高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之概率

1、11. 概率 知識(shí)要點(diǎn) 1. 概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個(gè)，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每一個(gè)基本事件的概率都是，如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率.3. 互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：.對(duì)立事件：兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對(duì)立事件. 例如：從152張撲克牌中任取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因?yàn)槠?/p>

2、中一個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生，但又不能保證其中一個(gè)必然發(fā)生，故不是對(duì)立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對(duì)立事件，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)必發(fā)生.注意：i.對(duì)立事件的概率和等于1：. ii.互為對(duì)立的兩個(gè)事件一定互斥，但互斥不一定是對(duì)立事件.相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件. 如果兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)=P(A)P(B). 由此，當(dāng)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率之和，這時(shí)我們也可稱這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張?jiān)O(shè)A：“抽到老K”；B：“

3、抽到紅牌”則 A應(yīng)與B互為獨(dú)立事件看上去A與B有關(guān)系很有可能不是獨(dú)立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K對(duì)抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有，因此有.推廣：若事件相互獨(dú)立，則.注意：i. 一般地，如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A 與與B，與也都相互獨(dú)立.ii. 必然事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.iii. 獨(dú)立事件是對(duì)任意多個(gè)事件來講，而互斥事件是對(duì)同一實(shí)驗(yàn)來講的多個(gè)事件，且這多個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨(dú)立事件.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的. 如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率

4、為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率：.4. 對(duì)任何兩個(gè)事件都有12. 概率與統(tǒng)計(jì) 知識(shí)要點(diǎn)一、隨機(jī)變量.1. 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗(yàn)如果滿足下述條件：試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.它就被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).2. 離散型隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b是常數(shù).則也是一個(gè)隨機(jī)變量.一般地，若是隨機(jī)變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機(jī)變量.也就

5、是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為：取每一個(gè)值的概率，則表稱為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列.P有性質(zhì)； .注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如：即可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).3. 二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是：其中 于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作B（np），其中n，p為參數(shù)，并記.二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用.二項(xiàng)分布，實(shí)際是對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只

6、有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布.當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對(duì)于總體來說又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列.4. 幾何分布：“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：于是得到隨機(jī)變量的概率分布列.123kPq qp 我們稱服從幾何分布，并記，其中5. 超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)是一離散型隨機(jī)變量，分布列為.分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件

7、的取法數(shù)，如果規(guī)定時(shí)，則k的范圍可以寫為k=0，1，n.超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1na+b），則次品數(shù)的分布列為.超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時(shí)，其中次品數(shù)服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個(gè)產(chǎn)品編號(hào)，則抽取n次共有個(gè)可能結(jié)果，等可能：含個(gè)結(jié)果，故，即.我們先為k個(gè)次品選定位置，共種選法；然后每個(gè)次品位置有a種選法，每個(gè)正品位置有b種選法 可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個(gè)數(shù)不多時(shí)，因此二項(xiàng)分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.二、數(shù)學(xué)期望與方差.1

8、. 期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為P則稱為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.2. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望： 當(dāng)時(shí)，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個(gè)常數(shù)本身.當(dāng)時(shí)，即隨機(jī)變量與常數(shù)之和的期望等于的期望與這個(gè)常數(shù)的和.當(dāng)時(shí)，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積.01Pqp單點(diǎn)分布：其分布列為：. 兩點(diǎn)分布：，其分布列為：（p + q = 1）二項(xiàng)分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）幾何分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）3.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量的分布列為時(shí)，則稱為的方差. 顯然，故為的根方差或標(biāo)準(zhǔn)

9、差.隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動(dòng)越小.4.方差的性質(zhì).隨機(jī)變量的方差.（a、b均為常數(shù)）01Pqp單點(diǎn)分布： 其分布列為兩點(diǎn)分布： 其分布列為：（p + q = 1）二項(xiàng)分布：幾何分布： 5. 期望與方差的關(guān)系.如果和都存在，則設(shè)和是互相獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則期望與方差的轉(zhuǎn)化： （因?yàn)闉橐怀?shù)）.三、正態(tài)分布.（基本不列入考試范圍）1.密度曲線與密度函數(shù)：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，位于x軸上方，落在任一區(qū)間內(nèi)的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）的曲線叫的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)叫做的密度函數(shù)，由于

10、“”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.2. 正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機(jī)變量的概率密度為：. （為常數(shù)，且），稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用表示.的表達(dá)式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布的期望與方差：若，則的期望與方差分別為：.正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時(shí)，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當(dāng)時(shí)，曲線上升；當(dāng)時(shí)，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦

11、高”，表示總體的分布越集中.3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為，則稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 即有，求出，而P（ab）的計(jì)算則是.注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的X取0時(shí)，有當(dāng)?shù)腦取大于0的數(shù)時(shí)，有.比如則必然小于0，如圖. 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若則的分布函數(shù)通常用表示，且有. 4.“3”原則.假設(shè)檢驗(yàn)是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)可歸結(jié)為如下三步：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布.確定一次試驗(yàn)中的取值是否落入范圍.做出判斷：如果，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè). 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè).“3”原則的應(yīng)用：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則 落在內(nèi)的概率為99.7 亦即落在之外的概率

12、為0.3，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產(chǎn)品不合格（即不服從正態(tài)分布）.15. 復(fù) 數(shù) 知識(shí)要點(diǎn)1. 復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于1，即.復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念： 復(fù)數(shù)形如a + bi的數(shù)（其中）； 實(shí)數(shù)當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a； 虛數(shù)當(dāng)時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi； 純虛數(shù)當(dāng)a = 0且時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi. 復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)） 復(fù)數(shù)集C全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：.兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.注：若為復(fù)數(shù)，則若，則.（）為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)若，則.（）若，則是的必要不充分

13、條件.（當(dāng)，時(shí)，上式成立）2. 復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：.其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，間的距離.由上可得：復(fù)平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：.曲線方程的復(fù)數(shù)形式：為圓心，r為半徑的圓的方程.表示線段的垂直平分線的方程.為焦點(diǎn)，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.表示以為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.絕對(duì)值不等式：設(shè)是不等于零的復(fù)數(shù)，則.左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.注：.3. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)： ，（a + bi） （） 注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù). （）之差可能為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的4 復(fù)數(shù)的乘方：對(duì)任何，及有 注：以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會(huì)得到荒謬的結(jié)果，如若由就會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)論.在實(shí)數(shù)集成立的. 當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.常用的結(jié)論： 若是1的立方虛數(shù)根，即，則 .5. 復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件：.若，是純虛數(shù).模相等且方向相同的向量，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù). 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：. 6. 復(fù)數(shù)的三角形式：.輻角主值：適合于0的值，記作.注：為零時(shí)，可取內(nèi)任意值.輻角是多值的，都相差2的整數(shù)倍.設(shè)則.復(fù)數(shù)的代數(shù)形