2020年上海市徐匯區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷(含答案)(精校Word版)

1、2020年上海市 徐匯區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷(含答案) (精校 Word版)2019.12 一、填空題(本大題共有 12 題，滿分 54分，第 1-6題每題 4分，第 7-12題每題 5 分) 考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果1已知集合 M x|x 2，集合 N x|x 1 ，則M N 2向量 a =(3,4)在向量 b =(1,0)方向上的投影為 113 二項(xiàng)式 3x 1 的二項(xiàng)展開(kāi)式中第 3 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 1+i4復(fù)數(shù) 1+i 的共軛復(fù)數(shù)為 3 4i5已知 y f (x)是定義在 R上的偶函數(shù)，且它在 0, ) 上單調(diào)遞增，那么使得 f( 2) f(a)成 立的實(shí)數(shù) a 的取值范圍是

2、6. 已知函數(shù) f (x) arcsin(2x 1) ，則 f 1( ) 6217已知 x R，條件 p：x2 x，條件 q： a(a 0)，若 p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) a x的取值范圍是 .8已知等差數(shù)列 an 的公差 d 3， Sn表示 an 的前 n項(xiàng)和，若數(shù)列 Sn 是遞增數(shù)列，則 a1的取 值范圍是 .9數(shù)字不重復(fù)，且個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于2 的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為 10過(guò)拋物線 C:y2 2x的焦點(diǎn) F，且斜率為 3的直線交拋物線 C于點(diǎn) M(M在 x軸的上方)， l 為拋物線 C 的準(zhǔn)線，點(diǎn) N 在 l 上且 MN l ，則 M 到直線 NF 的距離為 11 已 知

3、 數(shù) 列an的 前 n 項(xiàng) 和 為Sn， 對(duì) 任 意 nN*，Sn(1)n an1nn 3 且2n (a1 p)(a2 p) 0 ，則實(shí)數(shù) p的取值范圍是.4x+1,x 112 已知函數(shù) f x 2 關(guān)于 x的不等式 f x mx 2 m 2 0的解集是 x2 6x 10,x 1,x1,x2x3,.若 x1x2x3 0 ，則 x1 x2 x3 的取值范圍是 二、選擇題（本大題共有 4 題，滿分 20 分，每題分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)?？忌鷳?yīng)在答題 紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑13 過(guò)點(diǎn) （ 1,0） ，且與直線 x 1 y 1 有相同方向向量的直線的方程為 （ ）53A. 3x

4、 5y 3 0 B. 3x 5y 3 0 C. 3x 5y 1 0 D. 5x 3y 5 014一個(gè)棱錐被平行于底面的平面所截截面面積恰好是棱錐底面面積的一半，則截得的小棱錐與原棱錐的高之比是 （ ）A. 1:2 B. 1:8 C. 2:2 D. 2:42 2 2 215若圓 C1:x2 y2 1和圓 C2 :x2 y2 6x 8y k 0沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是 （ ）A 9,11 B 25, 9C, 9 11,D 25, 9 11,16設(shè) H 是 ABC 的垂心，且3HA 4HB 5HC 0,則 cos BHC的值為10D7014徐匯區(qū)高三數(shù)學(xué) 本卷共 4 頁(yè) 第頁(yè)三、解答題（本

5、大題共有5 題，滿分 76 分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟17（本題滿分 14分，第（ 1）小題 6 分，第（ 2）小題 8 分） 如圖所示，圓錐 SO的底面圓半徑 |OA| 1，母線 SA 3 （ 1）求此圓錐的體積和側(cè)面展開(kāi)圖扇形的面積； （2）過(guò)點(diǎn) O在圓錐底面作 OA的垂線交底面圓圓弧于點(diǎn) P,設(shè)線段SO中點(diǎn)為 M ,求異面直線 AM 與PS 所成角大小18（本題滿分 14 分，第（ 1）小題 6分，第（ 2）小題 8分） 設(shè)函數(shù) f （x） x2 |x a|（ x R， a 為實(shí)數(shù)）1）若 f（x） 為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的值；2）設(shè) a 21，求函數(shù) f （x）

6、的最小值（用 a表示）19. （本題滿分 14分，第（ 1）小題 6 分，第（ 2）小題 8 分）如圖， 某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路 a經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn) A，B，C 景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu) 美的景點(diǎn) D 經(jīng)測(cè)量景點(diǎn) D 位于景點(diǎn) A的北偏東 30 方向 8km處，位于景點(diǎn) B 的正北方向，還位 于景點(diǎn) C的北偏西 75 方向上已知 AB 5km 1）景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn) D 向景點(diǎn) B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的Aa長(zhǎng)（結(jié)果精確到 0.1km ）（2）求景點(diǎn) C 與景點(diǎn) D 之間的距離 （結(jié)果精確到 0.1km）20. （本題滿分 16 分，第（ 1）小題 4 分，第（

