大一第二學(xué)期高數(shù)論文設(shè)計(jì)

1、標(biāo)準(zhǔn)文案姓名：某某某 學(xué)院：某某學(xué)院 班級(jí)：某某*班大全學(xué)號(hào):*標(biāo)準(zhǔn)文案【摘要】又經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，我對(duì)高數(shù)的認(rèn)識(shí)又有不同了， 大一上學(xué)期的學(xué)習(xí)主要是對(duì)高數(shù)的基礎(chǔ)進(jìn)行認(rèn)識(shí)，而大二的學(xué)習(xí)就是更深入延伸和拓展，在原有學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上更深入的了解其精 髓，重點(diǎn)學(xué)習(xí)了高數(shù)中的導(dǎo)數(shù)、微分和積分的擴(kuò)充，對(duì)于我們更 深刻的掌握高數(shù)這門學(xué)科有很大的好處。這一學(xué)期里我們，即從對(duì)一元函數(shù)的求導(dǎo)到對(duì)多元函數(shù)的求導(dǎo)，求偏導(dǎo)和求全微分，從一重積分?jǐn)U充到二重積分和三重積分，但是之前的一重積分主要 是運(yùn)算，但是重積分則更加注重在其運(yùn)用上，積分也從之前的對(duì)某一個(gè)區(qū)域積分延伸到對(duì)曲線積分和曲面積分上。另外，這學(xué)期也新引入了無(wú)窮級(jí)

2、數(shù)和微分方程。 學(xué)習(xí)高數(shù)我們應(yīng)該有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài) 度，在努力的基礎(chǔ)上加上認(rèn)真，才能更好的學(xué)習(xí)?！娟P(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)微分重積分級(jí)數(shù)一、對(duì)高數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)經(jīng)過(guò)兩個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)， 我對(duì)高數(shù)的認(rèn)識(shí)已然不同， 高數(shù) 是最最有用的課程之一，后面的好多課程都會(huì)用到高數(shù)的知識(shí)。 高數(shù)是公共基礎(chǔ)課，對(duì)工科學(xué)生尤為重要，后續(xù)課程都會(huì)用到， 比如，接下來(lái)的復(fù)變函數(shù)、積分變換是高數(shù)的延續(xù)，而大學(xué)物理、 電路、電子技術(shù)等都需要高數(shù)的知識(shí)進(jìn)行解題。是進(jìn)一步進(jìn)修不可或缺的 考研等都要考數(shù)學(xué)?？傊邤?shù)是理工科基礎(chǔ)的基礎(chǔ)。就像你小學(xué)學(xué)的加減法是你繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)一樣。數(shù)學(xué)培養(yǎng)的是大全標(biāo)準(zhǔn)文案我的思維，是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維方式。許多實(shí)際問(wèn)題

3、都需要建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，而我建立模型地基礎(chǔ)就是我怎樣把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。而很多時(shí)候數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是有很多趣味的，像重積分，二重積分，哪怕是三重積分，那些變化，通過(guò)立體模型的解題過(guò)程是多么的好玩，多么的妙趣橫生。二、如何學(xué)習(xí)(1) 課前預(yù)習(xí)從小到大，經(jīng)過(guò)這么多年的學(xué)習(xí)，當(dāng)然發(fā)現(xiàn)適當(dāng)?shù)念A(yù)習(xí)是必要的， 在上課前對(duì)所學(xué)知識(shí)的先行認(rèn)識(shí)，相應(yīng)地復(fù)習(xí)與之相關(guān)內(nèi)容。如果能夠做到這些，那么學(xué)習(xí)就會(huì)變得比較主動(dòng)、深入，會(huì)取得比較好的效果。(3) 課后復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，應(yīng)當(dāng)用自己的表達(dá)方式再現(xiàn)所學(xué)的知識(shí)，例如對(duì)某個(gè)定理的復(fù)習(xí)，不是再讀一遍書或課堂筆記，而是離開書本和筆記，回憶有關(guān)內(nèi)容，不清楚之處再對(duì)照教材

