基本不等式非常全面96099

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)基本不等式專題輔導(dǎo)一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、基本不等式原始形式(1)若 a,b w R ,則 a2 +b2 之2ab2(2)若 a,b w R,則 ab <a b22、基本不等式一般形式(均值不等式)若 a,bwR*,則 a+b >2Vab3、基本不等式的兩個(gè)重要變形(1)若 a,b w R ,則 a +b ><ab 2(2)若 a,b w R*,則 ab <|a!b ) ,2總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，它們的和有最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，它們的積有最小值；特別說(shuō)明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“二”二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式21

2、、設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式：JOB x11+-a b2、已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：2.22a b c ab bc ca2 一 2213、已知 a + b+c = 1,求證：a +b +c >- 34、已知 a,b,cWR+,且 a + b + c = 1,求證：(1-a)(1 -b)(1 -c) _8a b c5、已知 a,b,cWR*,且 a + b + c = 1,求證：6、(2013年新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)(理)選修45:不等式選.講2. 22a b c ,n)1.b c a4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常用結(jié)論1(1)右x A0,則x+ 之2 (當(dāng)且僅當(dāng)x

3、=1時(shí)取 =) x1(2)若x<0,則x+二 2 (當(dāng)且僅當(dāng)x = 1時(shí)取“=”) x(3)若ab:>0,則_a+b之2 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”) b a22(4)若 a,b w R,則 ab <(-ab)2 <a 22(5)若 a,bWR*,則，誨s"W21 12.2 I a b特別說(shuō)明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取 一6、柯西不等式1-1 I a b . c設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b + c = 1,證明:,.1(I) ab + bc+ca <-；( 37、(2013年江蘇卷(數(shù)學(xué)) 選修4 5:不等式選 講已知 a >

4、;b>0 ,求證：2a3 -b3 22ab2 - a2b(1)若 a,b,c,d w R,則(a2 叱2(c2 可2)4ac 出)2(2)若 a1，a2,a3,b1,b2,b3 亡 R ,則有：(a； a22 a32)(1b12 b22 b32) (aA - a2b2 a3b3)2(3)設(shè)a，a2,1an與6，b2,1bn是兩組實(shí)數(shù)，則有(a； a22an2)(b12 b22 ,bn2) (am a2b2 + -aMn)2題型二：利用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域21(1) y = 3x +-2(2)y = x(4 x)2x文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)“、1 , c、1(3)y=x+(x0)(

5、4) y=x + (x<0)xx52、已知x < -,求函數(shù)y=4x_2+的取大值;44x - 5題型三：利用不等式求最值（一）（湊項(xiàng)）41、已知x >2 ,求函數(shù)y=2x4+的最小值;2x-4題型四：利用不等式求最值（二）（湊系數(shù)）1、當(dāng)。力<4時(shí)，求y = x（82x）的最大值；變式1：當(dāng)口 <木<4時(shí)，求y = 4x（8 2x）的最大值;4變式1 ：已知x >2 ,求函數(shù)y=2x+的最小值;2x -44變式2：已知x<2,求函數(shù)y=2x+的最大值;2x -43變式2：設(shè)0<x< 一,求函數(shù)y = 4x（3 2x）的最大值。2一一

6、 一， 52、若 0<x<2,求 y = Jx(6 3x)的最大值;練習(xí)：1、已知x >,求函數(shù)y=4x-2 +1的取小值;44x -5文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)變式：若0<x<4,求y = Jx(8 2x)的最大值;3、求函數(shù)y = 必 1 +<5 -2x(- <x<-)的最大值;-22(提示：平方，利用基本不等式)11變式1:已知a,b>0,a+2b = 2,求t= 十 的最小值;a b2 8.一一變式2：已知x, y>0,一十一=1,求xy的最小值;x y變式：求函數(shù)y =74x -3 +，11 -4x(3 <x /U)的最大值;4

7、411變式3：已知x, y>0,且一+ = 9,求x + y的最小值。x y題型五：巧用“ 1”的代換求最值問(wèn)題一 .- 一,111、已知a,b >0, a +2b =1 ,求t = 十的最小值;a b法一：19變式4：已知x, y > 0 ,且一+ = 4 ,求x+ y的最小值;x y文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)變式5:x 8變式：求函數(shù)y=8(x>1)的值域;x -111(1)若x, y A0且2x + y =1 ,求+的最小值；x y(2)若a,b, x, y w r+且a +P =1,求 x + y 的最小值;x y2、求函數(shù)y=±x12的最大值 (提示：換元法)

