（17,3）.（出）30 3履530 3、一 34S.4【解析】分析：（I）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AD=

54、AO=5，設(shè)CD=k在直角三角形 ACD中運(yùn)用勾股定理可CD的值，從而可確定 D點(diǎn)坐標(biāo)；（n ）根據(jù)直角三角形全等的判定方法進(jìn)行判定即可；由知 BADBAO,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得CBA OAB.從而BAD CBA,故BH=AH,在RtACH中，運(yùn)用勾股定理可求得 AH的值，進(jìn)而求得 答案；（出）30 3扃 S 30 3扃44.詳解：（I） .點(diǎn) A 5,0，點(diǎn) B 0,3 , OA 5, OB 3.C 90四邊形AOBC是矩形， AC OB 3, BC OA 5, OBC;矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得至iJ的, AD AO 5.在 RtVADC 中，有 AD2 AC2 DC2, DC . AD2 AC2. 52 32 4.BD BC DC 1.點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,3（n ）由四邊形ADEF是矩形，得 ADE 90 .又點(diǎn)D在線段BE上，得 ADB 90