4、或筆記。三、高數(shù)解題方法(多重積分)1. 高等數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)密的學(xué)科，在學(xué)習(xí)高數(shù)過(guò)程中，我認(rèn)為應(yīng)用最為廣泛的是積分，高數(shù)中積分包含了曲面積分、曲線積分、二重積分和三重積分等，它們?cè)谠S多學(xué)科中、生活中應(yīng)用比較廣泛。1.1 曲面的面積大全標(biāo)準(zhǔn)文案x, y設(shè)曲面 的方程為z f x, y , 在xoy面上的投影為Dxy,函數(shù)f在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲面的面積為:dxdy 1D_ 2,2fx x,y fy x,yd若曲面的方程為X在yoz面上的投影為Dyz,則曲面的面2dydz若曲面的方程為yz, X在zox面上的投影為Dzx,則曲面的面積為:D:* 1 zdzdx積為:22,f7 z, x fx z

5、,x dzx例1 :計(jì)算雙曲拋物面2xy被柱面x22 .y R所截出白面積Ao2解：曲面在xoy面上投影為D :x2R，則22 .zxzy dxdy即有:o' fy y,z fz y, z dD r2rdr31 R2 ,x y dxdy 2 12從而被柱面x2 一 2 . y R所截出的面積A如上所示。例2：求半徑為a的球的表面積. 解：取上半球面方程為z 荷則它在xoy面上的投影區(qū)域 Dx, y xy2a2又由xa2 x2 y2y.a2 x2y2大全標(biāo)準(zhǔn)文案因?yàn)檫@函數(shù)在閉區(qū)域 D上無(wú)界，我們不能直接應(yīng)用曲面面積公式，所以先取區(qū)域D1 x,y x2 y2b2 0 b a為積分區(qū)域，算出

6、相應(yīng)于Di的球面面積A后，令ba取Ai的極限就得半球面的面積.利用極坐標(biāo)，得Ai于是A1d、a2a-1 22D1 , adxdy,bd 0，, a2lim 2 a a % a2 b2b a這就是半個(gè)球面的面積，因此整個(gè)球面的面積為A 4 a2.1.2質(zhì)量1.2.1 平面薄片的質(zhì)量若平面薄片占有平面閉區(qū)域D ,面密度為 x, y,則它的質(zhì)量為x, y d ，其中 dmx, y d稱為質(zhì)量元素.D1.2.2物體的質(zhì)量若物體占有空間閉區(qū)域體密度為 x, y,z ,則它的質(zhì)量為m : x, y, z dv例3：由螺線 2 ,與直線22，、一 一一x y ,求它的質(zhì)量。大全標(biāo)準(zhǔn)文案o x22解：如圖所示

7、，m dxdy x y dxdyDD4d401.3 質(zhì)心1.3.1 平面薄片的質(zhì)心若平面若平面薄片占有平面比區(qū)域D ,面密度為x, y ,則它的質(zhì)心坐標(biāo)為:x, y d,其中m為平面薄片的質(zhì)量.x, y d1.3.2 物體的質(zhì)心若物體占有空間閉區(qū)域,體密度為x, y,z ,則它的質(zhì)心坐標(biāo)為:x, y, z dv1 . m d_1z一m d,一 ，、一 ，一 22例4：求包于兩球面x yx, y,z dv,其中m為物體的質(zhì)量.x,y,zdv2 2 2z 24 ,和 x y1之間的均勻物體的質(zhì)心.解：由對(duì)稱性可知，質(zhì)心必須位于 z軸上，故x 0, y 0由公式大全標(biāo)準(zhǔn)文案由面常數(shù),所以不妨設(shè)23-

8、3的體積1328zd1201202002d4cos2coscos2 sin d4cos3n0 41 .一 sin402 s1ncoscos5 cos一 cos 6d2cos從而質(zhì)心坐標(biāo)為0,0 ,例5:求位于兩圓解：如圖所示:大全4444,cos 16cos d202815152sin 和4sin 之間的均勻薄片的質(zhì)心。因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于軸y軸，所以質(zhì)心CX,y，必位于y軸上，于是X 00標(biāo)準(zhǔn)文案再按公式y(tǒng)d計(jì)算y,由于閉區(qū)域d位于半徑為于這兩圓面積之差，即AydD2.sinD1和半徑為2的兩圓之間，所以它的面積等0o2sin3 0因此73,所以質(zhì)心是C0,31.4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.4.1 平面薄

