初中數(shù)學二次函數(shù)的應用

1、二次函數(shù)的應用目標指引1 運用二次函數(shù)的知識去分析問題、解決問題，？并在運用中體會二次函數(shù)的實際意義.2 體會利用二次函數(shù)的最值方面的性質解決一些實際問題.3經(jīng)歷把實際問題的解決轉化為數(shù)學問題的解決的過程，？學會運用這種轉化”的數(shù)學思想方法.要點講解1 在具體問題中經(jīng)歷數(shù)量關系的變化規(guī)律的過程，？運用二次函數(shù)的相關知識解決簡單的實際問題，體會二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型.2 運用函數(shù)思想求最值和數(shù)形結合的思想方法研究問題.學法指導1 當涉及最值問題時，應運用二次函數(shù)的性質選取合適的變量，？建立目標函數(shù)，再求該目標函數(shù)的最值，求最值時應注意兩點：(1)變量的取值范圍；(2) ?求最

2、值時，宜用配方法.2 有關最大值或最小值的應用題，關鍵是列出函數(shù)解析式，？再利用函數(shù)最值的知識求函數(shù)值，并根據(jù)問題的實際情況作答.例題分析【例1】如圖，在 ABC中，/ B=90° AB=6cm, BC=12cm，點P從點A開始，？沿著AB向點B以1cm/s的速度移動；點 Q從點B開始，沿BC 邊向點C以2cm/s的速度移動，？設P, Q同時出發(fā)，問：(1) 經(jīng)過幾秒后P, Q的距離最短？(2) 經(jīng)過幾秒后 PBQ的面積最大？最大面積是多少？【分析】這是一個動點問題，也是一個最值問題，設經(jīng)過ts,顯然AP和BQ?的長度分別為AP=t, BQ=2t ( 0 w t炙.6 PQ的距離PQ

3、= =丿5忙12t 36 .因此，只需求出被開方式5t2- 12t+36的最小值，就可以求 P, Q的最短距離.【解】(1)設經(jīng)過ts后P, Q的距離最短，則：/ PQ=JbP2 BQ2 =J(6 t)2 (2t)2 =(5t2 12t 365(t 6)2 144"55經(jīng)過6s后，P, Q的距離最短.5(2) 設 PBQ的面積為S,11貝 U S=BPBQ= (6 -1) 2t=6t t2=9( t - 3) 222當t=3時，S取得最大值，最大值為 9.即經(jīng)過3s后， PBQ的面積最大，最大面積為 9cm2.【注意】對于動點問題，一般采用 以靜制動”的方法，抓住某個靜止狀態(tài)，尋找等

4、量關系.在 求最值時，可用配方法或公式法，同時取值時要注意自變量的取值范圍.【例2】某高科技發(fā)展公司投資1500萬元，成功研制出一種市場需求較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金500萬元進行批量生產(chǎn).已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為 40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)： 當銷售單價定為100元時，年銷售量為 20萬件；銷售單價若增加 10元，年銷售量將減少 1萬 件設銷售單價為 x (元)，年銷售量為y (萬件)，年獲利額(年獲利額=年銷售額生產(chǎn)成本- 投資)為z (萬元).(1) 試寫出y與x之間的函數(shù)關系式(不必寫出x的取值范圍)；(2) 試寫出z與x之間的函數(shù)關系式(不必寫出 x的取值范圍)；(3) 計算銷售

5、單價為 160元時的年獲利額，并說明：得到同樣的年獲利額，？銷售單價還 可以定為多少元？相應的年銷量分別為多少萬件？(4) 公司計劃：在第一年按年獲利額最大時確定的銷售單價進行銷售；？第二年的年獲利額不低于1130萬元，請你借助函數(shù)的大致圖象說明，第二年的銷售單價x (元)？應確定在什么范圍？【分析】本題以傳統(tǒng)的經(jīng)濟活動中的利潤、銷售決策問題為背景，設計成數(shù)學應用題，引導學生主動關心和參與日常生活中的經(jīng)濟活動,把實際問題抽象成數(shù)學問題，運用函數(shù)性質和方10程知識來解題.【解】(1)依題意知：當銷售單價定為1x元時，年銷量減少10 (x- 100)萬件.1 / 、 1 y=20 (x 100)

6、=x+30.10 101即y與x之間的函數(shù)關系式是 y=x+30.(2)由題意可得:z= (30 丄 x) (x 40) 500 1500= x2+34x 3200.10 101即z與x之間的函數(shù)關系式為z=x+34x 3200.10(3) 當 x=160 時,z= 1 X 1634 X 16 3200= 320, 101 o 320=x2+34x 3200 ,10即 x2 340x+28800=0.K由 X1+X2=得，160+x=340, - x=180.a即得到同樣的年獲利額，銷售單價還可以定為180元.1當 x=160 時，y= X 160+30=14 10 亠 1當 x=180 時，

7、y= X 180+30=1210所以相應的年銷售量分別為14萬件和12萬件.11(4) / z=x2+34x 3200= ( x 170) 2 310,1010當x=170時，z取得最大值為一310.310萬元就可以收回即當銷售單價為170元時，年獲利額最大，并且到第一年底公司還差全部投資.第二年的銷售單價定為 x元時，則年獲利額為: z ' (30 x) (x 40) 310= x2+34x 1510.10 101當 z ' =113時，即 1130= x2+34x 1510,10解得 xi=120, X2=220.1函數(shù)z ' 一x2+34x 1510的大致圖象如圖

