圓錐曲線的切線

1、圓錐曲線的切線問題“方向比努力更重要” ！對于圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的考查，歷來都是比較綜合的。這類題往往集函數(shù)、方程、向量、不等式等知識點于一體。 有變量多，關(guān)系復(fù)雜，運算量大，思維量大等特點。雖說“條條大路通羅馬”，但如果解題方向不對，方法笨重，不僅耗時費力，問題得不到解決，而且極容易打擊自己的自信心。 所以方法的選擇尤為重要， 這就要求我們通過解一題探索出解一 類題的萬用方法。下面通過五個題，簡單介紹一下處理“過圓錐曲線外一點作圓錐曲線的兩條切線”（為了方便，簡稱為圓錐曲線的雙切線問題）的比較實用的兩種方法。例1、（2013廣東卷）已知拋物線 C的頂點為原點，其焦點F 0,c C 0到

2、直線3.2l : x y 2 0的距離為 .設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線2PA, PB，其中A,B為切點.（I ）求拋物線C的方程；（II）當(dāng)點P X0,y0為直線l上的定點時，求直線AB的方程;數(shù)思想）。再看拋物線方程很容易轉(zhuǎn)化為函數(shù)，且直線 AB與切點A、B息息相關(guān)，所以此 題用切點表示切線更為方便快捷！解:（I） x2 4y.1 O1（n ）拋物線C的方程為x 4y ,即y - x ,求導(dǎo)得y x4222xx9設(shè)A x1， , B X2K2 （其中y1 一，y2 工），則切線PA, PB的斜率分別為44-xi , -X2 ,所以切線PA的方程為y yi22XiX 2y

3、2yi 0同理可得切線PB的方程為x?xX- 一 X22yXi2包yi ,即22y2因為切線PA,PB均過點P Xo,yo ，所以XiXo 2yo 2y0 , X2X02 y02 y20所以Xi, yi , X2,y2為方程XoX 2y0 2y 0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x 2y 2y0 0.(m)由拋物線定義可知 AF yi i, BF y2 i,所以 AF BFyi i y2 i yiy2 yi y2 i、，%x 2y 2% 0聯(lián)立方程 2，消去x整理得y2 2y0 x02 y y02 0x 4y由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得yi y2 x02 2y0, y1y2 y02所以

4、AF BF yy2 yi y2 i y02 址2 2y i又點P X0, y0在直線l上，所以X0 y0 2,2222i 9所以 y X0 2y i 2y0 2y0 5 2 y022所以當(dāng)y01時，AF BF取得最小值，且最小值為9.練習(xí)i、橢圓22xy2.2abi （a尸b六0）的一個焦點為F為i,0）,已知橢圓的短軸的兩個22三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形（D求橢圓方程（2）已知Q （x0,y0 ）是橢圓上任一點，求以Q點為切點的切線方程（3）設(shè)P是直線x=4上一動點，過 P作橢圓的兩切線 PA PR 求證：直線AB過定點，并求出該定點坐標(biāo)。2 X (i)7（哈半i設(shè)P（4,t）,切點A（

5、xi, yi）,B（X2, y2）,則以A、B為切點的橢圓的切線方程分別為:洶+型九絲+也4，又P點在兩切線上，所以：43434xl + M = i,4+ty2=i,所以直線ab的方程為：4343仝+ ty = i,即：ty（X i）,所以直線AB恒過定點（i, 0）433練習(xí)2、A B、C是長軸為4 過橢圓中心O,且AC BC0, BCE （焦點在x軸上）的三點，點 A是長軸的右端點， BC2 A，（i）求橢圓E的方程（2）在橢圓E上是否存,22在Q使得QB QA 2?若存在，有幾個（不必求出Q的坐標(biāo)）（3）、過橢圓E上異于其頂點的任一點P作圓O：x2y2-的兩切線，切點分別為 MN,若直線