9、片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若平面薄片占有平面閉區(qū)域D,面密度為x,y則它對(duì)軸，軸以及對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：Ix，Iyx2 d ,IoD1.4.2 物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若物體占有空間閉區(qū)域,體密度為x, y,z ,則它對(duì)軸，軸以及對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為:Ixy2 d ，IyIzy2 d ,Ioz2 d例6：求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。大全標(biāo)準(zhǔn)文案解：建立坐標(biāo)系如圖所示2. D: x yIxy2dxdyD3 sin2 drdsin20a 3r3dr半圈薄片的質(zhì)量Ix -Ma2.4例7:求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：取球心為原點(diǎn)，z軸為l軸，設(shè)球所占域?yàn)?x222x y dxdydz2

10、. 22r sin cos22r sin2cossindrdd 03 da 4r dr01 -a2M M51.5引力1.5.1平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力若平面若平面薄片占有平面比區(qū)域D,面密度為x, y ,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于Xo,yo ,設(shè)薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為FFx，F(xiàn)y ,則FxGmxDx X0d , FyGmy0d3Dr其中r . x1.5.2物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力22x。yy。G為引力常數(shù).大全若物體占有空間閉區(qū)域,體密度為 x, y,z ,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于標(biāo)準(zhǔn)文案Xo,yo,Zo ,設(shè)薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為 F Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z ，則Fx GmxFz Gm其中rx x。3- d rFy Gmyy。3-

11、d r2x X02y y。 z Zo2,G為引力常數(shù).例8：求一高R,底面半徑為R的密度均勻的正圓錐對(duì)其頂點(diǎn)處的單位質(zhì)點(diǎn)的 引力。解：以圓錐的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為z軸建立直角坐標(biāo)系，此時(shí)圓錐的方程為Jx2y2z R,設(shè)密度為,所求FFx，F(xiàn)y,Fz用微元法討論，在圓錐任意一點(diǎn)x, y, z處取微元d ,則此小塊質(zhì)量為d ,它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)點(diǎn)引力為:x,y,z ,rd 1 ddFGr Gr,其中 rr r r '由對(duì)稱性可知FxFy 0,dFz dF cos一，zz ,因?yàn)閏os一,所以dFzG -drr從而FzG0 d33r大全標(biāo)準(zhǔn)文案d d dzjdRZ z12 d.2、R22所以，

12、圓錐對(duì)位于頂點(diǎn)處的單為質(zhì)點(diǎn)的引力為2例9：求半徑為R的均勻球xR2對(duì)位于點(diǎn)M0 0,0,a a單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.大全解：利用對(duì)稱性知引力分量Fza dzDz2a dz02R4 R3FxFx展2 32ddxdy22 32y z a- R2 z2rdrVr2 2az-a2 dza d R2 2az a2為球的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)文案四 . 總結(jié)高數(shù)的學(xué)習(xí)還有很久，我也知道大學(xué)高數(shù)很需要時(shí)間去鍛煉，學(xué)習(xí)過(guò)程中也會(huì)有很多的困難，但是我會(huì)努力去學(xué)習(xí)。多和室友交流學(xué)習(xí)。高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)的一門課程，自然與其它課程有著共同之處，那就是講課速度快。剛開始，我非常不適應(yīng)。上一題還沒(méi)有消化，老師已經(jīng)講完下一題了。帶著幾分焦慮，我向?qū)W長(zhǎng)請(qǐng)教學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)， 才明白大學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)不僅僅是課堂，課下的預(yù)習(xí)與復(fù)習(xí)是學(xué)好高數(shù)的必要條件。于是，每節(jié)課前我都認(rèn)真預(yù)習(xí)