8、所示.由圖象可看出: 當 120 < x < 220, z > 1130第二年的銷售單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍內.練習提升一、基礎訓練1 .函數(shù)y=j2x2 4x 5的最大值是 2 .炮彈從炮口射出后飛行的高度h （米）與飛行的時間 t （秒）之間的函數(shù)關系式為h=votsin a5t2，其中V是發(fā)射的初速度，a是炮彈的發(fā)射角，當 Vo=300米/秒，a =300°，炮彈飛行的最大高度為 米，該炮彈在空中飛行了 秒落到地面上.如圖，某涵洞呈拋物線形，現(xiàn)測得水面寬AB=1.6米時，涵洞頂點 O到水面的距離為2.4米,在圖中的直角坐標系中，涵洞所在

9、拋物線的函數(shù)關系式為如圖，直角三角形 AOB中，AB丄OB,且 AB=OB=3,設直線x=t?截此三角形所得陰影部分的面積為S,則S與t之間的函數(shù)關系的圖象為（D.h1丄OCD*5如圖，某工廠大門是拋物線形水泥建筑，大門地面寬4米,頂部距地面的高度為4.4米，現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，其裝貨寬度為2.4米，？該車要想通過此門，裝貨后的最大高度應小于（）A. 2.80 米B. 2.816 米C. 2.82 米D. 2.826 米16 .如圖，今有網(wǎng)球從斜坡 OA的點O處拋出，？網(wǎng)球的拋物路線的函數(shù)關系是y=4x x2,斜坡21的函數(shù)關系是y=-x2，其中y是垂直高度，x是與點O的水平距離

10、.2（1 ）求網(wǎng)球到達的最高點的坐標;(2)網(wǎng)球落在斜坡上的點 A處，寫出點A的坐標.7 .某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，？物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元，市場調查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格出售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱.(1) 求平均每天銷售量 y (箱)與銷售價x (元/箱)之間的函數(shù)關系式；(2) 求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤W (元)與銷售價x (元/箱)之間的函數(shù)關系式；(3) 當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？8 如圖所示，一位運動員在距籃圈4m處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5m時

11、，達到最大高度3.5m，然后準確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為3.05m .(1 )建立如圖所示的坐標系，求拋物線的解析式；(2)該運動員身高1.8m，在這次跳投中，球在頭頂上方 0.25m處出手，問球出手時，他跳離 地面的高度是多少？、提高訓練9 如圖，圖中四個函數(shù)的圖象分別對應的解析式是y=ax2;y=bx2;2；y=dx 2 .則a，b, c, d的大小關系為（）A. a>b>c>da>c>b>dD. d>c>b>a10 .為備戰(zhàn)世界杯，中國足球隊在某次訓練中，一隊員在距離球門12m處挑射，？正好射中了 2.4m高的球門橫梁，若

12、足球運行的路線是拋物線y=ax2+bx+c （如圖）.？有下列結論：a+b+c>0 ；1<a<0;a b+c>0;0<b< 12a.其中正確的結論是（）60A.B.C.D. 11.如圖，在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，點P從點A出發(fā)，沿 AB邊向點B以1cm/s的速度移動，同時點 Q從點B出發(fā)沿BC向點C以2cm/s的速度移動，回答下列問題：（1 ）設運動后開始第t秒時，五邊形 APQCD的面積為S （單位：厘米2）,寫出S與t?之間的函數(shù)關系式，并求出自變量t的取值范圍；（2） t為何值時S最?。坎⑶蟪鯯的最小值.12.如圖，有一邊長為

13、 5cm的正方形 ABCD和等腰 PQR PQ=PR=5cm QR=8cm,點B, C, Q,R在同一直線L上，當C, Q兩點重合時，等腰 PQR以1cm/s的速度沿直線L?按箭頭方向開始勻速運動，t秒后正方形ABCD與等腰 PQR?重合部分的面積為 S (單位：cm2).(1 )當t=3s時，求S的值；(2 )當t=5s時，求S的值；(3)當5Wt w時，求S與t之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值.13如圖，甲船位于乙船的正西方向26km處，現(xiàn)甲、乙兩船冋時出發(fā)，甲船以每小時12km 的速度朝正北方向行駛，乙船以每小時5km的速度朝正西方向行駛，?何時兩船相距最近？最近距離是多少？A乙ABf

14、B三、拓展訓練14.如圖，在直角梯形 ABCD中，/ A= / D=90° 截取 AE=BF=DG=x 已知 AB=6, CD=3, AD=4,求：(1)四邊形CGEF的面積S關于x的函數(shù)關系式和x的取值范圍;(2)面積S是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由;(3 )當x為何值時,S的數(shù)值等于x的4倍?答案：I .32. 1125, 303. y= 3.75x24. D 5. B7、6. (1) (4, 8)(2) A (7,27 . (1) y= 3x+240(2) W= 3x2+360x 9600(3) 當每箱定價為55元時，可獲利大利潤為1125?元8 . (1) y=