7、2 ）小題 6 分，第（ ,3 ）小題 6 分）22xy已知橢圓 : 2 2 1，（a b 0）.點(diǎn)A為橢圓短軸的上端點(diǎn)， P為橢圓上異于 A點(diǎn)的任一點(diǎn) . 若 abP點(diǎn)到 A點(diǎn)距離的最大值僅在 P點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時(shí)取到， 則稱此橢圓為 “圓橢圓” . 已知 b 2. （1）若 a5, 判斷橢圓 是否為“圓橢圓” ;（2）若橢圓 是“圓橢圓” ,求 a的取值范圍 ;（3）若橢圓 是“圓橢圓”，且a取最大值， Q為P關(guān)于原點(diǎn) O的對(duì)稱點(diǎn)， Q也異于 A點(diǎn). 直線 AP、 AQ分別與 x軸交于 M 、 N兩點(diǎn)，試問(wèn)以線段 MN 為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？證明你的結(jié)論 .21. （本題滿分 18 分，

8、第（ 1）小題 4分，第（ 2）小題 6分，第（ ,3）小題 8 分）給正有理數(shù) mi ， j （i j;i，j N*;mi,ni,mj,nj N*且mi mj和ni nj不同時(shí)成立 ）, 按以下規(guī) ni nj則 P排列：若 minimjnj,則 mi 排在 mj的前面； 若 minimjnj且ninj,則 mi排nin jnimj1 2 1在 j 的前面，按此規(guī)則排列得到數(shù)列an ，（例如 , , , ） .nj1 1 2（ 1）依次寫(xiě)出數(shù)列 an 的前 10 項(xiàng)；（2）對(duì)數(shù)列 an 中小于 1 的各項(xiàng)，按以下規(guī)則 Q 排列：各項(xiàng)不做化簡(jiǎn)運(yùn)算；分母小的項(xiàng)排在前面；分母相同的兩項(xiàng)，分子小的項(xiàng)排

9、在前面，得到數(shù)列bn , 求數(shù)列 bn 的前 10 項(xiàng)的和 S10, 前2019 項(xiàng)的和 S2019 ；（ 3） 對(duì)數(shù)列 an 中所有整數(shù) 項(xiàng)，由小到大 取前 2019 個(gè) 互不相 等的整數(shù)項(xiàng)構(gòu) 成集 合A c1,c2,c3, ,c2019 ,A的子集 B滿足：對(duì)任意的 x,y B,有x y B,求集合 B中元素個(gè)數(shù)的最 大值 .數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2019.1213 分14 分OA 1,OM 2, AM 3, AN12 1210 分填空題：（本大題共有 12 題，滿分 54 分，第 1-6題每題 4分，第 7-12 題每題 5分 ,1 2,23355471i25 255 ( , 2 2

10、, )16 47 0,183,9 84010 311 34,114122 7 12,二選擇題： （本大題共有 4 題，滿分 20分，每題分）13 B14C15D16D三 解答題：（本大題共 5題，滿分 74 分）17（本題滿分 14分，第（ 1）小題 6 分，第（ 2）小題 8 分） 【解】（1）因?yàn)?|OA| 1， SA 3，所以在 Rt SOA中， h SOSA2OA 2 2 ， 2 分1 2 2 2所以圓錐的體積 V 1 r h 2 2 4 分331側(cè)面展開(kāi)圖扇形的面積 S 2 3 3 6 分2（ 2）解法一：以 OP 、 OA、 OS所在射線為 x軸、 y軸、 z軸建立坐標(biāo)系，則有 P

11、 1,0,0 ,S 0,0,2 2 , A 0,1,0 ,M 0,0, 2 ， 9 分于是 PS 1,0,2 2 ,AM 0, 1, 2 ， 11 分2 2 2 4 3 設(shè)向量 PS與AM 的夾角為 ，則 cos 2 2 2 4 3，3 3 943 所以，異面直線 AM 與 PS所成角大小為 arccos 4 3 9113解法二：取線段 OP中點(diǎn) N，連 MN，則 MN SP且 MNSP SA ,AMN （或其補(bǔ)角）為異面直線 AM 與 PS的夾角，2228分332cos AMN 32 3 3243913 分所以，異面直線 AM 與 PS所成角大小為 arccos 4 3 918 （本題滿分