8、2x 5變式6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列an 滿足：a7 =a6 +2a5,若14 .一一存在兩項(xiàng)am，an,使得,：aman =4a1，求一十一的最小值； m nx 1變式： 求函數(shù)y =的最大值;4x 9題型六：分離換元法求最值(了解)1、求函數(shù)y =x2 7x 10x 1(x#1)的值域;題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用1、已知log 2 a + log 2 b之1 ,求3a + 9b的最小值文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)2、（2009天津）已知a,b >0,求工+1 +2 vOb的最小值;a b變式1：已知a,b >0 ,滿足ab = a + b + 3,求ab范圍；變式1： （2010四川）如果a

9、 >b >0 ,求關(guān)于a,b的表達(dá),、211 一 一式a +的最小值；ab a（a -b）11變式2： （2010山東）已知x, y > 0 , +2 x 2 y求xy最大值；（提示：通分或三角換元）變式2： （2012湖北武漢診斷）已知，當(dāng) aQa¥1時(shí)，函數(shù)y =loga（x -1） +1的圖像恒過(guò)定點(diǎn) A ,若點(diǎn)A在直線mx -y +n =0上，求4m +2n的最小值；變式3： （2011浙江）求xy最大值;已知 x, y >0 , x2 + y2 + xy = 1 ,3、已知 x, y >0 , x+2y+2xy=8,求 x+2y 最小值;文檔大

10、全4、（ 2013年山東（理）設(shè)正實(shí)數(shù)x, y,z滿足x2 - 3xy + 4y2 z = 0,則當(dāng)&取得最大值 z-,212時(shí)，一* 一 一的最大值為（）x y z實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)A. 0 B. 1D. 3（提示：代入換元，利用基本不等式以及函數(shù)求最值）11 n2、已知 x> y>z>0H+之恒成立,x - y y - z x - z如果nW N 求n的最大值；（參考：4）（提示：分離參數(shù)，換元法）2變式：設(shè)x, y,z是正數(shù)，滿足x2y+3z = 0,求的 xz最小值;1 4變式：已知a,b >0滿則-+- = 2 ,右a + b之c恒成立,a b求c的取值范圍；題

11、型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1 a, 一1、（2012 沈陽(yáng)檢測(cè)）已知 x, y >0,且（x+y）（+a）之 9x y恒成立，求正實(shí)數(shù) a的最小值；文檔大全題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式a b（a,b, c, d二R,當(dāng)且僅當(dāng)一=一；即ad =bc時(shí)等w成立）c d若 a,b,c,d w R,則（a2+b2）（c2 +d2）之（ac+bd）2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)2、二維形式的柯西不等式的變式(1)a2 +b2 -Cc2 +d2 >|ac + bd(a,b, c, d R R,當(dāng)且僅當(dāng)a =;即ad =bc時(shí)等號(hào)成立)c d(2) . a2 b2 , c2 d2 - ac|

12、-|bda b(a,b, c, d w R,當(dāng)且僅當(dāng)一=一；即ad =bc時(shí)等w成立)c d(a b)(c d) _ (., ac iJbd )2a b(a,b, c, d >0,當(dāng)且僅當(dāng)一=一；即ad =bc時(shí)等w成立)c d析：(x -2y 2z)2 < (x2 y2 z2)12 (_2)2 22=4 9 = 36，x2y+2z最小值為-6此日寸；W=i2（A 22-2x 二34-4，y=一, z=一33-22222、設(shè) x,y,z= R, 2x y 2z = 6 ,求 x +y +z 的最小值m ,并求此時(shí)x, y,z之值。.,、，424、Ans： m =4;(x,y,z)

13、=(-, , )3333、二維形式的柯西不等式的向量形式a < a P（當(dāng)且僅當(dāng)百=0,或存在實(shí)數(shù)卜,使？=卜7時(shí)，等號(hào)成立）4、三維柯西不等式若 a1,a2,a3, bi,b2,b3 R,則有：（a； a22 232）（心2 b22 b32） 一（aQ a2b2 , a3b3）2（ai,bjWR,當(dāng)且僅當(dāng)曳=0=包時(shí)等號(hào)成立） b1 b2 ba5、一般n維柯西不等式設(shè)闞©2, ；工與bi,b2, 'bn是兩組實(shí)數(shù)，則有：3、設(shè) x,y,zw R , 2x3y + z = 3,求 x2+(y1)2 + z2之最小值為,此時(shí)y=(析：2x3y+z = 3u 2x 3( y 1) + z = 0 )一 222-2222(a1 a2 一一an)(t>1 , b2bn ) _(&b a2b2：心and)（ai,bi wr,當(dāng)且僅當(dāng)包=生=an時(shí)等號(hào)成立） b1b2bn題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設(shè) x, y, zWR,若 x2 +y2 +z2 = 4,則 x2y+2z的最小值為 時(shí)，（x, y, z） = 4、(2013 年湖南卷(理)已知 a, b,cw,a+2b +3c= 6,222則a +4b +9c的最小值是 ( Ans:12)文檔大