6、MNB x軸、3，、11y軸上的截距分別為 m n,求證： 7 ） 為定值。3m2 n2分析:第（2）問用化歸思想，解決這題的關(guān)鍵要理清 Q點的來源，一是來源于橢圓，二是來源_2_2 一于|QBQA 2?,這個式子表示的什么曲線弄清楚了，問題就解決了。問題實際轉(zhuǎn)化為橢圓與某曲線的交點個數(shù)。對于第（3）問，關(guān)于圓的問題，用幾何法是往往是最簡潔的。22上工1443(2)兩個（x1,y1）、N （x2,y2）,則以M、N為切點的圓的切線方程(3)法一:設(shè) P(x,y),M4分別為：xx yy產(chǎn)一，xx23VV2 1,又P點在兩切線上，所以:4W，x2% V2Vo3(x-x0)x (y yo)y。，即

7、：x2 y2 xx。yy0 。，有M、N在圓x2xx。44 人yy。一,令y 。，則m ,，令乂33x。y2 4上，所以直線MN的方程為：3一 4。，則n=，又P （x。4。）在橢圓上，所以:3Vo22x。y。441,所以93m2工?(定值)n2 42 x 例2: （2。14廣東卷）、已知橢圓C：-2a2_yr1（a b 。）的一個焦點為（J5,。），離心率b2為15,（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）3若動點P（x。，y。）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點 P的軌跡方程分析：這題同樣是研究圓錐曲線雙切線問題,但與上面幾個題又有所不同，上面幾個題側(cè)重44-,所以直線MN方程為

8、：x0x + y0y -33法二：設(shè)P（xo,y。）,由題意：M、N、O、P四點共圓，且以O(shè)P為直徑，其方程為:于兩切點的關(guān)系，且后續(xù)部分是研究由兩切點產(chǎn)生的直線問題。而此題更側(cè)重于兩切線的關(guān)系，討論的是兩垂直切線的交點問題，所以再用上面的方法就不太好操作了。我們還是順從出題人吧，老老實實把切線用P點表示，再耐心地算下去。注意：點斜式適用范圍。然后呢？你懂的22解：(1) 土 1（2）當(dāng)兩條切線的斜率存在時，設(shè)過P(%, y0)點的切線為y y k x94依題意得k1 k2y2 4x2 9221,即 xo yo 13當(dāng)兩條切線的斜率有一條不存在時，結(jié)合圖像得P是直線x3, x 3, y2,y的

9、四個交點，也滿足xo y2 13,故點P的軌跡方程為x2 y2 132x 2練習(xí)、如圖（6）,設(shè)點F1（ c,。）、F2（c,o）分別是橢圓C : -y y 1（a的左、右焦點， p為橢圓c上任意一點，且 pf1 pf2最小彳1為o.（1）求橢圓C的方程；1)（2）若動直線l1/2均與橢圓C相切，且I1/I2,試探究在x軸上是F1F2y yo k x xo聯(lián)立x22消去 y 得 49k2x218ky0kx0x 9y0kx02 36 0一 y- 1942 2222判別式 二18 k y0 kx036 4 9k y0 kx040化簡得y0kx029k24 0,即x29k22x0y0ky24否存在定

10、點B,點B到l1,l2的距離之積恒為1?若存在，請求出點 B坐標(biāo)；圖（6）若不存在，請說明理由.分析：這個題第（2）問似乎比高考題更為復(fù)雜，兩切線不是相交，而是平行，還得考慮特殊情形：重合。而且參數(shù)多，參數(shù)之間的關(guān)系不是一兩句話就能說清楚的別急，套路就是出路，選好參數(shù)，設(shè)出方程，聯(lián)立方程，尋找關(guān)系，消參按套路來，準(zhǔn)沒錯！2解：（1） y212（2）當(dāng)直線11, l2斜率存在時，設(shè)其方程為 y kx m, y kx n把11的方程代入橢圓方程得 （1 2k2）x2 4mkx 2m2 2 o;直線11與橢圓C相切，16k2m2 4(1 2k2)(2m2 2) 0 ,化簡得22 一 .2222m 1 2k 同理，n 12k . .m n ,若 m n ,則 11,12重合，不合題意，m n設(shè)在x軸上存在點B(t,0)，點B到直線11,12的距離之積為1,則1萼岑J 1,即 |k2t2 m2| k2 1,k2 1 ,k2 1把1 2k2 m2代入并去絕對值整理，k2(t2 3) 2或者k2(t2 1)