12、14分，第 1小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 8分） 【解】 （1）由已知， f （ x） f（x）， 即|x a | | x a| ， 解得 a 0 2x x a, x a2x x a , x a2) f(x)當(dāng) x a 時(shí)，f （x） 的最小值為14（2 分）4 分）6 分）8 分）當(dāng) x a 時(shí)，f （x） 的最小值為f (a) a2 ， f112 分）由于 a212a20 ，所以函數(shù) f （x） 的最小值為 a 14（ 14 分）19 （本題滿分 14分，第 1小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 8分）解】（1）設(shè) BD x ，則由余弦定理 52 82 x2 16xcos300，（

13、2 分）4 分）即 x2 8 3x 39 0 ，解得 x 4 3 3 ，4 3 3 8舍去所以 x 4 3 3 ，這條公路的長(zhǎng)約為 3.9km（6 分）AD AB9 分）2)在 ABD 中，由正弦定理得AD AB ，asin ABD sin ADB景點(diǎn)所 以 s i nABD s i nC B D 45， 在 CBD 中 ，s i nD C Bsn C( B D B D )C. 7，912 分）由正弦定理得CD 4 BD5 sin DCB4.0C與景點(diǎn) D 之間的距離約為 4.0km14 分）（注：答案為 3.9 扣 1 分）20（本題滿分 16 分，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分

14、 6 分，第 3 小題滿分 6 分 ） x2 y2解】（1）設(shè) P（x,y）,則 x y 1, A（ 0,2）,54PAx2 (y 2)25 45 y2 (y 2)21 y2 4y 94y 2,2 僅在 y 2時(shí)， PA max 4橢圓 是“圓橢圓”4分222)設(shè)P(x, y),則 x2 y 1. a2 4PAx2 (y 2)2a2 a4 y2 (y 2)24 a 2 2y 4y a 447分4ay 2,2 , 關(guān)于 y 的二次函數(shù)2 y2 4y a2 4的對(duì)稱軸為 y 2 8 ，4 a 4橢圓 為“圓橢圓”，故 a2 482, 即 a 2,2 2 .10 分3) a 2 2 ，橢圓22xy:

15、1, 設(shè)直線84PQ方程為 y kx,聯(lián)立橢圓方程得 (2k2 1)x2 8, 解得 x 2 2 ,2k2 1P( 2 22k2 1不妨設(shè)2 2k )2k2 1則直線PA方程為 y2 2k ), Q( 2 2 2k2 12k2 12k2 1(k )x 2，令 y 0,得 x222k2 1 2k12 分22則M(22222k2 1 2k 0) ，同理 N( 2k2 1 2k,0)2 2 2 2)(x于是圓方程為 (x 2k2 1 2k)(x 2k2 1+ 2k) y 0 ，即2 2 x 0x y 8kx 8 0 令 2 2x2 y2 8kx 8 0x0即 圓過(guò)定點(diǎn) (0, 2 2).16 分 y

16、 2 221 (本題滿分 18 分，第1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分，第 3 小題滿分 8 分 )1213解】(1)1,2,1,311211,4,3,2,1.312342)顯然 mi ni ， (iN ,mi,ni N ) 的大小是以自然數(shù)順序(從2 開(kāi)始)排列 . 于是按題設(shè)規(guī)則排列，數(shù)列 an 各項(xiàng)中分子與分母和為 2的為第一組，只有一個(gè)數(shù)；分子與分母和為3 的設(shè)為第二組，有兩個(gè)數(shù)；分子與分母和為 4的設(shè)為第三組， 有三個(gè)數(shù)； 分子與分母和為 n 1的設(shè)第 n組，有 n個(gè)數(shù) . 數(shù)列 an 中小于 1 的項(xiàng) m(m n,m, n N*) 在數(shù)列 an 中第 (m n 1)組

17、中的倒數(shù)第 n1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 m 個(gè)數(shù)，按題設(shè)規(guī)則排列得數(shù)列bn 各項(xiàng)依次為： , , , , , , , , , , , , , , ,n 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6將 此數(shù) 列分 母相同 的 各 項(xiàng)分 為一 組， 第 n 組中 各項(xiàng)為 1 , 2 , 3 n 其 和 n 1 n 1 n 1 n 11 2 3 n 1 2 3n n Tnn n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 2數(shù)列 Tn 為等差數(shù)列，通項(xiàng)為 Tn n ,21234bn 前 10 項(xiàng)和 S10 S1 2 3 4 T1 T2 T3 T45, 7 分2222設(shè)b2019在第n組，則有 n(n2 1) 2019 n(n2 1)可取n 64, 64263 2016 b2019 為第 64 組的第 3 個(gè)數(shù)，故S2019 T1 T2 T3T6312365 65 651 2 3 63 1 2 32 2 2 2